Movimiento parabólico (Ejercicios resueltos)

A continuación vamos a ver algunos ejercicios resueltos del movimiento parabólico.

Ejercicio 1

Un portero saca el balón desde el césped a una velocidad de 26 m/s. Si la pelota sale del suelo con un ángulo de 40° y cae sobre el campo sin que antes lo toque ningún jugador, calcular:

• Altura máxima del balón
• Distancia desde el portero hasta el punto donde caerá en el campo
• Tiempo en que la pelota estará en el aire

SOLUCIÓN:

Resolveremos el problema de dos maneras: aplicando directamente las fórmulas específicas o, en segundo lugar, partiendo de las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUA.

En primer lugar, descomponemos la velocidad inicial en sus componentes. La componente horizontal de la velocidad será:

La componente vertical de la velocidad inicial será:

La altura máxima será:

El alcance del saque del portero será:

Calcularemos el tiempo de vuelo de la pelota:

Ahora vamos a resolver el mismo problema, pero partiendo de las fórmulas de los dos movimientos componentes del movimiento parabólico: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se corresponde con el eje horizontal, y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que se corresponde con el eje vertical. Recordemos que la aceleración aquí es la aceleración de la gravedad g, con valor -9,81 m/s² (signo negativo por ser el sentido de la gravedad contrario al de la componente vertical de la velocidad inicial v_0y).

En el punto en que el balón alcanza la altura máxima, su componente de velocidad vertical será v_y = 0 m/s, ya que deja de subir y empieza a descender. Aplicamos la fórmula de la velocidad en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). En este caso será:

Como v_y = 0:

Tiempo que tarda en llegar el balón a su punto más alto. Ahora aplicamos la ecuación del espacio en el MRUA, para averiguar la altura máxima, sabiendo el tiempo que ha invertido en llegar a ella:

Nos queda saber el alcance. Como el movimiento parabólico es simétrico, tardará lo mismo en llegar al punto más alto que luego, desde allí, bajando llegar a tocar el césped, es decir 1,7 · 2 = 3,4 s.

Aplicamos la fórmula del espacio del MRU, por más sencilla, que en este caso será:

Nota: la diferencia en los decimales en el resultado de los dos procedimientos se debe al redondeo.

Ejercicio 2

Están jugando en el patio de un colegio, cuando el balón sale al exterior por encima de la valla del campo. Un hombre le da una patada al balón para devolverlo al interior. Sabiendo que el muro del patio tiene 3 m de altura, que el hombre está a 53 m del muro y que patea el balón a 24 m/s con un ángulo de 55°, averiguar si consigue que la pelota vuelva a entrar al patio o, por el contrario pasa sobre el muro.

SOLUCIÓN:

En este problema, emplearemos también fórmulas de los dos movimientos componentes del movimiento parabólico: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se corresponde con el eje horizontal, y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que se corresponde con el eje vertical.

En primer lugar, volvemos a descomponer el vector velocidad inicial v₀ en sus dos componentes. La componente horizontal de la velocidad será:

La componente vertical de la velocidad inicial será:

Resolveremos el problema aplicando las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUA. Como el hombre chuta el balón a 53 m del muro y la componente horizontal de la velocidad es 13,77 m/s, por la ecuación del MRU tendremos:

Que será el tiempo en llegar al balón al muro, ya que éste está a 53 m. Ahora, para ver si lo sobrepasa, aplicamos una fórmula del MRUA:

Recordamos que la aceleración es la de la gravedad g, con signo contrario al de la componente vertical de la velocidad inicial.

La respuesta al ejercicio es que el hombre no ha conseguido meter el balón en el patio, puesto que el muro tiene una altura de 3 m y el balón ha impactado contra él a 2,98 m. Deberá volverlo a intentar, quizás acercándose más al muro.

Ejercicio 3

En una prueba de atletismo de lanzamiento de peso, el atleta logra una marca de 22 m. Sabiendo que la bola sale de su mano a 2 m del suelo y con un ángulo de 45°, averiguar la velocidad inicial del lanzamiento.

SOLUCIÓN:

Para resolver el problema, igualmente emplearemos las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme y del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, que componen, como se ha repetido, el movimiento parabólico. Del movimiento MRU usaremos la fórmula:

Sabemos que v₀ · cos θ es la componente horizontal de la velocidad v₀). Despejamos el tiempo y la velocidad:

Ahora, vamos a la fórmula del espacio del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Sabemos también que v₀ · sen θ es la componente vertical de la velocidad v₀ y que la aceleración es la de la gravedad g con signo negativo, al ser contraria a la velocidad inicial. La altura final será cero, y = 0 m, puesto que la bola impacta en el suelo. La altura inicial será a la que suelta el atleta la bola de la mano, y₀ = 2 m). Sustituimos por la expresión de t antes obtenida y ponemos los valores conocidos:

Despejamos de esta ecuación la t, pues tan 45° = 1.

Volvemos a la expresión anterior de v₀.

Por lo tanto, 14,1 m/s será la velocidad de lanzamiento v₀ buscada.

Ejercicio 4

Un bombardero vuela horizontalmente a una altitud de 3200 pies con una velocidad de 400 pies/s, cuando suelta una bomba.

5 segundos más tarde, un cañón situado bajo la trayectoria del bombardero, pero 5000 pies antes del punto en que el bombardero soltó la bomba (se supone que el cañón, en el suelo, está a 3200 pies bajo la trayectoria del avión), dispara un proyectil. Si el proyectil hace explotar la bomba a 1600 pies de altura. Hallar el ángulo de elevación del cañón y la velocidad inicial del proyectil.

En primer lugar, estudiamos el movimiento parabólico de la bomba, desde que la suelta el avión hasta el momento del impacto con el proyectil y la explosión.

La bomba comienza su recorrido a 3200 pies de altura con una velocidad inicial horizontal de 400 ft/s y, durante la caída, cuando llega a los 1600 pies impacta y explota.

Apliquemos la ecuación de la componente vertical del recorrido en el movimiento parabólico, tomando como sistema de referencia coordenadas con origen en el suelo en el punto de la vertical del momento de soltar el avión la bomba.

El vuelo es horizontal, luego el ángulo de salida de la bomba θ_0b será cero, igual que su seno. Adoptamos un valor de la aceleración de la gravedad constante g = 32,18 ft/s².

Aplicamos valores a la ecuación anterior y despejamos t_b, el tiempo en que tarda la bomba en caer desde los 3200 ft iniciales a los 1600 ft en que explota:

Conocido el tiempo de vuelo de la bomba, aplicaremos la siguiente fórmula para la componente horizontal del movimiento parabólico, que se corresponde con un movimiento rectilíneo uniforme:

La proyección horizontal del recorrido de la bomba son 3988,8 pies.

Ahora, conocidos los datos del movimiento de la bomba, vamos a estudiar el movimiento parabólico del proyectil disparado:

Nos dice el ejercicio que el cañón dispara el proyectil 5 segundos más tarde, por lo que el tiempo de vuelo del proyectil t_p será:

También nos dice el ejercicio que el cañón está situado en el suelo y en la vertical la trayectoria del vuelo del bombardero, pero 5000 pies antes del punto en que se suelta la bomba.

Y el proyectil intercepta a la bomba a una altura sobre el suelo de 3200 – 1600 = 1600 pies.

Con estos datos, determinaremos el ángulo de elevación θ_0p y la velocidad de tiro del cañón v_0p:

Lo referenciaremos al sistema de coordenadas citado, el que tiene su origen en el suelo, justo en la proyección vertical del punto en que el avión suelta la bomba:

Como los dos móviles chocan en un punto, x_ib = x_ip = x_i. Y también y_ib = y_ip = y_i.

Aplicamos una de las ecuaciones del movimiento parabólico, la referida al eje Y del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).

El signo menos es porque el sentido ascendente de la velocidad es contrario al de la aceleración de la gravedad.

Sustituimos valores:

Ahora, aplicamos otra de las ecuaciones del movimiento parabólico, la referida al eje X del movimiento rectilíneo uniforme (MRU).

Sustituimos valores:

Elevamos al cuadrado, miembro a miembro, las ecuaciones (1) y (2). La igualdad se mantiene:

Desarrollamos:

Sumamos miembro a miembro ambos términos de las dos igualdades, con lo que la igualdad se mantiene. Sacamos factor común:

Por la identidad fundamental de la trigonometría, sabemos que:

Por lo que:

La velocidad inicial del proyectil será de 1852,73 ft/s.

El ángulo de elevación del cañón lo calcularemos trigonométricamente, partiendo de la igualdad (1) :

El valor del ángulo lo hallaremos mediante el arcoseno:

El ángulo de elevación del cañón es 12,41°.

Ahora vamos a resolver la trayectoria del proyectilpor otro procedimiento, que muestra cómo un movimiento parabólico es la composición de un movimiento rectilíneo uniforme con otro vertical pero movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

La componente horizontal de este movimiento parabólico, que se corresponde con un movimiento rectilíneo uniforme, la podemos hallar fácilmente porque conocemos la proyección horizontal del recorrido del proyectil:

Y el tiempo en movimiento del proyectil (los 4,97 segundos calculados arriba).

Ésta es la componente horizontal de la velocidad:

Ahora, la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil la averiguaremos con esta ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Conocemos la altura a la que llega el proyectil, el tiempo y el valor de g.

Esta es la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil .

Sabiendo las dos componentes, se pueden hallar fácilmente tanto el valor de la velocidad inicial del proyectil v_0p como el valor del ángulo de elevación del cañón θ_0p:

A la vista de la figura, hallamos v_0p mediante el teorema de Pitágoras:

Este es el módulo de la velocidad inicial del proyectil. El valor del ángulo de elevación del cañón θ_0p lo hallaremos trigonométricamente:

Resultado: velocidad inicial del proyectil, 1852,73 ft/s y ángulo de elevación 12,41°.

Ahora, la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil la averiguaremos con esta ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Conocemos la altura a la que llega el proyectil, el tiempo y el valor de g.

Esta es la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil.

Sabiendo las dos componentes, se pueden hallar fácilmente tanto el valor de la velocidad inicial del proyectil v_0p como el valor del ángulo de elevación del cañón θ_0p:

A la vista de la figura, hallamos v_0p mediante el teorema de Pitágoras:

Este es el módulo de la velocidad inicial del proyectil. El valor del ángulo de elevación del cañón θ_0p lo hallaremos trigonométricamente:

Resultado: velocidad inicial del proyectil, 1852,73 ft/s y ángulo de elevación 12,41°.

Ejercicio 5

Un arquero lanza una flecha horizontalmente desde una torre de 12 m de altura. La flecha sale del arco a 15 m/s. Despreciando el rozamiento:

a) ¿Cuánto tiempo estará la flecha en el aire?

b) ¿A qué distancia de la torre llegará la flecha al suelo?

c) ¿Con qué velocidad impactará y con qué ángulo?

Solución:

a) Sabiendo la altura:

b) Aplicamos la fórmula del alcance basada en la componente horizontal del movimiento:

c) Para saber la velocidad del impacto se debe averiguar la componente vertical de la velocidad:

El valor de la velocidad del impacto se obtiene por el teorema de Pitágoras:

El ángulo de llegada lo da la función arcotangente, al saber los dos catetos, que son las dos componentes de la velocidad.

Ejercicio 6

Un tenista golpea un mate (smash) paralelo por el centro de la pista. Ha golpeado la pelota horizontalmente a 108 km/h y a 2,70 m de altura. La bola ha impactado a 1,51 m de la línea de fondo contraria.

a) ¿Cuánto tiempo estará la bola en el aire?

b) ¿A qué altura pasará la bola sobre la red?

Nota: Una pista de tenis mide 23,77 m entre líneas de fondo. La red, en el centro, tiene una altura de 0,914 m.

Solución:

Se cambian las unidades de la velocidad:

a) El tiempo en el aire se hallará mediante la fórmula de la velocidad sobre la componente horizontal constante de un MRU. Se conoce el alcance del saque y la velocidad:

b) Se debe calcular a qué altura pasa la bola cuando se haya desplazado media pista entre el golpeo sobre la línea de fondo y la red. Eso es la mitad de una pista, es decir 23,77 / 2 = 11,885 m.

Emplearemos la ecuación que relaciona las coordenadas en un punto cualquiera en un tiro parabólico horizontal:

Finalmente, la distancia vertical d entre la trayectoria de la bola y la cinta de la red se hallará restando:

Ejercicio 7

En la ceremonia de inauguración de unas olimpiadas, un arquero lanza una flecha en llamas que logra introducir en el centro del pebetero, encendiendo su interior. El pebetero está a una altura de 36 m sobre el punto de lanzamiento y a una distancia horizontal de 35 m.

a. ¿Cuánto tiempo estará la flecha en movimiento? (se desprecia el rozamiento).

b. ¿A qué velocidad debe lanzar la flecha, si el ángulo de tiro es de 80°?

¿Cuál será la velocidad de entrada al pebetero y el ángulo?

Solución:

a. Se plantean las ecuaciones de las componentes horizontal y vertical de la posición en un punto de la trayectoria (ecuación [3]), poniendo los datos iniciales:

Se despeja v₀ en la primera ecuación y se sustituye en la segunda, quedando el tiempo como única incógnita:

Se ha hallado el tiempo t de vuelo de la flecha, que son 5,75 segundos.

Para hallar v₀ sustituimos t por su valor:

La velocidad de tiro v₀ es de 35 m/s.

c. Para analizar la velocidad de llegada de la flecha al pebetero, hallaremos el valor de la componente vertical de la velocidad a los 5,75 s con el segundo sumando de la ecuación [2].

La componente vertical de la velocidad al llegar al pebetero es de -21,99 m/s (es negativa porque la flecha está bajando).

Y el ángulo de llegada α:

Un procedimiento alternativo para iniciar el ejercicio sería aplicar en primer lugar la ecuación alternativa del movimiento parabólico [5]. Con los datos del problema de distancia horizontal al pebetero de 35 m, el desnivel vertical de 36 m y el ángulo de tiro de 80°, se hallaría la velocidad inicial v₀.

Se despeja v₀ y se obtiene:

Con un buen redondeo, a una velocidad inicial de 35 m/s.