Producto escalar

Llamamos producto escalar (o producto interno) de dos vectores que forman entre sí un ángulo α, a un número escalar (atención, no un vector) igual al producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo α que forman.

También podemos decir que el producto interno de dos vectores es igual al módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Esta proyección es:

Un caso de producto interno (o escalar) sería el trabajo (magnitud escalar) que realiza una fuerza, cuando ocasiona un desplazamiento. Es el producto del módulo de la fuerza por la proyección sobre la dirección de ésta del desplazamiento producido.

Propiedades del producto escalar

Si los dos vectores tienen la misma dirección y sentido, el producto escalar será el producto de sus módulos (cos 0° = 1). En este caso, si los dos vectores fuesen iguales, el producto interno sería igual a:

Si los dos vectores tienen la misma dirección pero sentido opuesto, el producto interno será el producto de sus módulos con signo contrario (cos 180° = -1).

Si los dos vectores son perpendiculares, su producto interno será nulo (cos 90° = 0).

Además, el producto escalar cumple las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa:

Propiedad conmutativa:

Propiedad distributiva:

Producto interno mediante matrices

El producto interno (o escalar) de dos vectores de los que conocemos sus componentes se puede resolver mediante matrices o determinantes:

Lo podemos expresar como el producto de una matriz fila por otra, columna:

Ejemplo:

En este ejemplo, el producto interno es -2.