Cilindro

Superficie cilíndrica de revolución

Una superficie cilíndrica de revolución se engendra cuando una recta, llamada generatriz, gira paralelamente alrededor de otra recta fija llamada eje de rotación, contenida en el mismo plano. La generatriz recorre una curva plana perpendicular al eje llamada directriz. Si la directriz es una circunferencia con centro en el eje, se forma una superficie cilíndrica circular.

Cilindro, un sólido

El cilindro circular es la figura tridimensional que se forma cuando un segmento llamado generatriz, gira alrededor de otra recta que queda fija, llamada eje. El eje y la generatriz están en el mismo plano y son dos rectas paralelas.

O, también, un cilindro recto de revolución es el la figura descrita al girar un rectángulo sobre uno de sus lados.

Si la superficie cilíndrica se delimita entre dos planos paralelos, se genera un sólido llamado cilindro. Cuando los planos de corte no son paralelos, el sólido se llama tronco de cilindro.

Elementos del cilindro

Los elementos de un cilindro son los siguientes:

• Bases: superficies planas, iguales y paralelas. En el caso del cílindro recto de revolución son círculos. En el caso del cilindro oblicuo, son elipses, si la superficie lateral es una superficie lateral de revolución. Si en un cilindro oblicuo, sus bases son círculos, su sección recta será una elipse.
• Superficie lateral: cara lateral curva. Si el cilindro es recto, su desarrollo es un rectángulo.
• Eje: eje de rotación perteneciente al mismo plano que la generatriz. En un cilindro recto de revolución, coincide con uno de los lados del rectángulo que lo genera.
• Sección recta: superficie que se forma al cortar un plano al cilindro perpendicularmente a su eje.
• Radio: en un cilindro circular recto, es el radio de sus bases.
• Altura: distancia mínima entre los planos de las dos bases.
• Superficie generatriz (S_g): en el cícilindro recto de revolución, es el rectángulo que lo engendra al girar 360° sobre uno de sus lados, que es el eje de rotación y también la altura del cilindro. El lado paralelo opuesto es la generatriz (g) de la superficie cilindrica de revolución. Los otros dos lados del rectángulo son los radios de las dos bases.

Tipos de cilindros

Según el ángulo que formen el eje y las bases, los cilindros son:

• Cilindro recto: El eje de rotación es perpendicular a las bases. Si las bases son círculos, es un cilindro recto circular. El cilindro recto circular también puede definirse como el sólido de revolución que se forma cuando un rectángulo (superficie generatriz S_g) gira 360° sobre uno de sus lados coincidente con el eje de rotación.
  
• Cilindro oblicuo de base elíptica: El ángulo entre el eje y las bases no es un ángulo recto. La superficie lateral es una superficie cilíndrica de revolución, la sección recta (perpendicular) al eje es un círculo y las bases son elipses.
• Cilindro oblicuo de base circular: El ángulo entre el eje y las bases no es un ángulo recto. La sección recta (perpendicular) al eje es una elipse y las bases son círculos. En este caso, la superficie lateral es una superficie reglada que se denomina superficie cilíndrica de no revolución en la que no existe un eje que equidiste de las posiciones de la generatriz.
  

Área del cilindro

El área de un cilindro se halla sumando el área de la superficie cilíndrica o área lateral (A_L) con las áreas de las dos bases (A_B).

En particular, el área de un cilindro circular es:

¿Cómo se obtiene esta fórmula?

Para hallar el área lateral, aplicamos el primer teorema de Pappus-Guldin. El centroide de la recta generatriz g se encuentra a una distancia r del eje, es decir el radio de las bases. La longitud de la recta generatriz L_g es igual a la altura del cilindro (g = h).

Las áreas de las bases (A_B) son π · r² cada una.

Hallaremos el área total del cilindro recto de revolución sumando:

Volumen del cilindro

El volumen del cilindro es:

¿Cómo se obtiene esta fórmula?

Si aplicamos el segundo teorema de Pappus-Guldin el volumen de un sólido de revolución viene dado por:

El área de la superficie generatriz del cilindro (S_g), que es la del rectángulo, es:

La longitud de la circunferencia directriz es:

Ya que el centroide de un rectángulo se encuentra en su centro, en el punto donde se cruzan las dos diagonales, a una distancia r/2 del lado mayor.

Luego el volumen será:

Obtenida por Pappus Guldin y que, en definitiva, es el área de la base por la altura (que és la misma fórmula del cilindro expuesta antes).

Volumen del cilindro oblicuo

La fórmula del volumen del cilindro oblicuo es la genérica del volumen del cilindro:

En el caso del cilindro oblicuo de sección recta circular (la base es elíptica), la fórmula de su volumen será:

Y en el caso del cilindro oblicuo de base circular (en la que su sección recta será una elipse):

Esta última es la misma fórmula que la de un cilindro recto de revolución (principio de Cavalieri).

Tronco de cilindro (o cilindro truncado)

El tronco de cilindro (o cilindro truncado) es el sólido limitado por una cara lateral cilíndrica y dos bases planas no paralelas.

Expondremos el cilindro truncado recto y el cilindro truncado oblicuo. En ambos casos, su cara lateral es una superficie de revolución cilíndrica. Es decir, con sección recta circular.

Tronco de cilindro recto

En el tronco de cilindro recto (o cilindro truncado recto), el eje es perpendicular a la base inferior. Si la superficie lateral fuese una superficie cilíndrica circular, la base inferior sería un círculo. La base superior, elíptica

El área lateral (A_L) es:

Siendo E el eje, una línea que une los centros de las bases. El eje es la media entre la generatriz mayor, g_M y la generatriz menor, g_m, es decir, (g_M + g_m) / 2.

El área total es:

siendo A_BS el área de la base superior y A_BI el área de la base inferior.

Tronco de cilindro oblicuo

En el tronco de cilindro oblicuo (o cilindro truncado oblicuo), el eje no es perpendicular a la base inferior. Si la superficie lateral es una superficie cilíndrica circular, la sección recta es circular. Las bases son en este caso son siempre elípticas.

Tanto en el cono truncado recto como en el tronco de cono oblicuo, tenemos los siguientes elementos:

• g_M es la generatriz mayor.
• g_m es la generatriz menor.
• E es el eje o distancia entre los centros de las bases y se cumple que E = 1/2(g_M + g_m ).

El área del cilindro truncado oblicuo o tronco de cilindro es:

siendo A_L el área del lateral, A_BS el área de la base superior y A_BI el área de la base inferior.

El volumen del tronco de cilindro (o cilindro truncado) viene definido por la fórmula siguiente:

donde r es el radio de la sección recta circular.