Rectas paralelas

Las rectas paralelas son las que, estando en un mismo plano, no tienen ningún punto en común, no se cortan.

Si dos rectas del plano son perpendiculares a una tercera, es que son paralelas entre sí.

Por un punto del plano exterior a una recta pasa una paralela a ella.

Si una recta es paralela a otra, y esta segunda también lo es a una tercera, la primera y la tercera guardaran paralelismo.

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. O, lo que es lo mismo, forman un mismo ángulo α con la rama positiva del eje X:

Cuando dos rectas están expresadas en la ecuación general, de la que sabemos cómo obtener la pendiente m, para que las dos rectas sean paralelas deben cumplir la condición:

Dos rectas serán paralelas, cuando estando sus ecuaciones en forma explícita (o principal) se cumplen esta dos condiciones. La ordenada en el origen b debe de ser diferente. En caso contrario, serían rectas coincidentes:

Y dos rectas serán paralelas si su ecuación está en forma simétrica y se cumple esta condición:

Distancia entre paralelas

La distancia entre dos rectas paralelas se puede hallar de dos maneras:

1. Averiguando las coordenadas de un punto cualquiera de una de las rectas, por ejemplo, haciendo en su ecuación x = 0, hallar la abscisa del punto de corte en X. Entonces, aplicar la fórmula de la distancia entre ese punto y la otra recta, según la fórmula anterior:

2. Al ser paralelas las dos rectas, los coeficientes de sus ecuaciones generales deben cumplir esta condición:

Por lo que se pueden transformar las ecuaciones para que los coeficientes A y B sean iguales, multiplicando o dividiendo una de ellas por una constante. Con esa transformación aparecerá una nueva pareja de coeficientes libres C y C’:

Este fórmula solamente se puede aplicar, como se ha dicho, cuando previamente se hayan igualado en las dos ecuaciones generales de las dos rectas paralelas los coeficientes A y B.

Ejercicios

Ejercicio 1

Sin graficar, justificar cuáles de estos pares de ecuaciones se corresponden con rectas paralelas:

Solución:

1. El primer par de rectas, expresadas en forma general, no tienen los dos primeros coeficientes A y B proporcionales, por lo que no pueden ser paralelas:

2. En este caso, una recta está en forma explícita y la otra en forma general. Hagamos transformaciones en la segunda (en azul) para que aparezca también en forma explícita:

Las constantes que afecta a la x son iguales (la unidad) y son las que marcan la pendiente de la recta. Además como la ordenada en el origen de ambas rectas son diferentes, 3 y 1/2, las rectas sí que son paralelas.

3. Aquí, las dos rectas están representadas por ecuaciones en forma general:

No son paralelas porque los coeficientes A y B no son proporcionales.

Ejercicio 2

a. Comprobar que las rectas r, y s son paralelas. (r está expresada en ecuación explícita u ordinaria, mientras que s lo está en la forma general):

b. Hallar la distancia entre ambas rectas, en el caso de que sean paralelas.

Solución:

a. Para comprobar el posible paralelismo hay que comparar la igualdad de las pendientes y que las ordenadas en el origen sean distintas. Para hacerlo, se pasa la segunda ecuación a la forma explícita:

Son paralelas, porque tienen igual pendiente y distinta ordenada en origen.

También se puede comprobar el paralelismo con las fórmulas que se derivan de la comparación a partir de las dos ecuaciones puestas en la forma general:

Y se hace la comprobación, viendo que existe el paralelismo:

b. La distancia entre las paralelas la obtenemos de la fórmula que emplea los coeficientes de las ecuaciones puestas en forma general y reducidos los coeficientes de las variables. En este caso no es necesario operar porque los coeficientes A = 1 y B = 4 ya son iguales en las dos:

La distancia es 3,88.

Se ve en la imagen: