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Cargando...La esfera (o superficie esférica) es el sólido de revolución generado por un semicírculo al girar sobre su diámetro.
O lo que es lo mismo, es el conjunto de puntos del espacio tridimensional que equidistan de un punto definido como el centro de la esfera.
Área de la esfera
El área de la esfera, es decir, la superficie que envuelve a este sólido de revolución, viene determinado por su radio (r), y se calcula mediante la siguiente fórmula:
¿Cómo se obtiene esta fórmula?
Volumen de la esfera
El volumen de la esfera se calcula en función de su radio (r). Su fórmula es:
¿Cómo se obtiene esta fórmula?
¿Sabías que la esfera es el sólido que con menos superficie tiene más volumen?
Elementos de una esfera
Los elementos de una esfera son los siguientos:
- Centro: es el punto del que equidistan todos los puntos de la superficie de la esfera (O).
- Radio: distancia desde el centro a cualquiera de sus puntos (r).
- Cuerda: segmento que une dos puntos cualquiera de la superficie esférica.
- Diámetro: Una cuerda que pasa por el centro de la esfera (D). Su longitud es dos veces el radio.
- Eje: línea sobre la que gira el semicírculo generador (o sobre la que gira la semicircunferencia generadora, desde el punto de vista de la superficie esférica).
- Polos: Los dos puntos en que el eje pasa por la superficie esférica (P1 y P2).
- Meridianos: circunferencias en la superficie esférica resultantes del corte de cualquier plano que pase por el eje. De otra manera, planos que pasan por los dos polos.
- Paralelos: circunferencias resultantes en la superficie esférica del corte de los planos perpendiculares al eje.
- Ecuador: el paralelo de máxima longitud. Corta al eje en el centro.
Particiones de la esfera
Casquete esférico de una base
Los casquetes esféricos son las dos partes de la superficie de la esfera resultantes de su intersección con un plano son casquetes esféricos. Si el plano no pasa por el centro se generará un casquete mayor y uno menor.
El círculo resultante, de radio a, de la intersección del plano con la esfera sería la base del casquete esférico.
El sólido, parte de la esfera comprendida dentro de un casquete esférico, se denomina segmento esférico.
Sea h la altura del casquete. El área del casquete esférico es:
Áreac1b = 2πrh = π (a2 + h2)
El radio de la base del casquete esférico a, la altura del casquete h y el radio r de la esfera a la que pertenecen, se relacionan con esta fórmula que se obtiene del teorema de Pitágoras:
Casquete esférico de dos bases o zona esférica
El casquete esférico de dos bases (o zona esférica) es la superficie de una esfera comprendida entre dos planos paralelos que la cortan. Se denomina de las dos formas: o casquete esférico de dos bases o zona esférica.
El área de la zona esférica (donde no se incluyen las tapas circulares, o bases, superior e inferior) es:
Áreac2b = 2πrh1
Segmento esférico de una base
El segmento esférico de una base es el cuerpo sólido comprendido entre un casquete esférico y su base.
El volumen de un segmento esférico de una base viene determinado por la fórmula:
Segmento esférico
Es el cuerpo sólido formado por la parte de la esfera comprendida entre dos planos paralelos que la cortan. O, también, es la parte de la esfera encerrada entre un casquete esférico de dos bases (o zona esférica) y esas dos bases.
Area del segmento esférico
Aquí, aparte del área de la zona esférica se incluyen las áreas de las dos bases:
Volumen del segmento esférico:
Semiesfera o hemisferio
La semiesfera (o hemisferio) es cuando un plano pasa por el centro de una esfera y la divide en dos partes iguales.
Sector esférico
El sector esférico es la parte de la esfera que se genera al girar un sector circular alrededor de un eje que pasa por el centro de la esfera.
Consideraremos dos casos:
- El eje de rotación coincide con un radio exterior del sector circular. El sector esférico resultante está formado por la superficie lateral de un cono recto con vértice en el centro de la esfera y cerrada por un casquete esférico del mismo radio que el de la base del cono.
- El eje de rotación pasa por el vértice O, pero no pasa por dentro del sector circular. Al igual que en el caso anterior, llamamos h a la proyección de la línea curva del sectorcircular sobre el eje de rotación.
Volumen del sector esférico
Tanto en el primer como en el segundo caso, la fórmula del volumen del sector esférico es la misma:
Huso esférico
El huso esférico es la parte de la superficie esférica comprendida entre dos planos que se cortan en un eje de la misma.
Área del huso esférico
El área del huso esférico, si el ángulo que forman los dos planos es α, es:
Cuña esférica
La cuña esférica es la parte de la esfera comprendida entre dos planos que se cortan en un eje de la misma y su huso esférico correspondiente.
Volumen de la cuña esférica
El volumen de la cuña esférica viene determinado por la siguiente fórmula:
Corona esférica
La corona esférica es el sólido de revolución generado por media corona circular, al girar 360° sobre el diámetro exterior. O bien, es el sólido comprendido entre dos esferas concéntricas de radios r1 y r2. Se ha de cumplir que: r1 > r2.
Volumen de la corona esférica
El volumen de la corona esférica será la diferencia de los volúmenes de la exterior menos el de la interior:
Ejercicio
En una esfera de radio 4, calcular la longitud del paralelo cuyo plano forma 30° con cualquier radio de la esfera que pase por él.
¿Qué distancia separa los puntos A y B de dicho paralelo, si sus radios forman un ángulo de 45°°?
Solución:
El radio del paralelo será, a = r sen 30 ° = 4 · 0,5 = 2
La distancia entre A y B la obtendremos mediante una regla de tres:
Porque la distancia en AB es pi?
Es una coincidencia por el ejercicio. Mira la regla de tres.
La esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cuyos puntos están todos a igual distancia de un interior llamado centro.
La fórmula de la esfera se obtiene calculando el volumen en función de su radio (r) su fórmula es volumen=4/3.π.r
La fórmula del volumen de la esfera es:
V = (4/3)πr³
Y la fórmula del área de la superficie esférica es:
A = 4πr²