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Movimiento parabólico

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Dibujo del movimiento parabólico

El movimiento parabólico es el movimiento de una partícula o cuerpo rígido describiendo su trayectoria una parábola. Por ejemplo, el balón de fútbol cuando es chutado por un jugador y cae al suelo es un movimiento parabólico.

El movimiento parabólico se puede analizar como la unión de dos movimientos. Por un lado, la trayectoria en la proyección del eje de las x (el eje que va paralelo al suelo) describirá un movimiento rectilíneo uniforme. Por otro lado, la trayectoria de la partícula al elevarse o caer verticalmente (en proyección sobre el eje de las y) describirá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, donde la aceleración es la gravedad.

Dibujo del movimiento parabólico viendo el movimiento rectilíneo uniforme (coordenada x) y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (coordenada y)

Nota: la gravedad normalmente se considera g = 9.81 m/s2.

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Para hacernos una idea visual de los dos componentes del movimiento parabólico, imaginemos un lanzamiento de peso de atletismo.

Si pudiésemos seguir el recorrido de la bola verticalmente desde arriba, en el mismo plano vertical de la trayectoria, desde esa posición privilegiada veríamos la bola avanzar a una velocidad constante, desde la salida de la mano del atleta hasta que la bola toca el césped. Apreciaríamos un movimiento rectilíneo uniforme (velocidad constante).

Pero si nos pudiésemos situar sobre el césped, detrás de donde se ubican los jueces y que estuviésemos también justo en el plano vertical de la trayectoria (es decir, que lanzase hacia nosotros) nos daría la impresión de que la bola sube y baja como si se tratase de un lanzamiento vertical hacia arriba (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado).

Una de las aplicaciones más importantes del movimiento parabólico es la balística. La balística es la ciencia que estudia la trayectoria de las balas o proyectiles. Ciertos proyectiles son lanzados desde un cañón con un ángulo determinado calculado para que el proyectil recorra una parábola e impacte en el objetivo esperado.

(Nota: estudiamos aquí el movimiento parabólico aplicado a la balística desde un punto de vista teórico. En la práctica, la balística debe de corregir los cálculos en función de otros factores, como el rozamiento del proyectil con la atmósfera, el viento, la presión atmosférica, la esfericidad y la rotación de la tierra, etc.).

Tipos de movimiento parabólico

Existen diferentes tipos de movimiento parabólico dependiendo desde donde empieza o acaba el movimiento del cuerpo. Por ejemplo:

  • Movimiento parabólico completo: el cuerpo recorre una parábola completa, empezando y acabando en el suelo.
  • Movimiento de media parábola: el cuerpo empieza el movimiento desde cierta altura y es lanzado parabólicamente con una fuerza horizontal, en un punto que sería el punto más alto de la parábola completa ideal.
  • Otros movimientos parabólicos: existen muchos casos particulares del movimiento parabólico, por ejemplo el lanzamiento de una pelota desde el suelo a la terraza de una casa o el lanzamiento a canasta de un jugador de baloncesto. Siempre son tramos de una teórica parábola completa.

Todos los elementos de los movimientos parabólicos se pueden calcular a partir del movimiento parabólico completo.

Dibujo de los tipos de movimiento parabólico

Velocidad

Dibujo de la velocidad en el movimiento parabólico

La velocidad inicial del cuerpo (v0) tiene dos componentes, la componente horizontal, en el eje X y la componente vertical, en el eje vertical Y. Depende de la fuerza con la que salga la partícula y el ángulo de lanzamiento.

Fórmula de la velocidad inicial en el movimiento parabólico

La componente horizontal de la velocidad x será constante, ya que es un movimiento uniforme. La componente vertical de la velocidad y disminuye inicialmente por la gravedad, hasta hacerse nula en el punto más alto de la trayectoria. A partir de ese punto, vuelve a crecer uniformemente acelerada por la gravedad. La fórmula de la velocidad es:

Fórmula de la velocidad en el movimiento parabólico

Aceleración

Dibujo de la aceleración en el movimiento parabólico

La aceleración solamente está presente en la componente vertical. El movimiento horizontal es uniforme mientras que sobre la componente y influye la aceleración de la gravedad, que hace que se frene el cuerpo (en el caso de que esté subiendo) hasta volver a acelerarse al descender y caer al suelo.

Fórmula de la aceleración en el movimiento parabólico

Posición

En la posición del objeto también intervienen las fórmulas de la posición del movimiento rectilíneo uniforme (sentido horizontal) y la posición del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (sentido vertical).

Fórmula de la posición en el movimiento parabólico

Altura máxima

Dibujo de la altura máxima en el movimiento parabólico

En el movimiento parabólico, existe un punto (y sólo un punto) donde la partícula se encuentra en el punto más alto de su trayectoria.

En ese punto, la componente vertical de la velocidad es nula.

La fórmula para determinar la altura máxima no depende del tiempo.

Fórmula de la altura máxima en el movimiento parabólico

A igual velocidad inicial y aceleración de la gravedad, la altura máxima de una trayectoria parabólica dependerá del ángulo θ de la velocidad inicial v0.

La máxima altura que se puede alcanzar con una velocidad v0 determinada se corresponde con un ángulo de lanzamiento θ = 90°.

Alcance horizontal máximo

Dibujo del alcance horizontal máximo en el movimiento parabólico

La partícula o cuerpo llegará a su alcance horizontal máximo cuando caiga al suelo, es decir, cuando y sea cero. Podemos calcular el alcance sin saber el tiempo que ha tardado en recorrer la parábola la partícula o conociéndolo.

  • Fórmula del alcance siendo el tiempo de trayectoria de la partícula desconocido
    Fórmula del alcance horizontal máximo sin saber el tiempo total de trayectoria en el movimiento parabólico

    (Para comprobar la deducción de esta fórmula, consultar razones trigonométricas del ángulo doble)

    El alcance máximo que se podrá lograr con un proyectil (a igual velocidad inicial v0), será con un ángulo θ = 45°.

    Por ejemplo, se obtendrá el mismo alcance horizontal para ángulos de lanzamiento θ = 45° ± m. El proyectil tendrá el mismo alcance, tanto si se lanza con ángulos θ = 45° ± 15°, es decir θ = 30° y θ = 60°, ya que sen (2 · 30°) = sen (2 · 60°). Idénticos alcances se obtendrán con ángulos θ = 45° ± 30°, es decir θ = 15° y θ = 75°, puesto que sen (2 · 15°) = sen (2 · 75°). Y es que en la fórmula interviene sen (2θ). Pero, insistimos, el alcance máximo se logra con θ = 45°.

  • Fórmula del alcance siendo el tiempo de trayectoria de la partícula conocido (tt)
    Fórmula del alcance horizontal máximo sabiendo el tiempo total de trayectoria en el movimiento parabólico

Llamamos tiempo de vuelo (Tvuelo) al que invierte el cuerpo o el proyectil en realizar el movimiento completo hasta llegar a tierra, es decir a la misma altura del punto de salida.

Fórmula del tiempo de vuelo en el movimiento parabólico

Ejercicios resueltos del movimiento parabólico

Ejercicio 1

Un portero saca el balón desde el césped a una velocidad de 26 m/s. Si la pelota sale del suelo con un ángulo de 40° y cae sobre el campo sin que antes lo toque ningún jugador, calcular:

  • Altura máxima del balón
  • Distancia desde el portero hasta el punto donde caerá en el campo
  • Tiempo en que la pelota estará en el aire

SOLUCIÓN:

Resolveremos el problema de dos maneras: aplicando directamente las fórmulas específicas o, en segundo lugar, partiendo de las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUA.

En primer lugar, descomponemos la velocidad inicial en sus componentes. La componente horizontal de la velocidad será:

Cálculo de la componente horizontal de la velocidad en el ejercicio 1 por el método 1

La componente vertical de la velocidad inicial será:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad inicial en el ejercicio 1 por el método 1

La altura máxima será:

Cálculo de la altura máxima en el ejercicio 1 por el método 1

El alcance del saque del portero será:

Cálculo del alcance del saque del portero en el ejercicio 1 por el método 1

Calcularemos el tiempo de vuelo de la pelota:

Cálculo del tiempo de vuelo de la pelota en el ejercicio 1 por el método 1

Ahora vamos a resolver el mismo problema, pero partiendo de las fórmulas de los dos movimientos componentes del movimiento parabólico: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se corresponde con el eje horizontal, y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que se corresponde con el eje vertical. Recordemos que la aceleración aquí es la aceleración de la gravedad g, con valor -9,81 m/s2 (signo negativo por ser el sentido de la gravedad contrario al de la componente vertical de la velocidad inicial v0y).

En el punto en que el balón alcanza la altura máxima, su componente de velocidad vertical será vy = 0 m/s, ya que deja de subir y empieza a descender. Aplicamos la fórmula de la velocidad en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). En este caso será:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad en el ejercicio 1 por el método 2

Como vy = 0:

Cálculo del tiempo en llegar el balón al punto más alto en el ejercicio 1 por el método 2

Tiempo que tarda en llegar el balón a su punto más alto. Ahora aplicamos la ecuación del espacio en el MRUA, para averiguar la altura máxima, sabiendo el tiempo que ha invertido en llegar a ella:

Cálculo de la altura máxima en el ejercicio 1 por el método 2

Nos queda saber el alcance. Como el movimiento parabólico es simétrico, tardará lo mismo en llegar al punto más alto que luego, desde allí, bajando llegar a tocar el césped, es decir 1,7 · 2 = 3,4 s.

Aplicamos la fórmula del espacio del MRU, por más sencilla, que en este caso será:

Cálculo del espacio vertical recorrido en el ejercicio 1 por el método 2

Nota: la diferencia en los decimales en el resultado de los dos procedimientos se debe al redondeo.

Ejercicio 2

Están jugando en el patio de un colegio, cuando el balón sale al exterior por encima de la valla del campo. Un hombre le da una patada al balón para devolverlo al interior. Sabiendo que el muro del patio tiene 3 m de altura, que el hombre está a 53 m del muro y que patea el balón a 24 m/s con un ángulo de 55°, averiguar si consigue que la pelota vuelva a entrar al patio o, por el contrario pasa sobre el muro.

SOLUCIÓN:

En este problema, emplearemos también fórmulas de los dos movimientos componentes del movimiento parabólico: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se corresponde con el eje horizontal, y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que se corresponde con el eje vertical.

En primer lugar, volvemos a descomponer el vector velocidad inicial v0 en sus dos componentes. La componente horizontal de la velocidad será:

Cálculo de la componente horizontal de la velocidad en el ejercicio 2

La componente vertical de la velocidad inicial será:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad en el ejercicio 2

Resolveremos el problema aplicando las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUA. Como el hombre chuta el balón a 53 m del muro y la componente horizontal de la velocidad es 13,77 m/s, por la ecuación del MRU tendremos:

Cálculo del tiempo en llegar el balón al muro en el ejercicio 2

Que será el tiempo en llegar al balón al muro, ya que éste está a 53 m. Ahora, para ver si lo sobrepasa, aplicamos una fórmula del MRUA:

Cálculo de la altura al impactar el balón en el muro en el ejercicio 2

Recordamos que la aceleración es la de la gravedad g, con signo contrario al de la componente vertical de la velocidad inicial.

Dibujo del ejercicio 2 del movimiento parabólico

La respuesta al ejercicio es que el hombre no ha conseguido meter el balón en el patio, puesto que el muro tiene una altura de 3 m y el balón ha impactado contra él a 2,98 m. Deberá volverlo a intentar, quizás acercándose más al muro.

Ejercicio 3

En una prueba de atletismo de lanzamiento de peso, el atleta logra una marca de 22 m. Sabiendo que la bola sale de su mano a 2 m del suelo y con un ángulo de 45°, averiguar la velocidad inicial del lanzamiento.

SOLUCIÓN:

Para resolver el problema, igualmente emplearemos las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme y del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, que componen, como se ha repetido, el movimiento parabólico. Del movimiento MRU usaremos la fórmula:

Cálculo de la fórmula del MRU en el ejercicio 3

Sabemos que v0 · cos θ es la componente horizontal de la velocidad v0). Despejamos el tiempo y la velocidad:

Cálculo para despejar el tiempo y la velocidad en el ejercicio 3

Ahora, vamos a la fórmula del espacio del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Cálculo de la fórmula del MRUA en el ejercicio 3

Sabemos también que v0 · sen θ es la componente vertical de la velocidad v0 y que la aceleración es la de la gravedad g con signo negativo, al ser contraria a la velocidad inicial. La altura final será cero, y = 0 m, puesto que la bola impacta en el suelo. La altura inicial será a la que suelta el atleta la bola de la mano, y0 = 2 m). Sustituimos por la expresión de t antes obtenida y ponemos los valores conocidos:

Cálculo del tiempo en un movimiento MRUA en el ejercicio 3

Despejamos de esta ecuación la t, pues tan 45° = 1.

Cálculo del tiempo en el que está en el aire el peso en el ejercicio 3

Volvemos a la expresión anterior de v0.

Cálculo de la velocidad de lanzamiento en el ejercicio 3

Por lo tanto, 14,1 m/s será la velocidad de lanzamiento v0 buscada.

Dibujo del ejercicio 3 del movimiento parabólico

Ejercicio 4

Un bombardero vuela horizontalmente a una altitud de 3200 pies con una velocidad de 400 pies/s, cuando suelta una bomba.

5 segundos más tarde, un cañón situado bajo la trayectoria del bombardero, pero 5000 pies antes del punto en que el bombardero soltó la bomba (se supone que el cañón, en el suelo, está a 3200 pies bajo la trayectoria del avión), dispara un proyectil. Si el proyectil hace explotar la bomba a 1600 pies de altura. Hallar el ángulo de elevación del cañón y la velocidad inicial del proyectil.

Dibujo del ejercicio 4 del movimiento parabólico

En primer lugar, estudiamos el movimiento parabólico de la bomba, desde que la suelta el avión hasta el momento del impacto con el proyectil y la explosión.

La bomba comienza su recorrido a 3200 pies de altura con una velocidad inicial horizontal de 400 ft/s y, durante la caída, cuando llega a los 1600 pies impacta y explota.

Apliquemos la ecuación de la componente vertical del recorrido en el movimiento parabólico, tomando como sistema de referencia coordenadas con origen en el suelo en el punto de la vertical del momento de soltar el avión la bomba.

Cálculo de la componente vertical en el ejercicio 4

El vuelo es horizontal, luego el ángulo de salida de la bomba θ0b será cero, igual que su seno. Adoptamos un valor de la aceleración de la gravedad constante g = 32,18 ft/s².

Aplicamos valores a la ecuación anterior y despejamos tb, el tiempo en que tarda la bomba en caer desde los 3200 ft iniciales a los 1600 ft en que explota:

Cálculo del tiempo en explotar la bomba en el ejercicio 4

Conocido el tiempo de vuelo de la bomba, aplicaremos la siguiente fórmula para la componente horizontal del movimiento parabólico, que se corresponde con un movimiento rectilíneo uniforme:

Cálculo de la componente horizontal en el ejercicio 4

La proyección horizontal del recorrido de la bomba son 3988,8 pies.

Ahora, conocidos los datos del movimiento de la bomba, vamos a estudiar el movimiento parabólico del proyectil disparado:

Nos dice el ejercicio que el cañón dispara el proyectil 5 segundos más tarde, por lo que el tiempo de vuelo del proyectil tp será:

Cálculo del tiempo de vuelo del proyectil en el ejercicio 4

También nos dice el ejercicio que el cañón está situado en el suelo y en la vertical la trayectoria del vuelo del bombardero, pero 5000 pies antes del punto en que se suelta la bomba.

Y el proyectil intercepta a la bomba a una altura sobre el suelo de 3200 – 1600 = 1600 pies.

Con estos datos, determinaremos el ángulo de elevación θ0p y la velocidad de tiro del cañón v0p:

Lo referenciaremos al sistema de coordenadas citado, el que tiene su origen en el suelo, justo en la proyección vertical del punto en que el avión suelta la bomba:

Cálculo del ángulo de elevación en el ejercicio 4

Como los dos móviles chocan en un punto, xib = xip = xi. Y también yib = yip = yi.

Aplicamos una de las ecuaciones del movimiento parabólico, la referida al eje Y del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).

Cálculo en el eje Y en el ejercicio 4

El signo menos es porque el sentido ascendente de la velocidad es contrario al de la aceleración de la gravedad.

Sustituimos valores:

Cálculo en el eje Y sustituyendo valores en el ejercicio 4

Ahora, aplicamos otra de las ecuaciones del movimiento parabólico, la referida al eje X del movimiento rectilíneo uniforme (MRU).

Cálculo en el eje X en el ejercicio 4

Sustituimos valores:

Cálculo en el eje X sustituyendo valores en el ejercicio 4

Elevamos al cuadrado, miembro a miembro, las ecuaciones (1) y (2). La igualdad se mantiene:

Cálculo en el eje X elevando al cuadrado en el ejercicio 4

Desarrollamos:

Cálculo en el eje X elevando al cuadrado y desarrollando en el ejercicio 4

Sumamos miembro a miembro ambos términos de las dos igualdades, con lo que la igualdad se mantiene. Sacamos factor común:

Cálculo en el eje X sacando factor común en el ejercicio 4

Por la identidad fundamental de la trigonometría, sabemos que:

Cálculo en el eje X por la identidad fundamental de la trigonometría en el ejercicio 4

Por lo que:

Cálculo en el eje X por la identidad fundamental de la trigonometría desarrollando en el ejercicio 4

La velocidad inicial del proyectil será de 1852,73 ft/s.

El ángulo de elevación del cañón lo calcularemos trigonométricamente, partiendo de la igualdad (1) :

Cálculo del ángulo de elevación del cañón en el ejercicio 4

El valor del ángulo lo hallaremos mediante el arcoseno:

Cálculo del ángulo de elevación del cañón mediante el arcoseno en el ejercicio 4

El ángulo de elevación del cañón es 12,41°.

Ahora vamos a resolver la trayectoria del proyectilpor otro procedimiento, que muestra cómo un movimiento parabólico es la composición de un movimiento rectilíneo uniforme con otro vertical pero movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

La componente horizontal de este movimiento parabólico, que se corresponde con un movimiento rectilíneo uniforme, la podemos hallar fácilmente porque conocemos la proyección horizontal del recorrido del proyectil:

Cálculo de la componente horizontal a través de su proyección en el ejercicio 4

Y el tiempo en movimiento del proyectil (los 4,97 segundos calculados arriba).

Ésta es la componente horizontal de la velocidad:

Cálculo de la componente horizontal de la velocidad en el ejercicio 4

Ahora, la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil la averiguaremos con esta ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad en el ejercicio 4

Conocemos la altura a la que llega el proyectil, el tiempo y el valor de g.

Cálculo de la altura del proyectil en el ejercicio 4

Esta es la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil .

Sabiendo las dos componentes, se pueden hallar fácilmente tanto el valor de la velocidad inicial del proyectil v0p como el valor del ángulo de elevación del cañón θ0p:

Cálculo de la velocidad inicial del proyectil en el ejercicio 4

A la vista de la figura, hallamos v0p mediante el teorema de Pitágoras:

Cálculo mediante el teorema de Pitágoras en el ejercicio 4

Este es el módulo de la velocidad inicial del proyectil. El valor del ángulo de elevación del cañón θ0p lo hallaremos trigonométricamente:

Cálculo del módulo de la velocidad inicial en el ejercicio 4

Resultado: velocidad inicial del proyectil, 1852,73 ft/s y ángulo de elevación 12,41°.

Cálculo de la componente horizontal de la velocidad en el ejercicio 4

Ahora, la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil la averiguaremos con esta ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad en el ejercicio 4

Conocemos la altura a la que llega el proyectil, el tiempo y el valor de g.

Cálculo de la altura del proyectil en el ejercicio 4

Esta es la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil.

Sabiendo las dos componentes, se pueden hallar fácilmente tanto el valor de la velocidad inicial del proyectil v0p como el valor del ángulo de elevación del cañón θ0p:

Cálculo de la velocidad inicial del proyectil en el ejercicio 4

A la vista de la figura, hallamos v0p mediante el teorema de Pitágoras:

Cálculo mediante el teorema de Pitágoras en el ejercicio 4

Este es el módulo de la velocidad inicial del proyectil. El valor del ángulo de elevación del cañón θ0p lo hallaremos trigonométricamente:

Cálculo del módulo de la velocidad inicial en el ejercicio 4

Resultado: velocidad inicial del proyectil, 1852,73 ft/s y ángulo de elevación 12,41°.

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51 Respuestas

  1. Maryeri dice:

    Hola me pueden ayudar con este problema una pelota es lanzado desde el suelo con cierto ángulo de inclinación determina la rapidez con que se lanza la pelota si solo disponemos con una cinta métrica y cronómetro
    1-hallar el alcance horizontal
    2-la velocidad horizontal
    3-el tiempo que tardó la pelota en tocar el suelo
    4-la componente vertical de la velocidad inicial
    5-el ángulo de elevación de la pelota
    datos
    distancia: 0,0192 m
    tiempo promedio: 1,423

    • Respuestas dice:

      El dato de distancia de 0,0192 m ¿Es correcto?
      ¿Cómo es que se pide el alcance horizontal si como datos das la distancia?

  2. Axel dice:

    hola me pueden ayudar con el siguiente problema?: Un proyectil de 400 kg parte del origen con
    una velocidad inicial de 100 m/s. Si se quiere que impacte en un objetivo a 1000m de distancia y 25 m
    arriba del punto del disparo, determine las dos direcciones en que puede dispararse para lograrlo. Considere despreciable la resistencia del aire

    • Respuestas dice:

      Usa las ecuaciones del movimiento parabólico. La relativa a la posición.
      p = [x0 + (v0 * cos θ)t]i + [y0 + v0 * sen θ * tgt² / 2]j
      La componente horizontal de la posición en un tiempo t de un tiro parabólico es:
      xt = x0 + (v0 * cos θ)t
      1000 = 0 + 100 * cos θ * t
      Despeja t:
      t = 10 / cos θ
      En la componente vertical del movimiento parabólico, que es un MRUA con aceleración –g (porque la gravedad g = 9,8 m/s², es de signo contrario al de la velocidad inicial).
      yt = y0 + v0 * sen θ * tgt² / 2
      25 = 0 + 100 * sen θ * t – 4,9 * t²
      Sustituye en esta ecuación la expresión de t hallada anteriormente:
      25 = 0 + 100 * sen θ * (10 / cos θ) – 4,9 * (10 / cos θ
      Halla, mediante operaciones trigonométricas (sen θ / cos θ = tan θ y 1 + tan² θ = 1 / cos² θ).
      Sustituyendo, queda una ecuación de segundo grado con incógnita tan θ
      Resuelve la ecuación. De cada una de sus dos raíces, halla el arco tangente y tendrás los dos ángulos de tiro

  3. mayer dice:

    Un grupo de estudiantes de ingeniería ambiental de la UNAD están en una salida de campo y hacen una caminata de acuerdo a la siguiente información. Primero recorren 1.13×10³ m al este, después ello, caminan 2.16×10³ m hacia el sur, continúan el recorrido caminado 3.12×10³ m a 30 grados al sur del oeste, donde encuentran un río, el cual les impide continuar con el recorrido. Para terminar su salida de campo y volver al punto de partida, el grupo de estudiantes se devuelve 4.36×10³ m en dirección de 40.5 grados hacia el oeste del norte, pero lamentablemente, notan que están perdidos. A partir de la anterior información:

    A. Representa cada uno de los cuatro desplazamientos realizados por el grupo de estudiantes, en términos de los vectores unitarios; dicho de otra manera, determine las componentes rectangulares de cada uno de los cuatro vectores de desplazamiento.
    B. Determine analíticamente las coordenadas del vector desplazamiento total, el cual es la suma de los cuatro desplazamientos iniciales, propuestos en la parte (a) del ejercicio.
    C. Determine la distancia y la dirección que deben tomar los estudiantes para volver al campamento. Recuerde que esta dirección debe especificarse con ángulo y referencia a los puntos cardinales.
    D. Represente de manera gráfica, en un plano cartesiano a escala, todo el recorrido del grupo estudiantil, incluido el vector desplazamiento que les permite volver al punto de partida.
    E. ¿Cuál es la distancia total recorrida por los estudiantes en su caminata? (no incluya el trayecto de devuelta al punto de partida)

  4. mayer dice:

    Buenos dias me podria ayudar con este ejercicio…
    Se ha producido una avalancha de nieve y en medio de ésta se observa el tronco de un pino que se dirige colina abajo, la cual termina en un acantilado que tiene una distancia hasta el suelo de 7.7 m. Si en el momento que el tronco llega al filo del acantilado, su velocidad horizontal es de 17.9 m/s, determine:
    A. El tiempo que le tomará al tronco en caer hasta el fondo de acantilado.
    B. La distancia horizontal “x” recorrida.
    C. La magnitud de la velocidad con que llega al fondo del acantilado.
    D. Las coordenadas del vector de posición final, en términos de los vectores unitarios.

    • Respuestas dice:

      A) 0 = yfilo – ½ * 9,81 * = 7,7 – ½ * 9,81 *
      t = 1,25 s

      B)x = vx * t = 17,9 * 1,25 = 22,37 m

      C) vysuelo = vyfilo – g*t = vyfilo + 9,81 * 1,25

  5. Nadia dice:

    Hola, por favor podrías ayudarme con un ejercicio?
    Uno de los lanzamientos más rápidos registrados en las ligas mayores de béisbol fue hecho por Tim Lincecum a 101 mi/h en el 2009. Si alguien lanzara horizontalmente con esta velocidad, ¿ a qué distancia caería verticalmente la bola al momento de alcanzar el plato de bateo, a 60.5 pies?

    • Nadia dice:

      Ok, muchas gracias, por la ayuda 😀

    • Nadia dice:

      Solo esos datos son los que se me ha dado, supongo que con lo de “caer verticalmente se refiere a la altura”, busque en google algún ejercicio similar, porque la verdad estoy ayudando a una amiga con esto y encontré uno similar y lo resuelven pasando las 101 millas por hora a m/sg y los pies a metros, saca el tiempo con la fórmula t=d/v y luego la altura h= 1/2 g.t´¨2, la respuesta me dio a 0.81m y no sé si este bien hecho o no…….ayuda!

    • Respuestas dice:

      Nadia, no es necesario buscar en Google. Solamente entender el planteamiento.
      Lo primero es pasar a las mismas unidades. Longitud y velocidad a pies y pies/s o a metros y metros/s. Pongamos a m y m/s.
      El tiempo que emplea la bola en llegar al bateador efectivamente lo calculas por la fórmula del MRU, pues este es el de la componente horizontal de la velocidad vx.
      Sabiendo el tiempo, con la fórmula del espacio del MRUA, que se corresponde con la componente vertical, puedes calcular a qué altura le llega la bola al bateador. Puedes considerar que sale del lanzador con una altura inicial y0 = 5 pies.
      Es correcto, la altura que pierde la bola es 1/2g. En ese caso, esa caida se la restas a la altura de lanzamiento, que yo había supuesto de 5 pies, es decir, de 1,52 m.

    • Respuestas dice:

      No conozco bastante las reglas del béisbol.
      Supongamos que se trata de un lanzador que suelta la bola horizontalmente a 101 mph y a una altura sobre el suelo de 5 pies.
      Podría suponer también (aunque no lo capto en tu propuesta) que propones que la bola llega al suelo del plato de bateo, que esté situado a 60,5 pies del lanzador.
      Falta que me aclares el significado de “caer verticalmente la bola en el momento de alcanzar el plato de bateo.
      Espero tu ampliación.

  6. Verónica M dice:

    Me podrias ayudar con un ejercicio?
    Un jugador de básquet al lanzar el balón lo hace alzando la mano desde una altura de 2 m y con una rapidez inicial de 50km/h. si el aro se halla a una altura de 3,05 m y una distancia de 5 m, ¿cual es el ángulo de tiro con el que podría encestar?

    Mi profesor dijo que la respuesta es 19°. Pero no he logrado dar con la operación correcta

    • Respuestas dice:

      Efectivamente, un ángulo de tiro, con una buena aproximación, es de 19°
      Usa las ecuaciones del movimiento parabólico. La relativa a la posición.
      La componente horizontal de la posición en un tiempo t de un tiro parabólico es:
      x = x0 + v0 * cos θ * t
      Pasa la velocidad de Km/h a m/s y te da 13,89 m/s
      5 = 0 + 13,89 * cos θ * t
      Despeja t en el término de la componente horizontal.
      t = 5 / 13,89 * cos θ
      En la componente vertical del movimiento parabólico, que es un MRUA con aceleración -g (porque la gravedad es de signo contrario al de la velocidad inicial).
      y = y0 + v0 * sen θ * t – gt² / 2
      3,05 = 2 + 13,89 *sen θ t – 4,9 * t²
      Ordena los valores numéricos de esta expresión y sustituye en ella t por el valor hallado anteriomente.
      Halla, mediante operaciones trigonométricas (sen θ / cos θ = tan θ y 1 + tan² θ = 1 / cos² θ).
      Queda una ecuación de segundo grado con incógnita tan θ
      Resuelve la ecuación. De sus dos raíces, halla el arco tangente y tendrás los dos ángulos de tiro. Uno de ellos el 19°
      La otra raíz lleva a un ángulo de 71°, que, al margen de las matemáticas y la física, no parece un ángulo muy habitual para tirar a canasta desde 5 m.
      Espero que te sirva.

  7. Camilo Castiblanco dice:

    Buenas noches necesito ayuda con esto: Se lanza una pequeña bola con una velocidad
    inicial de (40m/s; 53º), según se indica en la figura. La
    bola se emboca en un tubo inclinado 45º, de tal forma
    que la dirección del movimiento de la bola coincide con
    la inclinación del tubo en el momento de entrar en él.
    Halle las coordenadas de la boca del tubo.

    • Respuestas dice:

      Halla las componentes de la velocidad, vertical y horizontal en el momento de lanzamiento.
      La componente horizontal es constante en el movimiento parabólico (un MRU).
      Cuando la bola entra en el tubo a 45°, las componentes vertical y horizontal en ese punto deben ser iguales (tan 45° = 1). Llámale al tiempo transcurrido t1< \sub>.
      La componente horizontal inicial es 40*cos 53° m/s.
      La componente vertical a la entrada del tubo (MRUA), que, como hemos dicho, es igual a la horizontal, que se mantiene constante:
      40*cos 53° = 40*sen 53° – 9,81*t1 m/s
      Despeja t1
      Puedes hallar la componente vertical de la posición:
      40*sen 53° * t1 – (1 / 2) * 9,81 * t 1² m
      La componente horizontal de la posición será:
      40*cos 53°*t1 m

  8. Josselin dice:

    Buenas Noches, necesito ayuda con esto:

    Una persona se sube a un sillon el cual tiene 0,41 m y lanza un moneda, la altura del sillon a la mano es de 0,89 m, y la altura de la mano hasta la cabeza es de 0,59, Diga:

    A) velocidad inicial
    B) altura maxima
    C) velocidad con la que impacta el suelo
    D) ángulo con la que fue lanzada la moneda

    • Respuestas dice:

      ¿Seguro que es eso lo que te piden en el ejercicio?
      Repasalo, porque no veo el sentido y, en el mejor de los casos, faltan datos.

  9. Adguyr dice:

    Ayudame con un ejercicio de movimiento semiparabolico
    Desde una altura h se dispara horizontalmente un proyectil con una velocidad de 44.1 m/s. Sí el proyectil llega al suelo con velocidad de 73.5 m/s, halle los datos:
    a) La velocidad al finalizar el movimiento:
    b) Altura h desde la cual se efectuó el disparo:
    c) Alcance horizontal del proyectil:

    • Respuestas dice:

      Parábola es simétrica respecto al eje que pasa por el vértice (punto de altura máxima).
      Vamos a hallar el ángulo de llegada, que por simetría, es igual al de lanzamiento θ para aplicar las fórmulas.
      cos θ = 44,1 / 73,5 = 0,6
      θ = arc cos 0,6 = 53,13°
      a) 73,5 m/s
      b) Fórmula de la altura máxima:
      ymáx = (v0²*sen² θ) / 2g
      ymáx = 73,5²*0,8²/2*9,81 = 176,22 m
      c) Fórmula del alcance máximo:
      xmáx = (v0²*sen 2θ) / g = (73,5² * sen 2*53,13°) / g = 528,66 m
      Como el tiro es semiparabólico, el alcance será de 528,66 / 2 = 264,33 m

  10. Mauricio dice:

    Hola quisiera q me ayudarán con este problema
    Se patea un balón de fútbol con un ángulo de 37° con una velocidad de 20/m/Segundo
    calculé
    Altura máxima?
    El tiempo que permanece el el aire?
    La distancia con la que llega al suelo?
    La velocidad en XY del proyectil?
    Espero q me ayuden

    • Respuestas dice:

      El ejercicio 1 de esta página resuelve lo que te pide tu problema.
      Tienes la fòrmula de la velocidad en la trayectoria.

  11. fernanda dice:

    necesito ayuda para saber de donde se saca el numero 2.9,81 del ejercicio 1

  12. fernanda dice:

    en el primer ejercicio no entiendo de donde saca 2.9,81 y me interesaría saber de donde se saca para poder proseguir con lo siguiente =)

  13. kevin gustavo dice:

    esto si entiendo

  14. Omar dice:

    Ayuda no entiendo este problema.

    Demuestre que el disparo de una pistola puede alcanzar el triple de altura cuando tiene un ángulo de elevación de 60°, que cuando su ángulo es de 30°; pero que tendrá el mismo alcance horizontal.

    Espero puedan ayudarme.

    • Respuestas dice:

      Ve a la fórmula de alcance horizontal máximo en esta misma página de UNIVERSO FÓRMULAS. Verás que el alcance horizontal depende del seno del angulo doble del de tiro. Como el seno de 2*30° es igual al seno de 2*60°, el alcance horizontal máximo será el mismo.
      Ahora ve a la fórmula altura máxima. Depende del cuadrado del seno del ángulo de tiro. Ese cuadrado es triple en el caso de 60° que en 30°
      Espero que te sirva

  15. diana dice:

    en lo primero de la velocidad, la aceleración, ¿que significa la i y la j?

    • Respuestas dice:

      El 10 de abril de 2018 se dio a esto la siguiente respuesta:
      Son vectores unitarios (con dirección, sentido y módulo 1).Se llaman tambien versores. Sirven para convertir una magnitud escalar (por ejemplo la componente vertical de la celeridad) en un vector de la magnitud igual al escalar y la dirección correspondiente del sistema de coordenadas cartesiano.
      Consulta producto de un vector por un escalar en Multiplicación de vectores de UNIVERSO FÓRMULAS.

    • Carlos dice:

      entonces no tiene ningún valor , yo iba hacer la misma pregunta :

    • Respuestas dice:

      Son vectores unitarios (con dirección, sentido y módulo 1).Se llaman tambien versores. Sirven para convertir una magnitud escalar (por ejemplo la componente vertical de la celeridad) en un vector de la magnitud igual al escalar y la dirección correspondiente del sistema de coordenadas cartesiano.
      Consulta producto de un vector por un escalar en Multiplicación de vectores de UNIVERSO FÓRMULAS.

    • Respuestas dice:

      Se refiere a los vectores. El vector i es el vector unitario (módulo 1) asociado a la dirección de el eje de las abcisas u horizontal. El j corresponde al vertical u ordenadas. El producto por i y por j forma las componentes cartesianas horizontales y verticales de las magnitudes vectoriales que intervienen en el movimiento.

  16. Enrique dice:

    me ha servido de mucha ayuda gracias

  17. Ricardo dice:

    Y no se tiene en cuenta la resistencia del aire? estoy de acuerdo con las formulas en el vacio pero deberiamos de añadir la resistencia del aire que frena la velocidad vertical y la horizontal. No se como considerarlo, habrá alguna ecuación diferencial por medio.

    • Respuestas dice:

      En balística hay fórmulas que consideran la resistencia del aire, la presión el viento y su dirección, el factor de forma del proyectil, la altura por la variación de la aceleración de la gravedad, y muchas más. Pero eso rebasa esta web.

  18. Willibaldo dice:

    Falta un ejemplo en el cuál te den: distancia total recorrida y tiempo total; encuentre Vo inicial y ángulo.

  19. Cesar C dice:

    Una partícula está en movimiento parabólico y cuando está en su punto de altura máxima, tiene la mitad de la rapidez que tenía cuando estaba a la mitad de su altura máxima. ¿Cuál es su ángulo de salida?

  20. jonathan dice:

    Nuestro goleador ve muy salido al arquero y patea al arco enviando la pelota con un
    ángulo de 45°. El arquero se encuentra a 12 metros de la portería. La rapidez de la bola al
    salir del pie es de 25 m/s. Si la bola pasa a veinte cm. por debajo del palo y nuestra portería
    mide 2,5 m de alto, diga:
    a) A que distancia se encontraba nuestro héroe al momento de patear el rebote.
    b) Calcule también la velocidad y la rapidez de la bola al momento de ingresar al arco.
    c) Diga a qué velocidad debe correr el portero si quiere atajar.

    • Respuestas dice:

      Sigue los pasos, adaptados a este problema, del segundo ejercicio de la página “Movimiento parabólico” de Universo Fórmulas.
      Tienes que resolver una ecuación de segundo grado para hallar, por ejemplo,el tiempo que tarda la pelota en ingresar a la portería.
      La velocidad delportero es dividir 12 m por el tiempo hallado.

  21. narcisa vallejo dice:

    Buenas noches en el ejercicio del muro del colegio, si realizamos la operación la respuesta es diferente de la que Usted la presenta

    • Respuestas dice:

      Pese a que en el enunciado del ejercicio se dice que el hombre se encuentra a 45 m del muro, en el texto antes de aplicar la ecuación para hallar el tiempo que emplea el balón para llegar al muro,m parece que se habrá colado un error, sustituyendo, tanto en el texto, como en la fórmula, la distancia planteada de 45 m por la de 53 m. El tiempo hallado, en cambio es correcto de 3,27 segundos Observe en que, inmediatamente debajo, en el párrafo se vuelve a repetir la distancia correcta de 45 m e, igualmente, en el dibujo ilustrativo del movimiento. Es decir, que los cálculos y el resultado son los correctos. El error está en el numerador del cálculo del tiempo, pero que no tiene efecto sobre el resultado.

  22. Jorg Perez dice:

    Yo les dejo un ejercicio que resolví con la formula de Alcance horizontal máximo. Un motociclista hizó un salto con una rampa a 40° y alcanzó una velocidad de 40m/s Justo a la salida de la rampa. La altura máxima que alcanzo fue de 33.7 metros.

  23. deisy landinez dice:

    hola: le hizo falta un ejemplo donde se apliquen todas las formulas

  24. Graciela dice:

    muy bueno gracias

  25. Angelita !! dice:

    Gracias !!! esto me es de mucha ayuda !!

  26. elva dice:

    muchas gracias por el TEMA me sirvio de mucho me gustaria con imagenes de proyectiles si es posible

  27. Gaby dice:

    realmente me ha servido muchisimo y es muy completo! gracias por esto! 🙂

  28. xphynx dice:

    muchas gracias por la informacion se los agradesco con esto de las formulas

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