Movimiento circular uniformemente acelerado – MCUA

El movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) se presenta cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular aumentando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo. Es decir, la partícula se mueve con aceleración constante.

En el dibujo se observa un ejemplo en donde la velocidad aumenta linealmente en el tiempo. Suponiendo que el tiempo en llegar del punto P₁ a P₂ sea una unidad de tiempo, la partícula viaja con una aceleración tangencial uniforme v, incrementándose esa cantidad en cada unidad de tiempo.

Posición

El desplazamiento de la partícula es más rápido o más lento según avanza el tiempo. El ángulo recorrido (θ) en un intervalo de tiempo t se calcula por la siguiente fórmula:

Este ángulo recorrido θ se puede expresar en función del ángulo inicial θ₀, las velocidades angulares inicial y final y el intervalo de tiempo:

O, también, averiguarlo en función del ángulo inicial θ₀, la velocidad angular final omega;, la aceleración angular alpha; y el intervalo de tiempo empleado:

Y, conociendo el ángulo inicial θ₀, las velocidades angulares inicial y final y la aceleración angular, sin tener en cuenta el tiempo empleado:

Aquí, el tiempo empleado t se ha obtenido, despejándolo en la fórmula de debajo de la aceleración angular.

Las unidades de θ son radianes. Sabiendo la longitud del arco recorrido s, se halla θ.

Aplicando la fórmula del incremento de ángulo calculamos la posición en la que estará la partícula pasado un tiempo t se obtiene la fórmula de la posición:

Velocidad angular

La velocidad angular aumenta o disminuye linealmente cuando pasa una unidad del tiempo. Por lo tanto, podemos calcular la velocidad angular en el instante t como:

El sentido de la aceleración angular α puede ser contrario al de la velocidad angular ω. Si la aceleración angular es negativa, seria un caso de movimiento circular uniformemente retardado.

Velocidad tangencial

La velocidad tangencial es el producto de la velocidad angular por el radio r. La velocidad tangencial también se incrementa linealmente mediante la siguiente fórmula:

Dándose aquí igualmente la posibilidad de aceleración negativa que se ha descrito en el apartado anterior.

Aceleración angular

La aceleración angular en el movimiento circular uniformemente acelerado es constante. Se calcula como el incremento de velocidad angular ω desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo.

Haciendo sustituciones en la fórmula de la posición, sabiendo que el tiempo se puede expresar, despejándolo en la fórmula de la velocidad angular, como se ha hecho en la igualdad [1]:

Operando y despejando α, queda esta fórmula de la aceleración angular sabiendo las velocidades angulares inicial y final y los ángulos inicial θ₀ y final θ, sin depender del tiempo empleado:

La relación entre la aceleración angular y la aceleración tangencial en este movimiento es:

Aceleración tangencial

La aceleración tangencial en el movimiento circular uniformemente acelerado MCUA se calcula como el incremento de velocidad v desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo.

La relación entre la aceleración tangencial y la aceleración angular en este movimiento es:

Aceleración centrípeta

La aceleración centrípeta en el MCUA se halla mediante:

Componentes intrínsecas de la aceleración

La velocidad tangencial por la trayectoria en un punto P es v. En un intervalo de tiempo pequeño Δt, la velocidad incrementa a v’ en el punto P’, después de haber descrito un ángulo Δφ.

En la figura se puede ver el incremento de la velocidad tangencial Δv descompuesta en dos componentes: la tangencial Δv_t y la normal (o centrípeta) Δv_n.

Si dividimos ambas componentes de la velocidad por Δt, tendremos las componentes intrínsecas de la aceleración: la aceleración tangencial a_t y la aceleración normal a_n (o centrípeta).

Período

En el MCUA la velocidad angular cambia respecto al tiempo. Por tanto, el período cada vez será menor o mayor según si decrece o crece la velocidad angular.

Frecuencia

La frecuencia en el caso del MCUA es mayor o menor porque la velocidad angular cambia. La fórmula de la frecuencia será:

Ejercicio

Un ventilador de techo desde que se conecta, tarda 5 segundos en alcanzar las 100 r.p.m.

a) Cuál será la aceleración angular constante con que lo arranca el motor.

b) Cuántas vueltas habrá dado para llegar a esa velocidad de funcionamiento.

c) Hallar la velocidad tangencial en los extremos de las aspas funcionando a 100 r.p.m., siendo que la distancia del eje al extremo es de 70 cm.

d) Desde el momento del arranque, cuántas vueltas habrá dado en los primeros 3 segundos.

e) Cuál será la frecuencia a los 2 segundos de ponerlo en marcha.

Solución:

a) En primer lugar, se pasa la velocidad angular de funcionamiento a radianes por segundo:

Se aplica la fórmula de la aceleración angular en función del ángulo recorrido en un tiempo dado:

b) El desplazamiento angular para saber las vueltas lo hallamos con la fórmula que lo relaciona en función del ángulo inicial θ₀, la velocidad angular final omega;, la aceleración angular alpha; y el intervalo de tiempo empleado:

Conversión de radianes en vueltas:

c) La velocidad tangencial en función de la velocidad angular y el radio.

d) Se aplica la fórmula del desplazamiento:

El desplazamiento en radianes que equivale a estas vueltas:

e) A los 2 segundos de ponerlo en marcha, las aspas girarán con una frecuencia de: