Suma y resta de fracciones

Para realizar la suma y resta de fracciones hay que diferenciar dos casos:

• Las fracciones que se suman o restan tienen el mismo denominador (fracciones homogéneas). Por ejemplo:
  
• Las fracciones que queremos sumar tienen diferente denominador (fracciones heterogéneas). Por ejemplo:
  

¿Cómo sumar y restar fracciones? Según el caso en el que estemos, el procedimiento para realizar la suma es diferente. Vamos a ver los dos casos.

Suma y resta de fracciones con el mismo denominador

Suma de fracciones con el mismo denominador

Para la suma de fracciones con igual denominador (también llamadas fracciones homogéneas), se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.

Por ejemplo:

En este caso, como el denominador es igual, o sea 6, sumamos los dos numeradores 1 y 2.

Por lo tanto, el numeradores será 3 y el denominador lo dejamos igual, siendo 6.

Este procedimiento es muy sencillo, ¿verdad?

Resta de fracciones con el mismo denominador

Para la resta de fracciones con igual denominador, se restan los numeradores y se deja tal cual el denominador.

Por ejemplo:

En este ejemplo, como el denominador es igual en las dos fracciones, o sea 5, restamos el primer numerador menos el segundo, 6 y 2.

El numeradores será 4 y el denominador, como habíamos dicho se quedaba igual, siendo 5.

Suma y resta de fracciones con diferente denominador

¿Cómo sumar y restar fracciones con diferente denominador (también llamadas fracciones heterogéneas)? Se puede hacer por dos métodos, el método del mínimo común denominador para la suma o resta de dos o más fracciones y el método de la multiplicación en cruz para la suma o resta de dos fracciones. El método más utilizado el el del mínimo común denominador.

Suma de fracciones con distinto denominador

Método del mínimo común múltiplo de los denominadores

Lo primero que debemos hacer para sumar fracciones con distinto denominador, es encontrar un denominador común. Para ello, debemos encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones que sumamos. Veámoslo en un ejemplo.

Supongamos que queremos sumar:

Como las fracciones tienen diferente denominador, necesitamos ponerlas todas en uno mismo. Para ello, hacemos el mínimo común denominador, es decir, el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.

1. Primero factorizamos los dos denominadores: 4 y 3 en factores primos.
   
2. Con la factorización hecha, sacamos el mínimo común múltiplo (mcm) de 4 y 3. Recordamos que el mcm, una vez hecha la factorización, son los factores comunes y no comunes elevados al máximo exponente. En nuestro caso será:
   
3. El mínimo común múltiplo de los denominadores es 12. Los denominadores de las nuevas fracciones serán 12 y los numeradores serán el numerador original por 12 dividido entre el denominador original, es decir:
   
4. Ahora tenemos las dos fracciones con el mismo denominador. Podemos hacer la suma de éstas, poniendo en el numerador la suma de los numeradores (3+8=11) y dejando el denominador en 12.
   

Así conseguimos realizar la suma de fracciones con distinto denominador, que es un poco más complicado que sumar fracciones con igual denominador.

Método de la multiplicación en cruz

El método de la multiplicación en cruz sirve para sumar dos fracciones. En este caso, si las fracciones que se suman tienen los mismos denominadores, se pueden sumar por el método normal de la suma de fracciones con el mismo denominador.

En el caso de que las fracciones tengan diferentes denominadores, es cuando podemos utilizar el método de la multiplicación en cruz.

1. Imaginemos que queremos sumar las siguientes fracciones:
   
2. Para calcular el numerador de la fracción resultado, multiplicamos las fracciones en cruz, es decir, el numerador de la primera por el denominador de la segunda y el denominador de la primera por el numerador de la segunda, y sumamos las dos multiplicaciones.
   
3. El denominador de la fracción resultado será el producto de los dos denominadores: 7 · 5 = 35.
4. Por lo tanto, el resultado de la suma de estas fracciones será 31/35.
   

Resta de fracciones con distinto denominador

Método del mínimo común múltiplo de los denominadores

En el método del mínimo común múltiplo de los denominadores, o del mínimo común denominador, lo primero que haremos para restar fracciones con distinto denominador es encontrar el denominador común. Para encontrarlo, calcularemos el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones que deseamos restar. Vamos a verlo en un ejemplo.

Supongamos que queremos restar:

Como las fracciones tienen diferente denominador, lo primero que debemos hacer es pasarlas al mismo. Para ello, hacemos el mínimo común denominador, es decir, el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.

1. Se factorizan los dos denominadores, 4 y 10 en factores primos.
   
2. Una vez está la factorización, obtenemos el mínimo común múltiplo (mcm) de 4 y 10. Recordamos que el mcm, una vez hecha la factorización, son los factores comunes y no comunes elevados al máximo exponente. Veamos que da en nuestro caso:
   
3. El mínimo común múltiplo de los denominadores es 20, por lo tanto, los denominadores de las dos nuevas fracciones serán 20. Los numeradores nuevos serán el numerador original por 20 dividido entre el denominador original, es decir:
   
4. Ahora que tenemos las dos fracciones con el mismo denominador, se puede hacer la resta de éstas, poniendo en el numerador la resta de los numeradores nuevos (15-4=11) y dejando el denominador en 20.
   

Al final logramos realizar la resta de fracciones con distinto denominador, que es un poco más complicado que restar fracciones con igual denominador.

Método de la multiplicación en cruz

El método de la multiplicación en cruz se utiliza para restar dos sirve para sumar dos fracciones con distinto denominadores.

Este método puede resultar más fácil que el método mínimo común denominador, ya que te ahorras calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. Sin embargo, por el otro método obtendrás, en la mayoría de los casos, como resultado una fracción más simplificada.

1. Vamos a ver como funciona este método en el siguiente ejemplo:
   
2. El numerador de la fracción resultado, se multiplican las fracciones en cruz, el numerador de la primera por el denominador de la segunda se le resta el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.
   
3. El denominador de la fracción resultado será el producto de los dos denominadores: 5 · 7 = 35.
4. Es decir, el resultado de la resta de estas fracciones será 16/35.
   

Suma y resta de fracciones con enteros

Suma de fracciones con enteros

Para sumar una fracción más un número entero, utilizaremos el método de la suma de fracciones con diferente denominador. Para ello, suponemos que un número entero es una fracción, como si estubiese el número entero dividido entre 1 (ya que cualquier número dividido entre 1 es el mismo número).

El procedimiento para realizar la suma es el siguiente:

1. Suponemos que queremos hacer la siguiente suma:
   
2. El entero 3 es lo mismo que la fracción 3/1.
   
3. Sacamos el mínimo común múltiplo de los denominadores. Como el mínimo común múltiplo de cualquier número (mcm) y 1 es este mismo número, el mcm de 5 y 1 será 5.
4. Los denominadores de las fracciones a sumar serán 5 y los numeradores serán el numerador original por 5 dividido entre el denominador original.
   
5. Con las fracciones con el mismo denominador, podemos hacer la suma de fracciones.
   

Suma de tres fracciones

Para sumar tres fracciones, tenemos que mirar primero si tienen diferente denominador. Si los denominadores son iguales, podemos hacer la suma fácil sumando los numeradores. Si los denominadores son diferentes, entonces tendremos que hacer l mínimo común múltiplo de los denominadores.

Supongamos que queremos sumar:

Como las fracciones tienen diferente denominador, necesitamos ponerlas todas en el mismo denominador. Para ello, hacemos el mínimo común denominador, es decir, el mínimo común múltiplo de los tres de denominadores.

1. Factorizamos los tres denominadores: 3, 4 y 8.
   
2. Ahora que tenemos la factorización, sacamos el mínimo común múltiplo. Éste será:
   
3. El mínimo común múltiplo de los denominadores es 24. Los denominadores de las nuevas fracciones serán 24 y los numeradores serán el numerador original por 24 dividido entre el denominador original.
   
4. Con las tres fracciones con el mismo denominador, ya podemos sumarlas. ponemos en el numerador la suma de los numeradores (8+12+9=29) y en el denominador dejamos el 24.
   

Resta de fracciones con enteros

Para restar fracciones, tenemos que pasar el entero a una fracción con el mismo denominador que la otra fracción. Un número entero se puede transformar a una fracción con denominador 1, ya que cualquier número dividido entre 1 es el mismo número.

Veamos el procedimiento para hacer la resta:

1. Lo mejor es verlo en un ejemplo. Suponemos que queremos hacer la siguiente resta:
   
2. El entero 4 es igual a la fracción 4/1. Por lo tanto, pasaremos el número entero a esta fracción para poder realizar la resta.
   
3. Para poder hacer la resta, pasaremos las dos fracciones al mismo denominador. El mínimo común denominador de 1 y 2 es 2, ya que el mínimo común múltiplo de un numero y 1 es este primer número.
4. Los denominadores de las fracciones de la resta serán 2. Los numeradores, en el caso de la fracción original se quedará tal cual y el de la fracción generada por el número entero será el numerador original por el denominador nuevo, que es 2, es decir 4·2.
   
5. Con las fracciones con el mismo denominador, realizamos la resta de fracciones.