Tabla de frecuencias

La tabla de frecuencias (o distribución de frecuencias) es una tabla que muestra la distribución de los datos mediante sus frecuencias. Se utiliza para variables cuantitativas o cualitativas ordinales.

La tabla de frecuencias es una herramienta que permite ordenar los datos de manera que se presentan numéricamente las características de la distribución de un conjunto de datos o muestra.

Construcción de la tabla de frecuencias

Cabe distinguir entre:

• Tabla de frecuencias con datos no agrupados.
• Tabla de frecuencias con datos agrupados.

Construcción de una tabla de frecuencias con datos no agrupados

1. En la primera columna se ordenan de menor a mayor los diferentes valores que tiene la variable en el conjunto de datos.
2. En las siguientes columnas (segunda y tercera) se ponen las frecuencias absolutas y las frecuencias absolutas acumuladas.
3. Las columnas cuarta y quinta contienen las frecuencias relativas y las frecuencias relativas acumuladas.
4. Adicionalmente (opcional) se pueden incluir dos columnas (sexta y séptima), representando la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada como tanto por cien. Estos porcentajes se obtienen multiplicando las dos frecuencias por cien.

El proceso se verá en el ejercicio 1.

Construcción de una tabla de frecuencias con datos agrupados

Se emplea cuando hay un número alto de datos. Estos se agrupan en intervalos o clases para facilitar su tabulación y análisis. Está indicado para representarlos en un histograma.

Como en el caso anterior, se utiliza tanto para variables cuantitativas como en variables cualitativas ordinales.

Los pasos iniciales para formar una tabla de frecuencias con datos agrupados están encaminados a determinar el número de intervalos y definirlos (siempre que no se conozcan de antemano). Los pasos son:

1. Obtener el rango R de los datos. Es la diferencia entre el dato mayor y el menor del conjunto de valores que toma la variable a tabular. Se llama también amplitud total.

   R = X_máx – X_mín

2. Fijar cuántos intervalos o clases se desea. Se tiende a que el número de clases sea impar y que esté entre 5 y 15. Hay dos maneras de hacerlo:
   • A criterio del investigador.
   • Mediante el método de Sturges, que emplea la siguiente fórmula:
     

     Donde n_int es el número de intervalos, el logaritmo es natural o base 10 y N es el número total de datos. El resultado se redondea al número entero más próximo.

3. Determinar la amplitud del intervalo o clase I:

   Es el resultado de dividir el rango R o amplitud total por el número de clases o intervalos n_int que se han fijado:

   

   El valor obtenido en esta división no tiene porqué ser un número entero. En ese caso, se redondearía al valor entero más próximo. Los dos redondeos, el que se haya podido hacer en el número de intervalos n_int y el de la amplitud del intervalo I modificarán el valor de la amplitud total o rango, apareciendo un nuevo valor ajustado, con los valores definitivos, repartiendo la diferencia entre R’ y R entre los dos extremos del rango:

   
4. Formar los diferentes intervalos o clases, partiendo del valor mínimo del nuevo rango R’. Cada intervalo tendrá unos extremos a y b separados por la amplitud de clase o intervalo I. En variables continuas, normalmente los intervalos son cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha, [a, b) en el que b no pertenece a este intervalo sinó que es el valor mínimo del intervalo siguiente. En variables discretas ordinales o en variables continuas en los que el procedimiento de medición no pueda apreciar más allá de un valor entero, los intervalos o clases serán cerrados por los extremos [a, b].
5. Cada intervalo está representado por la llamada marca de clase. Es la media entre sus extremos.
   

   Representará a los valores del intervalo o clase en los cálculos a partir de la tabla.

6. A partir de la columna de las clases, se formarán las columnas de las frecuencias, que son las que se describen a continuación y que son comunes para las tablas de datos no agrupados como en las de datos agrupados.

   (Los pasos descritos para formar una tabla con datos agrupados se desarrollan en el ejercicio 2).

Tipos de frecuencias

Existen cuatro tipos de frecuencias:

Frecuencia absoluta

La frecuencia absoluta (n_i) de un valor X_i es el número de veces que el valor está en el conjunto (X₁, X₂,…, X_N).

La suma de las frecuencias absolutas de todos los elementos diferentes del conjunto debe ser el número total de sujetos N. Si el conjunto tiene k números (o categorías) diferentes, entonces:

Frecuencia absoluta acumulada

La frecuencia absoluta acumulada(N_i) de un valor X_i del conjunto (X₁, X₂,…, X_N) es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a X_i, es decir:

Frecuencia relativa

La frecuencia relativa (f_i) de un valor X_i es la proporción de valores iguales a X_i en el conjunto de datos (X₁, X₂,…, X_N). Es decir, la frecuencia relativa es la frecuencia absoluta dividida por el número total de elementos N:

Las frecuencias relativas son valores entre 0 y 1, 0 ≤ f_i ≤ 1. La suma de las frecuencias relativas de todos los sujetos da 1. Supongamos que en el conjunto tenemos k números (o categorías) diferentes, entonces:

Si se multiplica la frecuencia relativa por cien se obtiene el porcentaje (tanto por cien %).

Frecuencia relativa acumulada

Definimos la frecuencia relativa acumulada (F_i) de un valor X_i como la proporción de valores iguales o menores a X_i en el conjunto de datos (X₁, X₂,…, X_N). Es decir, la frecuencia relativa acumulada es la frecuencia absoluta acumulada dividida por el número total de sujetos N:

La frecuencia relativa acumulada de cada valor siempre es mayor que la frecuencia relativa. De hecho, la frecuencia relativa acumulada de un elemento es la suma de las frecuencias relativas de los elementos menores o iguales a él, es decir:

Ejercicio 1

Un profesor tiene la lista de las notas en matemáticas de 30 alumnos de su clase. Las notas son las siguientes:

1) Frecuencia absoluta

Se realiza el recuento de la variable que se estudia (notas) para ver el número de veces que aparece cada nota.

Una vez realizado el recuento, se representan las frecuencias absolutas de cada una de las notas (n_i). Las frecuencias son: n₁(3)=2, n₂(4)=4, n₃(5)=6, n₄(6)=7, n₅(7)=5, n₆(8)=3, n₇(9)=2 y n₈(10)=1.

2) Frecuencia absoluta acumulada

Se calculan las frecuencias absolutas acumuladas (N_i) como la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a X_i:

3) Frecuencia relativa

Se calcula la frecuencia relativa de cada elemento como la división de la frecuencia absoluta entre el total de elementos N=30.

• f₁(3) = n₁(3)/N = 2/30 = 0,07
• f₂(4) = n₂(4)/N = 4/30 = 0,13
• f₃(5) = n₃(5)/N = 6/30 = 0,20
• f₄(6) = n₄(6)/N = 7/30 = 0,23
• f₅(7) = n₅(7)/N = 5/30 = 0,17
• f₆(8) = n₆(8)/N = 3/30 = 0,10
• f₇(9) = n₇(9)/N = 2/30 = 0,07
• f₈(10) = n₈(10)/N = 1/30 = 0,03

Se pueden calcular las frecuencias relativas en porcentaje (%) multiplicándolas por 100.

4) Frecuencia relativa acumulada

Para obtener la frecuencia relativa acumulada se divide la frecuencia absoluta acumulada entre el número total de elementos (N=30). Esto da el tanto por uno de elementos iguales o menores al elementos que se estudia.

Las frecuencias relativas acumuladas son las siguientes:

Se pueden calcular las frecuencias relativas acumuladas en porcentaje (%) multiplicándolas por 100.

5) Tabla de frecuencias

Una vez se han calculado todas las frecuencias, se construye la tabla de frecuencias. La tabla es la siguiente:

Adicionalmente, se pueden incluir dos columnas con los porcentajes de las frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas. Se obtiene la siguiente tabla:

Ejercicio 2

Los datos de lluvia caída en un día en 60 ciudades de una región, medida en l/m², han sido:

Elaborar la correspondiente tabla de frecuencias con datos agrupados en clases:

Solución:

La amplitud total o rango se obtendrá de los valores extremos, que se han localizado entre los datos de la tabla inicial de precipitaciones:

Fijamos el número de clases o intervalos por el método de Sturges, sabiendo que el total de observaciones son 60:

Redondeamos el número de clases, n_int, a 7.

Se calcula la amplitud de cada clase, dividiendo el rango por el número de clases:

Se redondea la amplitud de cada clase o intervalo a 4.

Ahora hay que recalcular un nuevo rango o amplitud total R’:

El exceso lo repartimos entre los extremos, que quedarán entre 0 y 28.

Se puede ya construir la tabla de frecuencias buscada, poniendo antes en la segunda columna la marca de clase c_i, que será el punto medio entre los extremos de cada intervalo.

El proceso para completar las columnas de las diferentes frecuencias es el mismo que en el ejercicio anterior. La tabla queda así:

La tabla la vemos representada en este histograma: