Ángulo entre dos rectas

El ángulo entre dos rectas que se cortan en el plano cartesiano se puede calcular por dos procedimientos: a partir de sus vectores directores o a partir de sus pendientes.

El ángulo se puede obtener a través del producto escalar de sus vectores directores:

Podemos obtener vectores directores de cada recta de los coeficientes A y B de sus respectivas ecuaciones puestas en su forma general:

En el producto escalar, el numerador lo obtenemos por los determinantes de matrices de rango 2:

Y el ángulo se obtiene por el arcocoseno, (la función inversa del coseno), una vez este se ha despejado en la expresión del producto escalar. En el denominador, el módulo de los vectores directores se hallarán aplicando el teorema de Pitágoras a sus componentes:

El otro procedimiento, más sencillo, es a partir de sus pendientes, que son los coeficientes m₁ y m₂ de la x de las ecuaciones de las rectas secantes puestas en forma explícita u ordinaria:

Se toma siempre el ángulo menor de los dos pares que se forman al cortarse las dos rectas, siendo 0 < α ≤ π/2.

Un caso particular de dos rectas secantes son las rectas perpendiculares. Sus pendientes son inversas y de signo contrario. La condición se expresa alternativamente así:

Dependiendo de si las ecuaciones están en forma general, explícita o simétrica.

Ejercicios

Ejercicio 1

Determinar el ángulo que forman dos rectas secantes r y s presentadas en forma de la ecuación en forma general. Calcularlo mediante el producto escalar de sus vectores directores considerados:

Solución:

De las ecuaciones generales, deduciremos vectores directores de ambas rectas:

Ahora, con la definición de los dos vectores directores, que expresan sus componentes cartesianos, se puede aplicar la fórmula para hallar el ángulo. La fórmula se deriva del producto escalar correspondiente:

Al cortarse, las dos rectas forman un ángulo de 45°. Como en la figura:

Ejercicio 2

Averiguar el ángulo que forman estas dos rectas con ecuaciones en forma explícita. Son secantes porque los coeficientes de x,-2/3 y 1/2 (o sus pendientes) son diferentes:

Solución:

Se aplica la fórmula del ángulo de dos rectas secantes en función de las pendientes:

Véase la imagen: