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Distancia entre dos rectas paralelas

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La distancia entre dos rectas paralelas se puede hallar de dos maneras. Aquí se debe emplear necesariamente la forma general de la ecuación de la recta. El resultado se toma en valor absoluto.

1. Averiguando las coordenadas de un punto cualquiera de una de las rectas, por ejemplo, haciendo en su ecuación x = 0, hallar la ordenada del punto de corte en Y. Entonces, aplicar la fórmula de la distancia entre ese punto y la otra recta, según la fórmula anterior:

Dibujo de la distancia de dos rectas paralelas

2. Al ser paralelas las dos rectas, los coeficientes de sus ecuaciones generales deben cumplir esta condición:

Restricción 2 para que dos rectas sean paralelas

Por lo que se pueden transformar las ecuaciones para que los coeficientes A y B sean iguales, multiplicando o dividiendo una de ellas por una constante. Con esa transformación aparecerá una nueva pareja de coeficientes libres C y C’:

Dibujo 2 de la distancia de dos rectas paralelas

Este fórmula solamente se puede aplicar, como se ha dicho, cuando previamente se hayan igualado en las dos ecuaciones generales de las dos rectas paralelas los coeficientes A y B.

Ejercicios

Ejercicio 1

a. Comprobar que las rectas r, y s son paralelas. (r está expresada en ecuación explícita u ordinaria, mientras que s lo está en la forma general):

b. Hallar la distancia entre ambas rectas, en el caso de que sean paralelas.

Enunciado del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

Solución:

a. Para comprobar el posible paralelismo hay que comparar la igualdad de las pendientes y que las ordenadas en el origen sean distintas. Para hacerlo, se pasa la segunda ecuación a la forma explícita:

Cálculo de la ecuación explícita del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

Son paralelas, porque tienen igual pendiente y distinta ordenada en origen.

Cálculo de la distancia de dos rectas paralelas del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

También se puede comprobar el paralelismo con las fórmulas que se derivan de la comparación a partir de las dos ecuaciones puestas en la forma general:

Cálculo 2 de la distancia de dos rectas paralelas del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

Y se hace la comprobación, viendo que existe el paralelismo:

Cálculo 3 de la distancia de dos rectas paralelas del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

b. La distancia entre las paralelas la obtenemos de la fórmula que emplea los coeficientes de las ecuaciones puestas en forma general y reducidos los coeficientes de las variables. En este caso no es necesario operar porque los coeficientes A = 1 y B = 4 ya son iguales en las dos:

Cálculo de la solución del ejercicio 1 de la distancia de dos rectas

La distancia es 3,88.

Se ve en la imagen:

Dibujo del ejercicio 1 de distancia de dos rectas

Ejercicio 2

En el caso de que las rectas r, y s fuesen paralelas, hallar la distancia entre ellas utilizando la ecuación que se deriva de la distancia de un punto a una recta.

Enunciado del ejercicio 2

Solución:

Comprobación si las dos rectas son paralelas, con el criterio aplicable a dos ecuaciones en forma general.

Cálculo de la forma general del ejercicio 2

Cumplen el criterio, luego las dos rectas son paralelas.

Ahora, de la recta r escogemos un punto, por ejemplo, el de la intersección con el eje Y, para lo que daremos el valor x = 0:

Cálculo de la intersección del ejercicio 2

El punto de intersección de la recta r con el eje Y es el (0, 3).

Ya se puede aplicar la fórmula de la distancia punto-recta, dando valores en el numerador en la ecuación de la recta r, x = 0, y = 3:

Solución del ejercicio 2

La distancia entre las dos rectas paralelas es d = 5. Como muestra la imagen:

.

Dibujo del ejercicio 2 de distancia de un punto a una recta

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