Rectas paralelas

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Las rectas paralelas son las que, estando en un mismo plano, no tienen ningún punto en común, no se cortan.

Si dos rectas del plano son perpendiculares a una tercera, es que son paralelas entre sí.

Por un punto del plano exterior a una recta pasa una paralela a ella.

Si una recta es paralela a otra, y esta segunda también lo es a una tercera, la primera y la tercera guardaran paralelismo.

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. O, lo que es lo mismo, forman un mismo ángulo α con la rama positiva del eje X:

Dibujo de dos rectas paralelas

Cuando dos rectas están expresadas en la ecuación general, de la que sabemos cómo obtener la pendiente m, para que las dos rectas sean paralelas deben cumplir la condición:

Condición para que dos rectas sean paralelas por la ecuación general

Dos rectas serán paralelas, cuando estando sus ecuaciones en forma explícita (o principal) se cumplen esta dos condiciones. La ordenada en el origen b debe de ser diferente. En caso contrario, serían rectas coincidentes:

Condición para que dos rectas sean paralelas por la ecuación explicita

Y dos rectas serán paralelas si su ecuación está en forma simétrica y se cumple esta condición:

Condición para que dos rectas sean paralelas por la ecuación simétrica

Distancia entre paralelas

La distancia entre dos rectas paralelas se puede hallar de dos maneras:

1. Averiguando las coordenadas de un punto cualquiera de una de las rectas, por ejemplo, haciendo en su ecuación x = 0, hallar la abscisa del punto de corte en X. Entonces, aplicar la fórmula de la distancia entre ese punto y la otra recta, según la fórmula anterior:

Dibujo de la distancia de dos rectas paralelas

2. Al ser paralelas las dos rectas, los coeficientes de sus ecuaciones generales deben cumplir esta condición:

Restricción 2 para que dos rectas sean paralelas

Por lo que se pueden transformar las ecuaciones para que los coeficientes A y B sean iguales, multiplicando o dividiendo una de ellas por una constante. Con esa transformación aparecerá una nueva pareja de coeficientes libres C y C’:

Dibujo 2 de la distancia de dos rectas paralelas

Este fórmula solamente se puede aplicar, como se ha dicho, cuando previamente se hayan igualado en las dos ecuaciones generales de las dos rectas paralelas los coeficientes A y B.

Ejercicios

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Ejercicio 1

Sin graficar, justificar cuáles de estos pares de ecuaciones se corresponden con rectas paralelas:

Enunciado del ejercicio 1 de posiciones relativas de dos rectas

Solución:

1. El primer par de rectas, expresadas en forma general, no tienen los dos primeros coeficientes A y B proporcionales, por lo que no pueden ser paralelas:

Cálculo con las ecuaciones generales en el ejercicio 1

2. En este caso, una recta está en forma explícita y la otra en forma general. Hagamos transformaciones en la segunda (en azul) para que aparezca también en forma explícita:

Cálculo con las ecuaciones explícitas en el ejercicio 1

Las constantes que afecta a la x son iguales (la unidad) y son las que marcan la pendiente de la recta. Además como la ordenada en el origen de ambas rectas son diferentes, 3 y 1/2, las rectas sí que son paralelas.

3. Aquí, las dos rectas están representadas por ecuaciones en forma general:

Cálculo 2 con las ecuaciones generales en el ejercicio 1

No son paralelas porque los coeficientes A y B no son proporcionales.

Cálculo 2 con las ecuaciones explícitas en el ejercicio 1

Ejercicio 2

a. Comprobar que las rectas r, y s son paralelas. (r está expresada en ecuación explícita u ordinaria, mientras que s lo está en la forma general):

b. Hallar la distancia entre ambas rectas, en el caso de que sean paralelas.

Enunciado del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

Solución:

a. Para comprobar el posible paralelismo hay que comparar la igualdad de las pendientes y que las ordenadas en el origen sean distintas. Para hacerlo, se pasa la segunda ecuación a la forma explícita:

Cálculo de la ecuación explícita del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

Son paralelas, porque tienen igual pendiente y distinta ordenada en origen.

Cálculo de la distancia de dos rectas paralelas del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

También se puede comprobar el paralelismo con las fórmulas que se derivan de la comparación a partir de las dos ecuaciones puestas en la forma general:

Cálculo 2 de la distancia de dos rectas paralelas del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

Y se hace la comprobación, viendo que existe el paralelismo:

Cálculo 3 de la distancia de dos rectas paralelas del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

b. La distancia entre las paralelas la obtenemos de la fórmula que emplea los coeficientes de las ecuaciones puestas en forma general y reducidos los coeficientes de las variables. En este caso no es necesario operar porque los coeficientes A = 1 y B = 4 ya son iguales en las dos:

Cálculo de la solución del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

La distancia es 3,88.

Se ve en la imagen:

Dibujo del ejercicio 1 de distancia de dos rectas

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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