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Rectas secantes

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Las rectas secantes son las que, en un plano, se cortan en un y solamente un punto.

Para que se corten, para que sean secantes, debe de cumplirse que los coeficientes correspondientes de la x y la y de sus ecuaciones, puestas en forma general, no sean proporcionales, como muestra esta desigualdad:

Restricción de rectas secantes

Para verificar con más sencillez si las rectas son secantes, es más práctico poner las ecuaciones de las rectas en forma explícita:

Restricción de rectas secantes por su forma explícita

Deben tener pendientes (los coeficientes m de las x) distintas.

En el caso general de las rectas secantes, se forman dos pares de ángulos suplementarios, dos agudos y dos obtusos, iguales o afines.

Un caso singular de rectas secantes son las rectas perpendiculares. Al cortarse, forman cuatro ángulos de 90°.

Las pendientes de dos rectas perpendiculares son inversas y de signo contrario. Esta condición se expresa alternativamente así, dependiendo de la forma en que estén expresadas sus ecuaciones:

Restricción para que dos rectas sean perpendiculares

El valor de las pendientes proporciona el cálculo del ángulo que forman dos rectas que se cortan. Este ángulo se halla mediante la fórmula de las razones trigonométricas del ángulo resta (las pendientes son la tangentes del ángulo formado por cada recta con la rama positiva del eje X):

Fórmula de la pendiente de una recta mediante razones trigonométricas

Como en la imagen:

Dibujo de la pendiente de una recta mediante razones trigonométricas

Bisectrices de dos rectas que se cortan

Las ecuaciones de las dos bisectrices de dos rectas que se cortan, sabiendo sus ecuaciones:

Ecuaciones de las bisectrices de dos rectas

Se obtiene de la fórmula, que tiene dos soluciones, una por bisectriz, según los dos signos de la fórmula:

Fórmula de las bisectrices de dos rectas

Ejercicios

Ejercicio 1

Estudiar de estos tres pares de rectas, cuales son secantes:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Los tres casos están expresados en la ecuación general de la recta. Se hace la comprobación de sus pendientes para determinar cuáles son secantes:

Cálculo de las pendientes del ejercicio 1

Ejercicio 2

a. Encontrar el punto de corte de estas dos rectas con ecuaciones en forma explícita. Son secantes porque los coeficientes de x,-2/3 y 1/2 (o pendientes) son diferentes:

Enunciado del ejercicio 1 de la posición relativa de dos rectas

b. Resolver el problema pero expresando las ecuaciones de las rectas en su forma general o implícita:

Solución:

a. Las coordenadas del punto de corte se averiguaran resolviendo este sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Se resolverá por el método de igualación, puesto que en ambas está despejada la y:

Cálculo del punto de corte del ejercicio 1 de la posición relativa de dos rectas

b. Las ecuaciones de las dos rectas expresadas en la forma general son:

Cálculo de las ecuaciones del ejercicio 1 de la posición relativa de dos rectas

El punto de corte hallado es el (3,4).

Planteadas de forma general, se resolverán por el método de reducción.

Se multiplicaran todos los términos de la segunda ecuación por -2 para, al sumarlas término a término, quede eliminada la x:

Cálculo de las ecuaciones en forma general del ejercicio 1 de la posición relativa de dos rectas

Obteniendo el mismo resultado: (3,4).

Dibujo del ejercicio 1 de posición relativa de dos rectas

Ejercicio 3

Sabiendo las ecuaciones de estas dos rectas, comprobar si sus pendientes son diferentes y, en su caso, averiguar el ángulo que forman:

Enunciado del ejercicio 2 de la pendiente de una recta

Solución:

La primera está en forma explícita y la segunda en forma general. Hallaremos en cada una de ellas su pendiente:

Cálculo de las pendientes de dos rectas del ejercicio 2 de la pendiente de una recta

Son diferentes sus pendientes, luego son rectas secantes, se cortan. Aplicaremos la fórmula para saber el ángulo que forman:

Cálculo del ángulo de dos rectas del ejercicio 2 de la pendiente de una recta

Y este es el resultado, gráficamente:

Dibujo del ejercicio 2 de la pendiente de una recta

Ejercicio 4

Hallar las ecuaciones de las bisectrices de las rectas secantes, en que sus ecuaciones son:

Enunciado del ejercicio 4

Solucion:

Se aplica la ecuación de las bisectrices:

Fórmula de las bisectrices de dos rectas

En la que se colocan los datos y se resuelve:

Datos del ejercicio 4

La primera bisectriz se ha obtenido con el signo “+”:

Primera bisectriz del ejercicio 4

La segunda con el signo “-”:

Segunda bisectriz del ejercicio 4

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