Tronco de cono
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Cargando…El tronco de cono recto(o cono truncado recto) es una superficie de revolución generada al girar un trapecio rectángulo sobre el lado perpendicular a sus bases. También puede entenderse como el corte del cono en paralelo a la base y eliminar la parte que tiene el vértice del cono.
Área del tronco de cono
La fórmual del área del tronco de cono es:
¿Cómo se obtiene esta fórmula?
Su área es la suma del área de las dos bases circulares más el área lateral. La cara lateral, desarrollada en el plano, como se ve en la figura de abajo, es un trapecio circular.
El área de las dos bases es:
Por otro lado, el área lateral se calcula con una fórmula que recuerda la del área del trapecio (semisuma de las bases por la altura), sustituyendo en este caso la altura por la generatriz:
Así pues, el área total es la suma del àrea de las bases más la lateral, según la primera fórmula.
Para calcular el área total de un tronco de cono, si conocemos los radios de las bases y la altura, pero no conocemos la generatriz g, esta última la hallaremos mediante el teorema de Pitágoras. Veamos la figura:
Obtenemos que la generatriz es:
Volumen del tronco de cono
El volumen del tronco de cono se calcula con la fórmula:
¿Cómo se obtiene esta fórmula?
El tronco de cono es el resultado de, mediante un plano que lo corta paralelo a la base, eliminar el cono pequeño superior, como en la figura.
Llamaremos h a la altura del tronco de cono, hs a la altura del trozo de cono superior separado por el corte y ht a la altura total del cono entero.
El volumen del tronco de cono será la diferencia entre el volumen del cono entero menos el volumen del trozo de cono superior separado:
Viendo los triángulos semejantes que se forman en los radios y alturas que se forman al cortar el cono:
Por las relaciones de semejanza de estos triángulos:
Sustituimos esta expresión de ht en la fórmula anterior de diferencia de volúmenes de cono:
Que es la fórmula que se quería demostrar.