Varianza

La varianza (S²) mide la dispersión de los datos de una muestra (X₁,X₂,…,X_N) respecto a la media (x), calculando la media de los cuadrados de las distancias de todos los datos.

Al elevar las diferencias al cuadrado se garantiza que las diferencias absolutas respecto a la media no se anulan entre si. Además, resaltan los valores alejados.

Siempre se cumple que la varianza es mayor o igual que cero (S² ≥ 0). Ésta es cero cuando todos los datos son el mismo (ejemplo: {1,1,1,1,1}).

Si en vez de tratarse de una muestra, la varianza se refiere a la población, el denominador será N.

Ejercicio

Un médico de un instituto quiere realizar un estudio para ver si los alumnos de un centro tienen sobrepeso. Le interesaría calcular la varianza para ver como difieren los pesos respecto a la media. Para ello, se selecciona una muestra de doce alumnos de 14 o 15 años.

Se calcula la media de los pesos de los alumnos, y se obtiene que x = 53,5kg.

Una vez se sabe la media, se halla la diferencia de cada elemento respecto a esta, para calcular la dispersión de los datos.

Una vez se ha calculado el cuadrado de la diferencia de cada elemento con la media, ya se puede determinar la varianza (S²):

El valor alto de la varianza confirma una de sus características: que es sensible a los valores que se separan bastante de la media.

A continación se puede observar un gráfico de las diferencias del peso de cada alumno respecto a la media: