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Simplificar fracciones

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Simplificar fracciones es obtener de una fracción otra fracción equivalente cuyos términos (el numerador y el denominador) son menores.

Para la simplificación de fracciones, dividimos el numerador y el denominador por un mismo número (n) distinto de cero, obteniendo una fracción equivalente a la fracción.

Dibujo de como simplificar fracciones

Por ejemplo, queremos simplificar la fracción 2/4. El numerador y el denominador son divisibles por 2. Entonces lo podemos simplificar y dará la fracción 1/2.

Ejemplo de como simplificar una fracción

Si una fracción no se puede simplificar, significa que es una fracción irreducible. En este caso, numerador y denominador no tienen divisores en común.

Como simplificar fracciones

Procedimiento 1

En la simplificación de fracciones se pretende simplificar la fracción hasta una fracción irreducible.

Fracción para simplifcar la fracción mediante el procedimiento

Para ello, realizamos los siguientes pasos:

  1. Primero debemos de buscar el máximo común divisor (mcd) del numerador a y el denominador b.
    Máximo común divisor para simplifcar la fracción mediante el procedimiento
  2. Una vez tenemos el mcd calculado, si es mayor que 1, dividimos el numerador a y el denominador b por el máximo común divisor obtenido.
    División por el máximo común divisor para simplifcar la fracción mediante el procedimiento

    La fracción obtenida ya será la simplificada.

    Si el mcd es 1, significa que la fracción no se puede simplificar, ya que se trata de una fracción irreducible.

Ejercicio

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Simplificar hasta llegar a una fracción irreducible la fracción 32/72.

  1. Primero calculamos el mcd del numerador, que es 32, y del denominador que es 72.
    Máximo común divisor en el ejemplo 1 para simplifcar la fracción mediante el procedimiento
  2. Recordamos que el máximo común divisor es el producto de los primos comunes elevados al mínimo exponente. En este caso será 23 = 8.

    Ahora calculamos la fracción dividiendo arriba (el numerador) y abajo (el denominador) por 8.

    División por el máximo común divisor en el ejemplo 1 para simplifcar la fracción mediante el procedimiento

    Se obtiene que la fracción simplificada es 4/9, que es irreducible.

Procedimiento 2

Este procedimiento se basa en el anterior, pero en lugar de calcular el máximo común divisor (mcd), se tachan los primos comunes en el numerador y en el denominador. Vamos a verlo en un ejemplo:

Suponemos que queremos simplificar a una fracción irreducible la siguiente fracción:

Máximo común divisor para simplifcar la fracción mediante el procedimiento 2
  1. Ahora desarrollamos el numerador, 180, y el denominador, 126 en factores primos.
    Factores primos para simplifcar la fracción mediante el procedimiento 2
  2. Una vez tenemos las parte de la fracción de arriba y abajo desarrolladas en factores primos, tachamos los factores que se repiten.
    División por el máximo común divisor para simplifcar la fracción mediante el procedimiento 2

    La fracción simplificada será 10/7.

Procedimiento 3

Este método se trata de ir dividiendo arriba y abajo por los divisores comunes que encontremos, hasta que no haya ninguno más y lleguemos a una fracción irreducible.

Por ejemplo, queremos simplificar la fracción siguiente:

Fracción para simplifcar la fracción mediante el procedimiento 3

El 72 y el 48 son divisibles por 2, porque son los dos números pares. Podemos dividir primero por 2. Después, vamos dividiendo por el resto de divisores comunes del numerador y denominador.

División por los divisores comunes para simplifcar la fracción mediante el procedimiento 3

Y llegamos a que la fracción irreducible es 3/2.

Amplificación de fracciones

Si se multiplican los dos términos de una fracción a/b (el numerador y el denominador) por un mismo número diferente de cero, se obtiene una fracción equivalente.

Dibujo de como amplificar fracciones

Diremos que la fracción e/f se ha obtenido por amplificación de a/b.

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte.

Por ejemplo, ¿no es lo mismo comerse media pizza (1/2) que dos cuartos de pizza (2/4)?

Dibujo de dos fracciones equivalentes

En el dibujo vemos como efectivamente, 1/2 y 2/4 representan la misma parte de una pizza, por lo que son fracciones equivalentes.

Como saber si dos fracciones son equivalentes

Podemos emplear dos métodos para ver si dos fracciones son equivalentes. El primero es el más utilizado y es mediante el producto cruzado. El segundo es comparando el valor numérico de cada fracción.

Producto cruzado

Si dos fracciones son equivalentes, el producto cruzado (multiplicar el numerador de cada una por el denominador de la otra) son iguales.

Fórmula del producto cruzado para que dos fracciones sean equivalentes

¿Cómo podemos comprobarlo? Vamos a verlo en un ejemplo. Tenemos dos fracciones, 2/3 y 6/9. ¿Estas dos fracciones son equivalentes? Vamos a comprobar si los productos cruzados dan lo mismo:

Ejemplo 1 del producto cruzado para que dos fracciones sean equivalentes

Efectivamente, los dos productos cruzados dan 18, por lo que las dos fracciones son equivalentes.

Valor en número decimal

Podemos saber si dos fracciones representan la misma parte si el valor numérico decimal de las dos coincide.

Por ejemplo, ¿las fracciones 1/5 y 5/25 son equivalentes?

Comprobación de que dos fracciones si son equivalentes por su valor decimal

En este caso, tanto el valor decimal de 1/5 como el de 5/25 son iguales y dan 0,2. Por lo tanto, las dos fracciones son equivalentes.

Veamos este otro caso:

Comprobación de que dos fracciones no son equivalentes por su valor decimal

El número decimal de 6/5 es 1,2 y el de 7/6 es 1,166…. Estas dos fracciones no son equivalentes.

Fracciones irreducibles

Las fracciones que no se pueden simplificar se llaman fracciones irreducibles.

Esto ocurre cuando el numerador y el denominador no tienen divisores comunes. Es decir, el máximo común divisor (mcd) de los dos términos de la fracción es 1.

Vamos a ver dos casos de fracción irreducible y de fracción no irreducible.

Ejemplo de las fracciones irreducibles

La fracción 5/8 es irreducible ya que 5 y 8 no tienen divisores en común, su mcd es 1.

Ejemplo de fracción no irreducible

En cambio, la fracción 2/14 no es irreducible ya que el 2 y el 14 son divisibles entre 2 al ser pares, así que el 2 es un divisor común.

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