Péndulo

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El péndulo simple (o péndulo matemático) es un péndulo ideal que está formado por un punto material, o también una masa m (que suele llamarse “lenteja”) suspendida de un punto fijo S mediante un hilo sin masa e inextensible, de longitud l.

Cuando el péndulo está en reposo, el punto O representa la posición de equilibrio y el hilo está vertical (SO).

Si desplazamos la masa del punto de equilibrio O un ángulo φ, manteniendo el hilo extendido y la soltamos, el péndulo comenzará a oscilar.

Para que podamos considerar que se trata de un péndulo simple, además la amplitud A debe ser pequeña, es decir, un ángulo φ no mayor de 20°.

En caso contrario, el péndulo dejaría de ser un péndulo simple, aunque su movimiento seguiría siendo periódico.

En la imagen, un péndulo simple:

Dibujo de un péndulo simple

Siempre que se cumpla la condición de que se mueva con un ángulo pequeño, el periodo T o tiempo que tarda en pasar dos veces seguidas por el mismo punto y en el mismo sentido, viene dado por:

Fórmula del periodo de un péndulo

El periodo no depende de la amplitud, sino de la longitud del péndulo y del valor de la gravedad en ese punto.

En donde ω es la pulsación o frecuencia angular. Es una constante, con unidades en radianes/segundo, de expresión:

Fórmula de la pulsación de un péndulo

Estas son unas fórmulas de la posición (x o elongación), la velocidad y la aceleración, las tres en función del tiempo t.

Fórmula de la posición, velocidad y aceleración de un péndulo

La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo y, a su vez, la aceleración es la derivada de la velocidad, también respecto al tiempo.

El argumento de seno y coseno (ωt + δ) es la fase medida en radianes. δ es el desfase o la constante de fase. Depende de en qué momento empecemos a contar el tiempo.

Lo vemos en la imagen:

Dibujo la posición, velocidad y aceleración de un péndulo simple

Las fórmulas para estas tres variables pueden venir expresadas de esta otra forma. Es lo mismo, ya que depende del momento en que se tome el origen, es decir, para t = 0.

Fórmulas trigonométricas de la posición, velocidad y aceleración de un péndulo
Dibujo 2 la posición, velocidad y aceleración de un péndulo simple

En el segundo caso, el tiempo se cuenta a partir del momento de máxima elongación (x = A), mientras que en el primer caso, se ha empezado a medir el tiempo desde la posición de equilibrio O (x = 0).

Pero siempre, cuando se alcanza la máxima (o mínima, con valor negativo) elongación ±A, la velocidad se hace nula y la aceleración, con valor máximo, cambia de sentido. Al pasar por el punto de equilibrio O, la velocidad es máxima y la aceleración se hace cero y se invierte su sentido.

Cuando la oscilación tiene más amplitud, el movimiento del péndulo sigue siendo periódico, pero deja de ser un péndulo simple. Entonces, el periodo comienza a tener una dependencia de la amplitud de la oscilación, rigiéndose por esta fórmula:

Fórmula del periodo dependiendo de la amplitud de un péndulo

Ejercicio 1

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Hallar el periodo de un péndulo de 50 cm de longitud sometido a una aceleración de la gravedad de 9,81 m/s².

Cálculo del periodo en el ejercicio 1 del péndulo

Ejercicio 2

Un reloj de péndulo funciona con exactitud en una latitud de 45° donde g = 9,806 m/s². Si se traslada un punto del ecuador de la Tierra, donde la gravedad es 9,78 m/s², de determinar en el nuevo emplazamiento cuánto adelantará o se atrasará en un dia.

Cálculo del emplazamiento en el ejercicio 2 del péndulo

En el ecuador, el reloj tiene un periodo un 1,3°‰ mayor que el que tenía en el paralelo 45° porque el denominador g es menor. El péndulo batirá más lentamente en el ecuador terrestre, por lo tanto allí el reloj atrasará.

Como en un dia hay 24 * 60 * 60 segundos, es decir 86400 segundos:

Cálculo del tiempo en el ejercicio 2 del péndulo

En el ecuador, el reloj atrasará casi 2 minutos diarios.


AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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