Producto escalar

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Llamamos producto escalar (o producto interno) de dos vectores que forman entre sí un ángulo α, a un número escalar (atención, no un vector) igual al producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo α que forman.

Fórmula del producto escalar de dos vectores

También podemos decir que el producto interno de dos vectores es igual al módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Esta proyección es:

Dibujo del producto interno de dos vectores como proyección de uno sobre el otro

Un caso de producto interno (o escalar) sería el trabajo (magnitud escalar) que realiza una fuerza, cuando ocasiona un desplazamiento. Es el producto del módulo de la fuerza por la proyección sobre la dirección de ésta del desplazamiento producido.

Propiedades del producto escalar

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Si los dos vectores tienen la misma dirección y sentido, el producto escalar será el producto de sus módulos (cos 0° = 1). En este caso, si los dos vectores fuesen iguales, el producto interno sería igual a:

Dibujo y fórmula del producto interno de dos vectores con la misma dirección

Si los dos vectores tienen la misma dirección pero sentido opuesto, el producto interno será el producto de sus módulos con signo contrario (cos 180° = -1).

Dibujo y fórmula del producto interno de dos vectores con la misma dirección pero sentido opuesto

Si los dos vectores son perpendiculares, su producto interno será nulo (cos 90° = 0).

Dibujo y fórmula del producto escalar de dos vectores perpendiculares

Producto interno mediante matrices

El producto interno (o escalar) de dos vectores de los que conocemos sus componentes se puede resolver mediante matrices o determinantes:

Fórmula y ejemplo 1 para calcular el producto de dos vectores mediantes matrices o determinantes

Lo podemos expresar como el producto de una matriz fila por otra, columna:

Fórmula y ejemplo 2 para calcular el producto de dos vectores mediantes matrices o determinantes

Ejemplo:

Fórmula y ejemplo 3 para calcular el producto de dos vectores mediantes matrices o determinantes

En este ejemplo, el producto interno es -2.


AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2017


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1 respuesta

  1. LUIS dice:

    BUENA INFORMACIÓN

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