Cargando...El péndulo simple (o péndulo matemático) es un péndulo ideal que está formado por un punto material, o también una masa m (que suele llamarse “lenteja”) suspendida de un punto fijo S mediante un hilo sin masa e inextensible, de longitud l.
Cuando el péndulo está en reposo, el punto O representa la posición de equilibrio y el hilo está vertical (SO).
Si desplazamos la masa del punto de equilibrio O un ángulo φ, manteniendo el hilo extendido y la soltamos, el péndulo comenzará a oscilar.
Para que podamos considerar que se trata de un péndulo simple, además la amplitud A debe ser pequeña, es decir, un ángulo φ no mayor de 20°.
En caso contrario, el péndulo dejaría de ser un péndulo simple, aunque su movimiento seguiría siendo periódico.
En la imagen, un péndulo simple:
Siempre que se cumpla la condición de que se mueva con un ángulo pequeño, el periodo T o tiempo que tarda en pasar dos veces seguidas por el mismo punto y en el mismo sentido, viene dado por:
El periodo no depende de la amplitud, sino de la longitud del péndulo y del valor de la gravedad en ese punto.
En donde ω es la pulsación o frecuencia angular. Es una constante, con unidades en radianes/segundo, de expresión:
Estas son unas fórmulas de la posición (x o elongación), la velocidad y la aceleración, las tres en función del tiempo t.
La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo y, a su vez, la aceleración es la derivada de la velocidad, también respecto al tiempo.
El argumento de seno y coseno (ωt + δ) es la fase medida en radianes. δ es el desfase o la constante de fase. Depende de en qué momento empecemos a contar el tiempo.
Lo vemos en la imagen:
Las fórmulas para estas tres variables pueden venir expresadas de esta otra forma. Es lo mismo, ya que depende del momento en que se tome el origen, es decir, para t = 0.
En el segundo caso, el tiempo se cuenta a partir del momento de máxima elongación (x = A), mientras que en el primer caso, se ha empezado a medir el tiempo desde la posición de equilibrio O (x = 0).
Pero siempre, cuando se alcanza la máxima (o mínima, con valor negativo) elongación ±A, la velocidad se hace nula y la aceleración, con valor máximo, cambia de sentido. Al pasar por el punto de equilibrio O, la velocidad es máxima y la aceleración se hace cero y se invierte su sentido.
Cuando la oscilación tiene más amplitud, el movimiento del péndulo sigue siendo periódico, pero deja de ser un péndulo simple. Entonces, el periodo comienza a tener una dependencia de la amplitud de la oscilación, rigiéndose por esta fórmula:
Ejercicio 1
Hallar el periodo de un péndulo de 50 cm de longitud sometido a una aceleración de la gravedad de 9,81 m/s².
Ejercicio 2
Un reloj de péndulo funciona con exactitud en una latitud de 45° donde g = 9,806 m/s². Si se traslada un punto del ecuador de la Tierra, donde la gravedad es 9,78 m/s², de determinar en el nuevo emplazamiento cuánto adelantará o se atrasará en un dia.
En el ecuador, el reloj tiene un periodo un 1,3°‰ mayor que el que tenía en el paralelo 45° porque el denominador g es menor. El péndulo batirá más lentamente en el ecuador terrestre, por lo tanto allí el reloj atrasará.
Como en un dia hay 24 * 60 * 60 segundos, es decir 86400 segundos:
En el ecuador, el reloj atrasará casi 2 minutos diarios.