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Movimiento armónico simple

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El movimiento armónico simple, (M.A.S.) es un movimiento periódico, en el que un punto material o un cuerpo oscila, respecto del punto de equilibrio O con una aceleración proporcional al desplazamiento, aunque de signo opuesto. El movimiento se repite a lo largo de la recta x(t).

Es consecuencia de una fuerza recuperadora que depende de la distancia a la que se desplaza, según la ley de Hooke.

Fórmula de la fuerza en el movimiento armónico simple

Si tenemos una cuerpo de masa m sujeto a un muelle con constante elástica k que se desliza horizontalmente, a partir de la posición de reposo, sobre una superficie sin rozamiento, oscilará a derecha e izquierda de O con un movimiento armónico simple.

Dibujo del movimiento armónico simple

En la imagen se ve la relación entre el movimiento circular uniforme y el movimiento armónico simple. La proyección del punto que se mueve según un M.C.U. sobre el diámetro horizontal describe sobre él un movimiento armónico simple.

Dibujo del movimiento circular en el movimiento armónico simple

En el movimiento circular uniforme, la proyección sobre OX, es decir la coordenada x es:

Fórmula de la proyección sobre OX en el movimiento armónico simple

Análogamente, la ecuación de la posición en el movimiento armónico simple es:

Fórmula de la posición en el movimiento armónico simple

Aquí:

  • A es la amplitud o máxima elongación.
  • El argumento ωt + δ es la fase medida en radianes.
  • ω es la pulsación o frecuencia angular, en radianes por segundo.
  • t es el tiempo contado desde el momento en que se ha empezado a considerar el movimiento, en segundos.
  • δ es el desfase o la constante de fase, o llamada también fase inicial. Depende de cuando se empiece a contar el tiempo.

Aquí hay que decir que la fórmula de la posición puede expresarse tanto con el coseno como con el seno, solamente depende del momento en que fijemos t = 0, ya que:

Fórmula de la posición mediante trigonometría en el movimiento armónico simple

El máximo del coseno es +1 y el mínimo, -1, por lo que el movimiento oscila entre +A y -A.

La frecuencia angular o pulsación es:

Fórmula de la frecuencia angular en el movimiento armónico simple

El periodo T es el tiempo que tarda m en realizar una oscilación completa. La frecuencia f es el número de oscilaciones en la unidad de tiempo. Es la inversa del periodo:

Fórmula de la frecuencia en el movimiento armónico simple

De estos tres valores, pulsación ω, frecuencia f o periodo T, sabiendo uno de ellos, automáticamente sabremos los otros dos.

En un movimiento armónico simple tanto el periodo T y, por tanto, la frecuencia f son independientes de la amplitud A.

La velocidad se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación de la posición. La fórmula de la aceleración se obtendrá igualmente derivando la velocidad respecto al tiempo, quedando así:

Fórmula de la aceleración en el movimiento armónico simple

Cuando la fase inicial δ = 0, estas ecuaciones se reducen a:

Fórmula de la posición, velocidad y aceleración en la fase inicial en el movimiento armónico simple

Gráficas de las funciones x, v y a cuando δ = 0. En este caso, se habrá comenzado a contar el tiempo del M.A.S. a partir del punto de la máxima elongación x = +A.

Dibujo de la gráfica del movimiento armónico simple

Otra fórmula (que no demostraremos) para saber la velocidad en función de la posición x, conociendo las condiciones iniciales de amplitud A y el periodo o la frecuencia es:

Fórmula de la posición sabiendo la amplitud en el movimiento armónico simple

El signo ± se debe a que, en una oscilación completa, el cuerpo pasa por el mismo punto x en los dos sentidos.

Ejemplos de movimiento armónico simple

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Ejemplo 1

Una masa de 1 kg está sujeta a un muelle en reposo, cuya k = 200 N/m. Calcular el periodo y la frecuencia de esta masa cuando se la aparta de la posición de equilibrio y se la suelta.

Solución:

Cálculo del periodo y la frecuencia en el ejercicio 1 del movimiento armónico simple

Ejemplo 2

Un cuerpo realiza un movimiento armónico simple en el que su velocidad máxima es de 0,4 m/s y su aceleración máxima de 16 m/s².

Determinar la pulsación ω, la frecuencia f y el periodo T . ¿Cuál será la ecuación de la posición en función del tiempo?

Solución:

Como la velocidad dada es la máxima y el valor máximo de la función seno es 1, tendremos:

Cálculo de la velocidad en el ejercicio 2 del movimiento armónico simple

También nos dan la aceleración máxima. El valor máximo de la función coseno es también 1.

Cálculo de la aceleración en el ejercicio 2 del movimiento armónico simple

Si dividimos miembro a miembro la ecuación obtenida de la aceleración máxima por la de la velocidad máxima, nos quedará el valor de la pulsación ω.

Cálculo de la pulsación en el ejercicio 2 del movimiento armónico simple

Si tenemos el valor de la pulsación, inmediatamente tenemos la frecuencia y el periodo.

Cálculo de la frecuencia y periodo en el ejercicio 2 del movimiento armónico simple

En la ecuación de la velocidad máxima y sabiendo la pulsación, obtenemos la amplitud:

Cálculo de la amplitud en el ejercicio 2 del movimiento armónico simple

Con estos datos podemos escribir la ecuación de la posición en función del tiempo:

Cálculo de la posición en el ejercicio 2 del movimiento armónico simple

(Ha quedado sin determinar el valor de δ, el desfase, por no tener suficiente con los datos iniciales, que han sido suficientes para hallar los valores pedidos, aunque el valor de δ exista. Con las fórmulas empleadas, pues sabemos que, por ejemplo en la ecuación velocidad, podemos usar seno o coseno, dependiendo de δ, en este caso el desfase sería el siguiente).

Cálculo del desfase en el ejercicio 2 del movimiento armónico simple

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