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Teoremas de Pappus-Guldin

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Los teoremas de Pappus-Guldin proporcionan herramientas para calcular el área y el volumen de las superficies y sólidos de revolución.

Primer teorema de Pappus-Guldin

El área (A) de las superficies de revolución es igual al producto de la longitud de la línea generatriz que las engendra (Lg) por la longitud de la circunferencia (Lc) que describe el centroide o centro de gravedad de dicha línea generatriz alrededor del eje de rotación.

Fórmula del primer teorema de Pappus-Guldin

Segundo teorema de Pappus-Guldin

El volumen (V) de los sólidos de revolución es igual al producto del área de la superficie generatriz que los engendra Sg por la longitud de la circunferencia Lc de describe el centroide o centro de gravedad de dicha superficie.

Fórmula del segundo teorema de Pappus-Guldin

Ejemplo 1

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Hallar el área de la superficie de revolución formada al girar 360° un segmento de longitud 10 sobre un eje de rotación situado en el mismo plano. Los extremos a y b del segmento distan del eje de rotación 8 y 14 respectivamente.

Tronco de cono para el ejemplo 1 de teorema de Pappus-Guldin

Solución:

La línea generatriz es una línea recta de longitud Lc = 10.

El centroide de la recta es su punto medio g. Por tanto, la distancia R del centroide al eje de rotación será la media aritmética de la distancia de sus extremos.

Primer cálculo del ejemplo 1 del teorema de Pappus-Guldin

La longitud de la circunferencia de rotación del centroide g del segmento será:

Segundo cálculo del ejemplo 1 del teorema de Pappus-Guldin

El área de la superficie de revolución, aplicando el primer teorema de Pappus-Guldin será:

Tercer cálculo del ejemplo 1 del teorema de Pappus-Guldin

La superficie de revolución resultante será una superficie troncocónica recta.

Ejemplo 2

Hallar el volumen del sólido de revolución (tronco elíptico) generado al girar 360° una elipse de semieje mayor a = 3 y de semieje menor b = 2 alrededor de un eje se rotación del mismo plano situado a 10 del centroide de la elipse.

Tronco elíptico para el ejemplo 2 de teorema de Pappus-Gouldin

Solución:

El área de la elipse es:

Primer cálculo del ejemplo 2 del teorema de Pappus-Guldin

La longitud de la circunferencia de rotación del centroide (g) de la elipse:

Segundo cálculo del ejemplo 2 del teorema de Pappus-Guldin

El volumen del sólido de revolución, aplicando el segundo teorema de Pappus-Guldin, es:

Tercer cálculo del ejemplo 2 del teorema de Pappus-Guldin

¿Sabías que el centroide de una elipse se encuentra en el punto en que se cortan sus dos semiejes?

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4 Respuestas

  1. Edgar Vinçon dice:

    ¿El área de la elipse no es: “π * a * b”? (pi * a * b)
    Porque veo que en el cálculo de Sg está “2 * π * a * b” (2 * pi * a * b).
    Gracias.

  2. Alexander dice:

    Las unidades de Sg y V están erradas, deben ser cm² y cm³

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