Movimiento parabólico (Ejercicios resueltos)

Movimiento parabólico (Ejercicios resueltos)

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A continuación vamos a ver algunos ejercicios resueltos del movimiento parabólico.

Ejercicio 1

Un portero saca el balón desde el césped a una velocidad de 26 m/s. Si la pelota sale del suelo con un ángulo de 40° y cae sobre el campo sin que antes lo toque ningún jugador, calcular:

  • Altura máxima del balón
  • Distancia desde el portero hasta el punto donde caerá en el campo
  • Tiempo en que la pelota estará en el aire

SOLUCIÓN:

Resolveremos el problema de dos maneras: aplicando directamente las fórmulas específicas o, en segundo lugar, partiendo de las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUV.

En primer lugar, descomponemos la velocidad inicial en sus componentes. La componente horizontal de la velocidad será:

Cálculo de la componente horizontal de la velocidad en el ejercicio 1 por el método 1

La componente vertical de la velocidad inicial será:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad inicial en el ejercicio 1 por el método 1

La altura máxima será:

Cálculo de la altura máxima en el ejercicio 1 por el método 1

El alcance del saque del portero será:

Cálculo del alcance del saque del portero en el ejercicio 1 por el método 1

Calcularemos el tiempo de vuelo de la pelota:

Cálculo del tiempo de vuelo de la pelota en el ejercicio 1 por el método 1

Ahora vamos a resolver el mismo problema, pero partiendo de las fórmulas de los dos movimientos componentes del movimiento parabólico: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se corresponde con el eje horizontal, y el movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), que se corresponde con el eje vertical. Recordemos que la aceleración aquí es la aceleración de la gravedad g, con valor -9,81 m/s2 (signo negativo por ser el sentido de la gravedad contrario al de la componente vertical de la velocidad inicial v0y).

En el punto en que el balón alcanza la altura máxima, su componente de velocidad vertical será vy = 0 m/s, ya que deja de subir y empieza a descender. Aplicamos la fórmula de la velocidad en el movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV). En este caso será:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad en el ejercicio 1 por el método 2

Como vy = 0:

Cálculo del tiempo en llegar el balón al punto más alto en el ejercicio 1 por el método 2

Tiempo que tarda en llegar el balón a su punto más alto. Ahora aplicamos la ecuación del espacio en el MRUV, para averiguar la altura máxima, sabiendo el tiempo que ha invertido en llegar a ella:

Cálculo de la altura máxima en el ejercicio 1 por el método 2

Nos queda saber el alcance. Como el movimiento parabólico es simétrico, tardará lo mismo en llegar al punto más alto que luego, desde allí, bajando llegar a tocar el césped, es decir 1,7 · 2 = 3,4 s.

Aplicamos la fórmula del espacio del MRU, por más sencilla, que en este caso será:

Cálculo del espacio vertical recorrido en el ejercicio 1 por el método 2

Nota: la diferencia en los decimales en el resultado de los dos procedimientos se debe al redondeo.

Ejercicio 2

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Están jugando en el patio de un colegio, cuando el balón sale al exterior por encima de la valla del campo. Un hombre le da una patada al balón para devolverlo al interior. Sabiendo que el muro del patio tiene 3 m de altura, que el hombre está a 53 m del muro y que patea el balón a 24 m/s con un ángulo de 55°, averiguar si consigue que la pelota vuelva a entrar al patio o, por el contrario pasa sobre el muro.

SOLUCIÓN:

En este problema, emplearemos también fórmulas de los dos movimientos componentes del movimiento parabólico: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se corresponde con el eje horizontal, y el movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), que se corresponde con el eje vertical.

En primer lugar, volvemos a descomponer el vector velocidad inicial v0 en sus dos componentes. La componente horizontal de la velocidad será:

Cálculo de la componente horizontal de la velocidad en el ejercicio 2

La componente vertical de la velocidad inicial será:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad en el ejercicio 2

Resolveremos el problema aplicando las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUV. Como el hombre chuta el balón a 53 m del muro y la componente horizontal de la velocidad es 13,77 m/s, por la ecuación del MRU tendremos:

Cálculo del tiempo en llegar el balón al muro en el ejercicio 2

Que será el tiempo en llegar al balón al muro, ya que éste está a 53 m. Ahora, para ver si lo sobrepasa, aplicamos una fórmula del MRUV:

Cálculo de la altura al impactar el balón en el muro en el ejercicio 2

Recordamos que la aceleración es la de la gravedad g, con signo contrario al de la componente vertical de la velocidad inicial.

Dibujo del ejercicio 2 del movimiento parabólico

La respuesta al ejercicio es que el hombre no ha conseguido meter el balón en el patio, puesto que el muro tiene una altura de 3 m y el balón ha impactado contra él a 2,98 m. Deberá volverlo a intentar, quizás acercándose más al muro.

Ejercicio 3

En una prueba de atletismo de lanzamiento de peso, el atleta logra una marca de 22 m. Sabiendo que la bola sale de su mano a 2 m del suelo y con un ángulo de 45°, averiguar la velocidad inicial del lanzamiento.

SOLUCIÓN:

Para resolver el problema, igualmente emplearemos las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme y del movimiento rectilíneo uniformemente variado, que componen, como se ha repetido, el movimiento parabólico. Del movimiento MRU usaremos la fórmula:

Cálculo de la fórmula del MRU en el ejercicio 3

Sabemos que v0 · cos θ es la componente horizontal de la velocidad v0). Despejamos el tiempo y la velocidad:

Cálculo para despejar el tiempo y la velocidad en el ejercicio 3

Ahora, vamos a la fórmula del espacio del movimiento rectilíneo uniformemente variado:

Cálculo de la fórmula del MRUV en el ejercicio 3

Sabemos también que v0 · sen θ es la componente vertical de la velocidad v0 y que la aceleración es la de la gravedad g con signo negativo, al ser contraria a la velocidad inicial. La altura final será cero, y = 0 m, puesto que la bola impacta en el suelo. La altura inicial será a la que suelta el atleta la bola de la mano, y0 = 2 m). Sustituimos por la expresión de t antes obtenida y ponemos los valores conocidos:

Cálculo del tiempo en un movimiento MRUV en el ejercicio 3

Despejamos de esta ecuación la t, pues tan 45° = 1.

Cálculo del tiempo en el que está en el aire el peso en el ejercicio 3

Volvemos a la expresión anterior de v0.

Cálculo de la velocidad de lanzamiento en el ejercicio 3

Por lo tanto, 14,1 m/s será la velocidad de lanzamiento v0 buscada.

Dibujo del ejercicio 3 del movimiento parabólico

Ejercicio 4

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Un bombardero vuela horizontalmente a una altitud de 3200 pies con una velocidad de 400 pies/s, cuando suelta una bomba.

5 segundos más tarde, un cañón situado bajo la trayectoria del bombardero, pero 5000 pies antes del punto en que el bombardero soltó la bomba (se supone que el cañón, en el suelo, está a 3200 pies bajo la trayectoria del avión), dispara un proyectil. Si el proyectil hace explotar la bomba a 1600 pies de altura. Hallar el ángulo de elevación del cañón y la velocidad inicial del proyectil.

Dibujo del ejercicio 4 del movimiento parabólico

En primer lugar, estudiamos el movimiento parabólico de la bomba, desde que la suelta el avión hasta el momento del impacto con el proyectil y la explosión.

La bomba comienza su recorrido a 3200 pies de altura con una velocidad inicial horizontal de 400 ft/s y, durante la caída, cuando llega a los 1600 pies impacta y explota.

Apliquemos la ecuación de la componente vertical del recorrido en el movimiento parabólico, tomando como sistema de referencia coordenadas con origen en el suelo en el punto de la vertical del momento de soltar el avión la bomba.

Cálculo de la componente vertical en el ejercicio 4

El vuelo es horizontal, luego el ángulo de salida de la bomba θ0b será cero, igual que su seno. Adoptamos un valor de la aceleración de la gravedad constante g = 32,18 ft/s².

Aplicamos valores a la ecuación anterior y despejamos tb, el tiempo en que tarda la bomba en caer desde los 3200 ft iniciales a los 1600 ft en que explota:

Cálculo del tiempo en explotar la bomba en el ejercicio 4

Conocido el tiempo de vuelo de la bomba, aplicaremos la siguiente fórmula para la componente horizontal del movimiento parabólico, que se corresponde con un movimiento rectilíneo uniforme:

Cálculo de la componente horizontal en el ejercicio 4

La proyección horizontal del recorrido de la bomba son 3988,8 pies.

Ahora, conocidos los datos del movimiento de la bomba, vamos a estudiar el movimiento parabólico del proyectil disparado:

Nos dice el ejercicio que el cañón dispara el proyectil 5 segundos más tarde, por lo que el tiempo de vuelo del proyectil tp será:

Cálculo del tiempo de vuelo del proyectil en el ejercicio 4

También nos dice el ejercicio que el cañón está situado en el suelo y en la vertical la trayectoria del vuelo del bombardero, pero 5000 pies antes del punto en que se suelta la bomba.

Y el proyectil intercepta a la bomba a una altura sobre el suelo de 3200 – 1600 = 1600 pies.

Con estos datos, determinaremos el ángulo de elevación θ0p y la velocidad de tiro del cañón v0p:

Lo referenciaremos al sistema de coordenadas citado, el que tiene su origen en el suelo, justo en la proyección vertical del punto en que el avión suelta la bomba:

Cálculo del ángulo de elevación en el ejercicio 4

Como los dos móviles chocan en un punto, xib = xip = xi. Y también yib = yip = yi.

Aplicamos una de las ecuaciones del movimiento parabólico, la referida al eje Y del movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV).

Cálculo en el eje Y en el ejercicio 4

El signo menos es porque el sentido ascendente de la velocidad es contrario al de la aceleración de la gravedad.

Sustituimos valores:

Cálculo en el eje Y sustituyendo valores en el ejercicio 4

Ahora, aplicamos otra de las ecuaciones del movimiento parabólico, la referida al eje X del movimiento rectilíneo uniforme (MRU).

Cálculo en el eje X en el ejercicio 4

Sustituimos valores:

Cálculo en el eje X sustituyendo valores en el ejercicio 4

Elevamos al cuadrado, miembro a miembro, las ecuaciones (1) y (2). La igualdad se mantiene:

Cálculo en el eje X elevando al cuadrado en el ejercicio 4

Desarrollamos:

Cálculo en el eje X elevando al cuadrado y desarrollando en el ejercicio 4

Sumamos miembro a miembro ambos términos de las dos igualdades, con lo que la igualdad se mantiene. Sacamos factor común:

Cálculo en el eje X sacando factor común en el ejercicio 4

Por la identidad fundamental de la trigonometría, sabemos que:

Cálculo en el eje X por la identidad fundamental de la trigonometría en el ejercicio 4

Por lo que:

Cálculo en el eje X por la identidad fundamental de la trigonometría desarrollando en el ejercicio 4

La velocidad inicial del proyectil será de 1852,73 ft/s.

El ángulo de elevación del cañón lo calcularemos trigonométricamente, partiendo de la igualdad (1) :

Cálculo del ángulo de elevación del cañón en el ejercicio 4

El valor del ángulo lo hallaremos mediante el arcoseno:

Cálculo del ángulo de elevación del cañón mediante el arcoseno en el ejercicio 4

El ángulo de elevación del cañón es 12,41°.

Ahora vamos a resolver la trayectoria del proyectilpor otro procedimiento, que muestra cómo un movimiento parabólico es la composición de un movimiento rectilíneo uniforme con otro vertical pero movimiento rectilíneo uniformemente variado.

La componente horizontal de este movimiento parabólico, que se corresponde con un movimiento rectilíneo uniforme, la podemos hallar fácilmente porque conocemos la proyección horizontal del recorrido del proyectil:

Cálculo de la componente horizontal a través de su proyección en el ejercicio 4

Y el tiempo en movimiento del proyectil (los 4,97 segundos calculados arriba).

Ésta es la componente horizontal de la velocidad:

Cálculo de la componente horizontal de la velocidad en el ejercicio 4

Ahora, la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil la averiguaremos con esta ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente variado:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad en el ejercicio 4

Conocemos la altura a la que llega el proyectil, el tiempo y el valor de g.

Cálculo de la altura del proyectil en el ejercicio 4

Esta es la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil .

Sabiendo las dos componentes, se pueden hallar fácilmente tanto el valor de la velocidad inicial del proyectil v0p como el valor del ángulo de elevación del cañón θ0p:

Cálculo de la velocidad inicial del proyectil en el ejercicio 4

A la vista de la figura, hallamos v0p mediante el teorema de Pitágoras:

Cálculo mediante el teorema de Pitágoras en el ejercicio 4

Este es el módulo de la velocidad inicial del proyectil. El valor del ángulo de elevación del cañón θ0p lo hallaremos trigonométricamente:

Cálculo del módulo de la velocidad inicial en el ejercicio 4

Resultado: velocidad inicial del proyectil, 1852,73 ft/s y ángulo de elevación 12,41°.

Cálculo de la componente horizontal de la velocidad en el ejercicio 4

Ahora, la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil la averiguaremos con esta ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente variado:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad en el ejercicio 4

Conocemos la altura a la que llega el proyectil, el tiempo y el valor de g.

Cálculo de la altura del proyectil en el ejercicio 4

Esta es la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil.

Sabiendo las dos componentes, se pueden hallar fácilmente tanto el valor de la velocidad inicial del proyectil v0p como el valor del ángulo de elevación del cañón θ0p:

Cálculo de la velocidad inicial del proyectil en el ejercicio 4

A la vista de la figura, hallamos v0p mediante el teorema de Pitágoras:

Cálculo mediante el teorema de Pitágoras en el ejercicio 4

Este es el módulo de la velocidad inicial del proyectil. El valor del ángulo de elevación del cañón θ0p lo hallaremos trigonométricamente:

Cálculo del módulo de la velocidad inicial en el ejercicio 4

Resultado: velocidad inicial del proyectil, 1852,73 ft/s y ángulo de elevación 12,41°.

Ejercicio 5

Un arquero lanza una flecha horizontalmente desde una torre de 12 m de altura. La flecha sale del arco a 15 m/s. Despreciando el rozamiento:

a) ¿Cuánto tiempo estará la flecha en el aire?

b) ¿A qué distancia de la torre llegará la flecha al suelo?

c) ¿Con qué velocidad impactará y con qué ángulo?

Solución:

a) Sabiendo la altura:

Cálculo del tiempo en el ejercicio 1

b) Aplicamos la fórmula del alcance basada en la componente horizontal del movimiento:

Cálculo del alcance en el ejercicio 1

c) Para saber la velocidad del impacto se debe averiguar la componente vertical de la velocidad:

Cálculo de la componente vertical en el ejercicio 1

El valor de la velocidad del impacto se obtiene por el teorema de Pitágoras:

Cálculo de la velocidad de impacto en el ejercicio 1

El ángulo de llegada lo da la función arcotangente, al saber los dos catetos, que son las dos componentes de la velocidad.

Cálculo de la componente horizontal en el ejercicio 1

Ejercicio 6

Un tenista golpea un mate (smash) paralelo por el centro de la pista. Ha golpeado la pelota horizontalmente a 108 km/h y a 2,70 m de altura. La bola ha impactado a 1,51 m de la línea de fondo contraria.

a) ¿Cuánto tiempo estará la bola en el aire?

b) ¿A qué altura pasará la bola sobre la red?

Nota: Una pista de tenis mide 23,77 m entre líneas de fondo. La red, en el centro, tiene una altura de 0,914 m.

Dibujo en el ejercicio 2

Solución:

Se cambian las unidades de la velocidad:

Cálculo de la velocidad en el ejercicio 2

a) El tiempo en el aire se hallará mediante la fórmula de la velocidad sobre la componente horizontal constante de un MRU. Se conoce el alcance del saque y la velocidad:

Cálculo del alcance del saque en el ejercicio 2

b) Se debe calcular a qué altura pasa la bola cuando se haya desplazado media pista entre el golpeo sobre la línea de fondo y la red. Eso es la mitad de una pista, es decir 23,77 / 2 = 11,885 m.

Emplearemos la ecuación que relaciona las coordenadas en un punto cualquiera en un tiro parabólico horizontal:

Cálculo de las coordenadas en el ejercicio 2

Finalmente, la distancia vertical d entre la trayectoria de la bola y la cinta de la red se hallará restando:

Cálculo de la distancia vertical en el ejercicio 2

Ejercicio 7

En la ceremonia de inauguración de unas olimpiadas, un arquero lanza una flecha en llamas que logra introducir en el centro del pebetero, encendiendo su interior. El pebetero está a una altura de 36 m sobre el punto de lanzamiento y a una distancia horizontal de 35 m.

a. ¿Cuánto tiempo estará la flecha en movimiento? (se desprecia el rozamiento).

b. ¿A qué velocidad debe lanzar la flecha, si el ángulo de tiro es de 80°?

¿Cuál será la velocidad de entrada al pebetero y el ángulo?

Dibujo en el ejercicio 6

Solución:

a. Se plantean las ecuaciones de las componentes horizontal y vertical de la posición en un punto de la trayectoria (ecuación [3]), poniendo los datos iniciales:

Cálculo de las componentes horizontal y vertical en el ejercicio 6

Se despeja v0 en la primera ecuación y se sustituye en la segunda, quedando el tiempo como única incógnita:

Cálculo del tiempo en el ejercicio 6

Se ha hallado el tiempo t de vuelo de la flecha, que son 5,75 segundos.

Para hallar v0 sustituimos t por su valor:

Cálculo de la velocidad inicial en el ejercicio 6

La velocidad de tiro v0 es de 35 m/s.

c. Para analizar la velocidad de llegada de la flecha al pebetero, hallaremos el valor de la componente vertical de la velocidad a los 5,75 s con el segundo sumando de la ecuación [2].

Cálculo de la componente vertical en el ejercicio 6

La componente vertical de la velocidad al llegar al pebetero es de -21,99 m/s (es negativa porque la flecha está bajando).

Y el ángulo de llegada α:

Cálculo del ángulo de llegada en el ejercicio 6
Dibujo del ángulo de llegada en el ejercicio 6

Un procedimiento alternativo para iniciar el ejercicio sería aplicar en primer lugar la ecuación alternativa del movimiento parabólico [5]. Con los datos del problema de distancia horizontal al pebetero de 35 m, el desnivel vertical de 36 m y el ángulo de tiro de 80°, se hallaría la velocidad inicial v0.

Cálculo de la velocidad inicial 2 en el ejercicio 6

Se despeja v0 y se obtiene:

Cálculo de la velocidad inicial 3 en el ejercicio 6

Con un buen redondeo, a una velocidad inicial de 35 m/s.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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233 comentarios en “Movimiento parabólico (Ejercicios resueltos)”

  1. un basquetbolista lanza un balon con angulo de 37° sobre la horizontal, con una rapides de 15,25m/s CALCULAR ¿cuando alcanza el balon al punto mas alto?

    1. En un movimiento parabólico completo, el tiempo en alcanzar el punto más alto es la mitad del tiempo de vuelo total.
      En la página Movimiento parabólico de UNIVERSO FÓRMULAS, tienes la fórmula del tiempo de vuelo.
      En tu caso, tu tiempo es de 0,936 s

  2. Hola me podrias ayudar
    Un balon de voleibol es golpeado cuando esta a 3 pies sobre el suelo y a 11
    pies de una red de 5 pies de altura. El balon deja el punto de impacto con una
    rapidez inicial de 30 pies/seg a un angulo de 40◦ y pasa por el equipo contrario
    sin ser tocado.
    a) Obtenga una ecuacion vectorial para la trayectoria del balon.
    b) ¿Que altura alcanza el balon y cuando alcanza su altura maxima?
    c) Obtenga su alcance y tiempo de vuelo.
    d) ¿Cuando estara a67 pies sobre el suelo? ¿A que distancia horizontal se encuentra el balon del punto donde tocara el suelo?
    e) Suponga que la red se eleva a 4 pies. ¿Esto cambia las cosas? Explique.

    1. En la página Movimiento parabólico de UNIVERSO FÓRMULAS tienes las fórmulas que necesitas y ejercicios resueltos.
      Creo que merece la pena que lo intentes.
      Si tuvieras alguna dificultad, dilo.
      Pistas:
      El balón tarda 0,479 s en pasar sobre la red.
      Y, si se eleva la red 4 ft, el balón no la pasa.
      (El balón nunca llega a estar a 67 ft sobre el suelo. Y si te refirieras a 7 ft, por esa altura el balón pasa dos veces)

  3. Un franco tirador dispara un proyectil con un ángulo θ=40º con respecto a la vertical cae al suelo al mismo nivel del que fue disparado en 2[s]. ¿cuál es la distancia horizontal donde cayó el proyectil?

    1. Combinar el movimiento parabólico con el movimiento rectilíneo uniforme.
      Ves a la página Movimiento parabólico de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Aplica la fórmula del Tiempo de vuelo:
      Tvuelo = 4,88 s está la pelota en el aire.
      Y recorre una distancia que la obtienes de Alcance horizontal máximo (en la misma página).
      xmáx = 88,19 m
      El otro jugador corre con velocidad constante. Ve a la página Movimiento rectilíneo uniforme también de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Calcula la posición después de 4,88 s corriendo a 4 m/s
      x = 19,52 m
      La distancia entre el bateador y el punto de atrape de la pelota es de 88,19 – 19,52 = 68,67 m

    2. Abraham, Ves a la página Movimiento parabólico de UNIVERSO FÓRMULAS
      En la fórmula del tiempo de vuelo, despeja la velocidad inicial.
      El valor aplícalo a la fórmula del alcance horizontal máximo.
      23,39 m

  4. Una pelota de béisbol es lanzada por un bateador a 30m/s a 53º con la horizontal. En ese mismo instante, otro jugador corre con velocidad constante de 4m/s y atrapa la pelota a la misma altura desde la cual fue lanzada. ¿Cuál era la distancia original entre el bateador y el jugador que atrapa la pelota?

  5. un balón se dispara con velocidad de 15,0 m/s formando con la horizontal, un ángulo de 37°. La altura y el alcance máximo del proyectil, respectivamente son:

    a.
    29,3 m y 7,34 m

    b.
    7,34 m y 29,3 m

    c.
    4,16 m y 22,1 m

    d.
    22,1 m y 4,16 m

  6. Un balón se lanza hacia arriba describiendo un movimiento parabólico. El
    movimiento es dado por y=-(x-2)e2+39. Donde “y” es la altura en metros y “t” el
    tiempo en segundos. Calcular el tiempo en que la pelota toca el piso.

    1. Carlos, tu consulta es similar a la realizada por Erlyn el 3 de marzo.
      Interpreto que la fórmula que describe este movimiento parabólico es:
      y = – (t – 2)e²+39

  7. ERLYN RENE TOBAR

    Un balón se lanza hacia arriba describiendo un movimiento parabólico. El movimiento es dado por y=-(t-2)2+35. Donde “y” es la altura en metros y “t” el tiempo en segundos. Calcular el tiempo en que la pelota toca el piso.

    1. Para t = 0, y = -4 + 35 = 31 m
      El balón se lanza a 31 m de altura.
      Desarrolla la fórmula:
      y = -t² + 4t + 31
      Si igualas y (la altura) a 0, el nivel del suelo, y obtienes las raíces de esa ecuación de segundo grado, el tiempo es de 7,2 s

  8. Estrella Abigail Hernández Aguilar

    Un paracaidista cae de forma perpendicular una distancia de 18 m y salto del avión a una altura de 25 m ¿Cuál fue su trayectoria horizontal ?
    un jugador de béisbol lanza una pelota de 30 grados de de inclinación sí realiza una trayectoria horizontal de 30 m ¿Cuál fue su trayectoria de la bola ?
    un electricista recarga una escalera sobre una pared de 40 m para poder pintar Esa pared y óxido a la altura de la escalera en electricista tuvo que poner de forma perpendicular la escalera a 25 m de distancia ¿Cuánto mide la escalera?

  9. Me podrían ayudar.
    Desde la azotea de una casa se lanza una piedra con un ángulo de 20 grados y con una velocidad inicial de 20 m/s. Si la altura de la casa es de 6 m, cual es la velocidad de la piedra en 2 seg.

    Quiero saber como aplicar las formulas, o que datos me hacen falta y como sacarlos para resolver el problema.

    1. Tienes los conceptos y las fórmula en la página Movimiento parabólico de UNIVERSO FÓRMULAS.
      En su apartado Velocidad tienes la manera de obtener la velocidad, transcurrido un tiempo t.
      Sabes que en el movimiento parabólico, la componente horizontal de la velocidad vx se mantiene constante.
      La componente vertical, transcurrido un tiempo t es:
      vyt = v0 sen θ – gt
      Aplica valores y obtendrás que la componente vertical a los 2 s es de – 12,78 m/s (negativa, porque la piedra ha sobrepasado su máxima altura y está descendiendo)
      La componente horizontal constante de la velocidad es
      vx = vx2 = 20 cos 20° = 18,79 m/s
      Con el teorema de Pitágoras, como se indica en la página, obtendrás la velocidad a los 2 segundos.
      22,73 m/s
      (Verás que la velocidad a los 2 segundos es mayor que la velocidad inicial de 20 m/s. Es porque se ha lanzado a 6 m y en ese momento la piedra estará bajando y a una altura menor, con lo que sigue acelerándose por la gravedad)

  10. ¿Me podrían ayudar? Tengo que explicarle a mi hijo como resolver un problema de movimiento parabólico y no sé si es equivalente al ejercicio 3. Desde un cañón con un inclinación de 0 grados a una alltura de 11 m disparo un proyectil para que caiga a una altura de 0 m a una distancia de 18 m del cañón. ¿Cuál es la rapidez inicial que requiere imprimirse al tiro para alcanzar el objetivo?

    1. El cañon dispara desde el punto más alto. Media parábola.
      Consulta la página Tiro parabólico horizontal de UNIVERSO FÓRMULAS.
      El tiempo de vuelo equivale al tiempo de caída libre desde esa altura. (Componente vertical. MRUA)
      t = √ (2h / g) = √ (2 * 11 / 9,81)
      Ese tiempo trasládalo a la fórmula de la componente horizontal de la velocidad. En este caso de tiro horizontal, esta componente y la velocidad inicial coinciden. vx = v0.
      v0 = 18 / t

  11. Un muchacho patea una pelota con una velocidad de 25m/s y un ángulo θ hacia otro jugador de 1,60m de estatura, el cual golpea la pelota con su cabeza bajo un ángulo de 45°, saltando para ello 50 cm. Determine el ángulo de lanzamiento θ de la pelota

    1. En esta página tienes el ejercicio 7. Es similar, aunque los datos son velocidad inicial 25 m/s, ángulo de impacto con la cabeza 45° y altura final 1,60 + 0,50 = 2,10 m.
      Plantea las ecuaciones, despejando θ. Te dará 46,85°

  12. Un golfista lanza la bola con una velocidad inicial de 30 m/s , con un ángulo de inclinación
    de 40 0 . Encontrar:
    La altura máxima que alcanza la bola
    La distancia donde caerá la bola
    El Tiempo que la pelota permanece en el aire
    La posición de la bola al cabo de 1 segundo de vuelo
    Las componentes de la velocidad después de transcurridos 0,75 s de lanzada la bola.

    1. En la página Movimiento parabólico de UNIVERSO FÓRMULAS, tienes todas las fórmulas que necesitas para resolverlo.

      – 18,96 m
      – 90,40 m
      – 3,94 s
      – x = 22,98 m; y = 14,32 m
      – vx = 22,98 m/s; vy = 14,32 m/s

  13. hola necesito ayuda con este ejercicio:
    En el estadio Marquesa de la Ensenada, un jugador del Deportivo Marquense golpea la pelota a una altura h1 de 1.40 m sobre el nivel del suelo, de modo que viaja en un ángulo de 52° con la horizontal. La pelota cae del lado de preferencia a h2 = 12 m del nivel del suelo. Vea la figura adjunta. Las gradas de la preferencia tienen una pendiente hacia arriba de 28° y los asientos de la parte inferior se hallan a 109.12 metros de donde el jugador golpea la pelota. Calcule la magnitud de la velocidad

    1. En primer lugar, una solución trigonométrica.
      La pelota cae a una distancia horizontal del campo de 12 / tan 28° = 22,57 m que debes sumar a los 109,12 m = 131,69 m
      Luego, plantear las ecuaciones de la componente horizontal de la posición, que son los 131,69 m y la componente vertical de la posición, que son 12 – 1,4 = 10,6 m.
      Tienes dos ecuaciones con dos incógnitas, t y v0.
      Despeja el tiempo y sustituye. Resuelve la ecuación de segundo grado y tendrás la velocidad inicial.

  14. Por qué en el ejercicio 3 al reemplazar la ecuación de MRUA se le agregó el valor de tiempo después de senθ si no estaba en la ecuación original?

    1. En efecto, debe de tratarse de un error de transcripción de la fórmula. Tiene que poner v0 sen θ t.
      Pero el desarrollo del ejercicio y el resultado son correctos

  15. Un disco es lanzado realizando un MPCL a una velocidad de 150m/s y formando un ángulo de 35º con la horizontal. Calcular el tiempo de vuelo teniendo en cuenta que la gravedad será de 10m/s2

    1. En la página Movimiento parabólico de UNIVERSO FÓRMULAS tienes la fórmula del tiempo de vuelo.
      17,55 s

  16. Una persona patea una pelota con una velocidad de 26 m/s. Si la pelota sale del suelo con un ángulo de 40° y cae sobre el campo sin que antes lo toque ninguna persona, calcular :

    a) Altura máxima del balón.
    b) Distancia desde el portero hasta el punto donde caerá en el campo
    c) Tiempo en la que la pelota estará en el aire.
    d) La posición de la pelota a los 2s

    1. Tienes todas las fórmulas, de aplicación directa, en la página Movimiento parabólico de UNIVERSO FÓRMULAS
      Inténtalo y mira el ejercicio 1. Si tienes alguna dificultad, lo comentamos.
      a) 14,24 m
      b) 67,86 m
      c) 3,41 s
      d) 39,8 m , 13,8 m

  17. Un jugador patea una pelota con un ángulo de 65° sobre la horizontal. Si alcanza el punto más alto de la trayectoria en 7 segundos. Calcular:

    1. La velocidad de lanzamiento

    2. El alcance horizontal

    3. La mayor altura alcanzada

    1. Las fórmulas que necesitas están en la página Movimiento parabólico de UNIVERSO FÓRMULAS
      En la fórmula de la componente vertical de la velocidad, transcurrido un tiempo t, siendo que en el punto máximo la componente vertical de la velocidad es 0 m/s.
      0 = v0 sen 65° – 9,81 * 7
      Halla la velocidad inicial y el resto con las fórmulas de la página
      75,77 m/s
      451 m
      242 m

  18. Se lanza una partícula en tiro parabólico con velocidad 89 m/s y con ángulo 53° sobre la horizontal. Calcular la velocidad cuando han transcurrido 2,9s después del lanzamiento.

    1. En la página Movimiento parabólico de UNIVERSO FÓRMULAS, encontrarás las fórmulas que necesitas para resolver un ejercicio básico de tiro parabólico.
      En concreto, en el apartado Velocidad, tienes la fórmula [2] de la velocidad transcurrido un tiempo t, en tu caso 2,9 s. Esa fórmula te da las componentes de la velocidad. La horizontal (constante v0 cos θ) y la componente vertical (en función del tiempo, v0 sen θ – gt).
      Hállalas y calcula la velocidad resultante por Pitágoras.
      68,45 m/s

  19. Un aeroplano que vuela horizontalmente, a una altura de 1 km, con una rapidez de
    200 km/h, deja caer una bomba que debe dar en un blanco móvil que viaja, en su misma dirección pero
    sentido contrario, con un rapidez de 20 km/h. Cuál debe ser la distancia horizontal entre el aeroplano y el
    blanco en el instante en que este suelta la bomba?

    1. Debes tratar de solucionarlo. En la página tienes el ejercicio 4 que tiene similitudes.
      Llama a la distancia que buscas d que será la suma de la distancia horizontal de la bomba xb más la distancia, también horizontal, del móvil hacia el punto de impacto xm.
      La componente horizontal de la bomba es la inicial vxb = 55,55 m/s (pasa a estas unidades).
      El móvil va en dirección al impacto a vxm = 5,55 m/s
      xb = 55,55 * t
      xm = 5,55 * t
      El tiempo t, igual para los dos móviles. Es el tiempo de caída de la bomba
      t = √(2 * 1000 / 9,81)
      Con esto puedes resolver

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