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Comparación de fracciones

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La comparación de fracciones es estudiar en dos o más fracciones que orden tienen, es decir, ordenarlas según cual sea la que ocupe una mayor parte.

¿Qué es más grande, 3/4 o 2/6?

En el siguiente dibujo las tenemos representadas.

Dibujo de la comparación de fracciones

Vemos claramente que 3/4 es mayor que 2/6, ya que representa una parte más grande.

Existen dos formas de comparar las fracciones. La primera es la visual, si podemos representar las fracciones, como en el caso anterior. Pero lo más común va a ser estudiar la comparación de fracciones mediante métodos numéricos.

Se pueden dar tres casos, según sean los numeradores y denominadores de las fracciones:

  1. Las fracciones tienen igual denominador (fracciones homogéneas).
  2. Las fracciones tienen igual numerador.
  3. Las fracciones tienen diferente denominador y numerador (fracciones heterogéneas).

Vamos a ver detenidamente los tres casos.

Comparación de fracciones con el mismo denominador

Cuando las fracciones tienen el mismo denominador (fracciones homogéneas), es mayor la que tiene mayor numerador.

Por ejemplo, ¿qué es mayor 3/12 o 8/12? Pensemos que dividimos en 12 partes una tarta. Como cogeremos más cantidad de tarta, ¿cogiendo 3 trozos o cogiendo 12?

Dibujo del ejemplo 1 de la comparación de fracciones con el mismo denominador

Viendo el dibujo, se observa claramente que es mayor 8/12 que 3/12.

¿Sabías qué pueden haber fracciones con el numerador o el denominador negativos? Por ejemplo:

Dibujo de fracciones con el numerador o denominador negativo

Es más común encontrarse el numerador negativo que el denominador.

Ejercicio

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Ordenar de mayor a menor las siguientes fracciones:

Fracciones a comparar en el ejemplo 2 de la comparación de fracciones con el mismo denominador

Todas tienen el mismo denominador, que es 10. Por lo tanto, se podrán ordenar de menor a mayor ordenando de menor a mayor los numeradores.

Ordenando numeradores en el ejemplo 2 de la comparación de fracciones con el mismo denominador

Por tanto, el orden que siguen las fracciones es el orden de los numeradores.

Fracciones ordenadas en el ejemplo 2 de la comparación de fracciones con el mismo denominador

Comparación de fracciones con el mismo numerador

Si dos fracciones tienen el mismo numerador, es mayor la que tenga menor denominador.

Vamos a discutirlo pensando en el tamaño de los trozos. Si partimos una pizza en 4 trozos y otra pizza en 6 trozos, ¿qué trozos serán más grandes? Entonces que será más grande, ¿2/4 o 2/6?

Dibujo del ejemplo 1 de la comparación de fracciones con el mismo numerador

Los trozos de la pizza cortada en 4 trozos serán más grandes que los que se ha cortado en 6. Por lo tanto, tendremos más proporción de pizza cogiendo dos trozos de la primera (2/4) que no de la segunda (2/6).

Ejercicio

Compara las siguientes fracciones y ordénalas de mayor a menor.

Fracciones a comparar en el ejemplo 2 de la comparación de fracciones con el mismo numerador

Primero ordenamos los denominador de mayor a menor.

Ordenando denominadores en el ejemplo 2 de la comparación de fracciones con el mismo numerador

Y obtenemos que estas tres fracciones se ordenan de la siguiente forma:

Fracciones ordenadas en el ejemplo 2 de la comparación de fracciones con el mismo numerador

Comparación de fracciones con distinto denominador y numerador

La comparación de fracciones con diferente numerador y denominador (fracciones heterogéneas) se requiere de métodos más costosos.

A priori, parece difícil decir cual es mayor:

Dibujo del ejemplo 1 de la comparación de fracciones con distinto numerador y denominador

¿Cuál de estas tres fracciones es mayor? No podemos hacer una comparación directa como en los dos casos anteriores.

Para comparar fracciones con distinto numerador y denominador, hace falta buscar fracciones equivalentes a estas que tengan el mismo denominador, y después se comparan los numeradores.

Existen dos métodos para realizarlo.

Multiplicación en cruz por el denominador de la otra fracción

Si tenemos dos fracciones con distinto numerador y denominador lo que hacemos es multiplicar los dos términos de cada fracción por el denominador de la otra fracción. Así obtenemos dos fracciones equivalentes con el mismo denominador y podemos comparar sus numeradores.

Por ejemplo, vamos a comparar las siguientes fracciones:

Fracciones del ejemplo 2 de la comparación de fracciones con distinto numerador y denominador multiplicando en cruz

Ahora multiplicamos cada fracción por el denominador contrario. Es decir, la primera fracción por 5 y la segunda por 7.

Multiplicación del ejemplo 2 de la comparación de fracciones con distinto numerador y denominador multiplicando en cruz

Obtenemos dos fracciones equivalentes, 20/35 y 21/35, que si que son comparables al tener el mismo denominador.

Comparación del ejemplo 2 de la comparación de fracciones con distinto numerador y denominador multiplicando en cruz

Como el numerador de la fracción equivalente a 3/5 es mayor, esta fracción es mayor que 4/7.

Reducción de fracciones a mínimo común denominador

Este método se utiliza cuando tenemos dos o más fracciones.

Para reducir a mínimo común denominador, sacamos el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores y se amplifican las fracciones a denominador común este mcm. Estas nuevas fracciones tendrán el mismo denominador y ya se podrán comparar.

Vamos a verlo en un ejemplo. Comparamos las siguientes tres fracciones:

Fracciones del ejemplo 3 de la comparación de fracciones con distinto numerador y denominador por el mcm
  1. Primero factorizamos los tres denominadores: 15, 20 y 5 en factores primos.
    Factorización de denominadores del ejemplo 3 de la comparación de fracciones con distinto numerador y denominador por el mcm
  2. Con la factorización hecha, sacamos el mínimo común múltiplo (mcm) de 15, 20 y 5. Recordemos que el mcm son los factores comunes y no comunes elevados al máximo exponente. En este caso será:
    Mcm de los denominadores del ejemplo 3 de la comparación de fracciones con distinto numerador y denominador por el mcm
  3. El mínimo común múltiplo de los denominadores es 60. Los denominadores de las nuevas fracciones serán 60 y los numeradores serán el numerador original por 60 dividido entre el denominador original, es decir:
    Nuevas fracciones del ejemplo 3 de la comparación de fracciones con distinto numerador y denominador por el mcm
  4. Ahora tenemos las tres fracciones con el mismo denominador. Podemos compararlas, comparando sus numeradores.
    Resultado del ejemplo 3 de la comparación de fracciones con distinto numerador y denominador por el mcm

    Y se obtiene que la fracción más pequeña es 8/20, después es 7/15 y la más grande 3/5.

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