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Cargando...Los teoremas de Pappus-Guldin proporcionan herramientas para calcular el área y el volumen de las superficies y sólidos de revolución.
Primer teorema de Pappus-Guldin
El área (A) de las superficies de revolución es igual al producto de la longitud de la línea generatriz que las engendra (Lg) por la longitud de la circunferencia (Lc) que describe el centroide o centro de gravedad de dicha línea generatriz alrededor del eje de rotación.
Segundo teorema de Pappus-Guldin
El volumen (V) de los sólidos de revolución es igual al producto del área de la superficie generatriz que los engendra Sg por la longitud de la circunferencia Lc de describe el centroide o centro de gravedad de dicha superficie.
Ejemplo 1
Hallar el área de la superficie de revolución formada al girar 360° un segmento de longitud 10 sobre un eje de rotación situado en el mismo plano. Los extremos a y b del segmento distan del eje de rotación 8 y 14 respectivamente.
Solución:
La línea generatriz es una línea recta de longitud Lc = 10.
El centroide de la recta es su punto medio g. Por tanto, la distancia R del centroide al eje de rotación será la media aritmética de la distancia de sus extremos.
La longitud de la circunferencia de rotación del centroide g del segmento será:
El área de la superficie de revolución, aplicando el primer teorema de Pappus-Guldin será:
La superficie de revolución resultante será una superficie troncocónica recta.
Ejemplo 2
Hallar el volumen del sólido de revolución (tronco elíptico) generado al girar 360° una elipse de semieje mayor a = 3 y de semieje menor b = 2 alrededor de un eje se rotación del mismo plano situado a 10 del centroide de la elipse.
Solución:
El área de la elipse es:
La longitud de la circunferencia de rotación del centroide (g) de la elipse:
El volumen del sólido de revolución, aplicando el segundo teorema de Pappus-Guldin, es:
¿Sabías que el centroide de una elipse se encuentra en el punto en que se cortan sus dos semiejes?
¿El área de la elipse no es: «π * a * b»? (pi * a * b)
Porque veo que en el cálculo de Sg está «2 * π * a * b» (2 * pi * a * b).
Gracias.
Edgar, muy bien observado. Es como dices y así se ha puesto en la web.
Las unidades de Sg y V están erradas, deben ser cm² y cm³
Alexander, se agradece la observación.