Ángulo entre dos rectas

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El ángulo entre dos rectas que se cortan en el plano cartesiano se puede calcular por dos procedimientos: a partir de sus vectores directores o a partir de sus pendientes.

El ángulo se puede obtener a través del producto escalar de sus vectores directores:

Fórmula del ángulo de dos rectas mediante el producto escalar

Podemos obtener vectores directores de cada recta de los coeficientes A y B de sus respectivas ecuaciones puestas en su forma general:

Fórmula del ángulo de dos rectas mediante la ecuación general de la recta

En el producto escalar, el numerador lo obtenemos por los determinantes de matrices de rango 2:

Fórmula del ángulo de dos rectas mediante matrices

Y el ángulo se obtiene por el arcocoseno, (la función inversa del coseno), una vez este se ha despejado en la expresión del producto escalar. En el denominador, el módulo de los vectores directores se hallarán aplicando el teorema de Pitágoras a sus componentes:

Fórmula del ángulo de dos rectas mediante trigonometría

El otro procedimiento, más sencillo, es a partir de sus pendientes, que son los coeficientes m1 y m2 de la x de las ecuaciones de las rectas secantes puestas en forma explícita u ordinaria:

Fórmula del ángulo de dos rectas

Se toma siempre el ángulo menor de los dos pares que se forman al cortarse las dos rectas, siendo 0 < α ≤ π/2.

Un caso particular de dos rectas secantes son las rectas perpendiculares. Sus pendientes son inversas y de signo contrario. La condición se expresa alternativamente así:

Restricción para que dos rectas sean perpendiculares

Dependiendo de si las ecuaciones están en forma general, explícita o simétrica.

Ejercicios

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Ejercicio 1

Determinar el ángulo que forman dos rectas secantes r y s presentadas en forma de la ecuación en forma general. Calcularlo mediante el producto escalar de sus vectores directores considerados:

Enunciado del ejercicio 2 de ángulo de dos rectas

Solución:

De las ecuaciones generales, deduciremos vectores directores de ambas rectas:

Cálculo de los vectores directores del ejercicio 2 de ángulo de dos rectas

Ahora, con la definición de los dos vectores directores, que expresan sus componentes cartesianos, se puede aplicar la fórmula para hallar el ángulo. La fórmula se deriva del producto escalar correspondiente:

Cálculo del producto escalar del ejercicio 2 de ángulo de dos rectas

Al cortarse, las dos rectas forman un ángulo de 45°. Como en la figura:

Dibujo del ejercicio 2 de ángulo de dos rectas

Ejercicio 2

Averiguar el ángulo que forman estas dos rectas con ecuaciones en forma explícita. Son secantes porque los coeficientes de x,-2/3 y 1/2 (o sus pendientes) son diferentes:

Enunciado del ejercicio 1 de ángulo de dos rectas

Solución:

Se aplica la fórmula del ángulo de dos rectas secantes en función de las pendientes:

Cálculo de la solución del ejercicio 1 de ángulo de dos rectas

Véase la imagen:

Dibujo del ejercicio 1 de ángulo de dos rectas

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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