Distribución normal

La distribución normal es la más notable en la Estadística y el Cálculo de Probabilidad. A ella se ajustan infinidad de variables aleatorias continuas presentes en la naturaleza, las ciencias sociales, las finanzas o la biomedicina. Llamamos a esa característica: X.

Queda definida por dos parámetros: la media y la desviación estándar (o desviación típica). Se denota por N(μ, σ).

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal

Una función de densidad o de densidad de probabilidad y = f(x) de una distribución de una variable aleatoria continua X es la que asigna a cada intervalo de la variable x₀, x₀ + Δx la probabilidad de que X tome valores dentro de ese intervalo. La probabilidad no es el valor de la función en x, sino del área comprendida bajo la curva de la función en dicho intervalo).

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal es:

Por su forma, a la gráfica de esta función de la distribución normal se le llama campana de Gauss.

Características y propiedades

Sus características y propiedades son:

• Tiene dos asíntotas en +∞ y -∞ en el eje de las abscisas.
• Es simétrica. En su eje de simetría coinciden la media, la mediana y la moda.
• El área entre la gráfica de la campana y el eje de las abscisas es la unidad. Representa la probabilidad (100 %) segura de se presenten todos los sucesos. En consecuencia, hay un 50 % de probabilidad de que un dato sea igual o mayor que la media y, en lógica, otro 50 % de que sea inferior a ella.
• En una distancia de μ ± σ están los valores correspondientes a las abscisas de los dos puntos de inflexión de la campana de gauss.
  
• En este intervalo μ ± σ, bajo la curva hay un área de 0,6826. Representa el 68,26 % de posibilidades de encontrar un valor determinado en ese intervalo.
• En μ ± 2σ, se abarca un área de 0,9544, es decir, la probabilidad del 95,44 % de que allí esté un valor determinado.
• En μ ± 3σ, se cubre un área de 0,9974, es decir, la probabilidad del 99,74 % de que allí esté un valor determinado.
  
• En el intervalo μ ± 1,96σ, el área es de 0,95, es decir, la probabilidad del 95 % de que allí esté un valor determinado.
• La campana será más aplanada cuanto mayor sea la variabilidad de los datos, o lo que es lo mismo, cuanto mayor sea la desviación estándar. Y, al contrario, será más apuntada cuanto los datos estén más agrupados en torno a la μ (sea menor σ).
• El valor de la media hace que la campana se desplace a izquierda y derecha a lo largo del eje de las abscisas.
• No existe una única distribución normal, pues cada una está determinada por una media μ y una desviación estándar σ. Pero la ‘forma’ es común a todas ellas, simétricas y con un valor de exceso de curtosis igual a cero.

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa F(x) o simplemente función de distribución es una función derivada que proporciona la probabilidad de que un valor x de la variable aleatoria X sea igual o menor que un valor determinado k.

(La notación X se refiere a una variable aleatoria continua, mientras que x se refiere a cualquier valor real).

F(x) representa el área comprendida bajo la gráfica para diferentes valores de la campana de Gauss. En cualquier función de distribución, sus valores extremos, en el límite son 0 y 1:

Esta gráfica sería la de un histograma a partir de un polígono de frecuencias acumuladas, en el que los rectángulos tuviesen un ancho infinitesimal.

Si se busca la probabilidad en un intervalo (k, l):

La diferencia de los valores de la función de distribución entre los extremos del intervalo será la probabilidad buscada, como se ve en la imagen:

Distribución normal estándar

La distribución normal estándar o distribución normal tipificada es una distribución normal singular cuya denominación es N(0, 1). Su variable, Z es el producto de una transformación o cambio de variable de la variable X. Esta transformación se llama tipificación:

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar o tipificada es:

Con la tipificación, respecto a las gráficas, se produce un desplazamiento horizontal hacia el centro de coordenadas (0, 0) y un desplazamiento en la forma vertical (hacia arriba o hacia abajo):

Es decir, de la distribución normal con variable X:

Después de la tipificación se llega a la distribución normal estándar:

Al tipificar una variable X y llegar a una distribución normal estandarizada, se consigue la comparación entre distribuciones diferentes, al tiempo que se facilita el cálculo de la probabilidad mediante el uso de una tabla normal estándar.

La tabla que se ofrece a continuación proporciona directamente la probabilidad acumulada de que un suceso sea igual o menor que un valor positivo de Z:

En los ejercicios se practicará con el manejo de la tabla.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

El tiempo medio de duración de una batería de la flota de vehículos de una gran empresa es de cuatro años, con una desviación típica de medio año. ¿Qué probabilidad hay de que la batería de un vehículo escogido al azar haya durado igual o menos de cuatro años y medio?

Solución:

Este caso no requiere recurrir a estandarizar y uso de tablas, ya que se sabe que en una distribución normal, la probabilidad de encontrar un suceso comprendido entre la media y la desviación típica es la mitad del 68,26 %, o sea del 34,14 %. Por lo tanto, la probabilidad buscada será:

Gráficamente:

Habrá un 84,14 % de probabilidades de elegir al azar una batería que haya durado igual o menos de cuatro años y medio.

Ejercicio 2

Un modelo de lámparas led destinado a la iluminación general de la vía pública de una gran ciudad tiene una vida útil media de 1750 horas y la desviación típica es de 800 horas.

a) Hallar la probabilidad de que una bombilla cualquiera haya durado 2110 horas o menos.

b) Qué probabilidad habrá de encontrar al azar un bombilla cuya duración haya sido superior a 1550 horas.

c) En una partida de 2000 de estas bombillas, ¿Cuántas habrán durado entre 1310 y 2775 horas?

Solución:

a) Estandarizaremos el valor de 2110 para esta distribución:

Buscamos este valor en la tabla. Vamos a la columna “0,05” de las centésimas. El valor de la probabilidad será:

La intersección de fila y columna nos llevará a la casilla que corresponde a la probabilidad buscada. Su valor es 0,6736. Es decir, hay una probabilidad del 67,36 % de encontrar una bombilla que dure al menos 2110 horas.

b) Estandarizaremos el valor de 1550 para esta distribución:

En la tabla no hay valores negativos, no está -0,25. Pero la gráfica es simétrica respecto a la media, respecto al 0. Entonces, operaremos así:

Igualdad que se comprueba en la imagen:

Ya se puede buscar en la tabla el valor de la probabilidad acumulada correspondiente a 0,25 en la fila de las decenas 0,20 y la columna de las centenas 0,05:

Que nos lleva a la casilla de la probabilidad buscada. Su valor es 0,5987. La probabilidad de encontrar al azar un bombilla cuya duración haya sido superior a 1550 horas es del 59,87 %.

c) Se estandarizan los valores del intervalo: 1310 y 2775 horas:

Como en esta tabla no hay valores de z negativos, para buscar la probabilidad acumulada a -0,55 se operará de forma similar al caso b). La gráfica es simétrica respecto a la media.

Esta es la simetría.

El área total comprendida bajo la campana es 1. Para ver la probabilidad correspondiente a un valor de z mayor que 0,55, se recurre a la tabla para ver la correspondiente a la acumulada hasta 0,55, dando por diferencia un resultado de 0,2912:

El valor acumulado para 0,55 se ha obtenido de la tabla. Esa probabilidad acumulada es de 0,7088:

Se aprecia en la imagen:

La probabilidad correspondiente al valor negativo 0,55 es de 0,2912.

Ahora se calcula la probabilidad hasta el valor del intervalo superior del problema, las 2775 horas, que estandarizado nos había dado una puntuación de z = 1,28. Lo buscaremos en la tabla:

La tabla da una probabilidad para ese valor de 0,8997.

La diferencia nos dará el valor de la probabilidad buscado para ese intervalo:

La probabilidad de que una bombilla haya tenido una vida útil entre 1310 y 2775 horas es de 0,6085, o, lo que es lo mismo, del 60,85 %.

El área sombreada bajo la curva normal tipificada se corresponde con esa probabilidad:

Con esta probabilidad podremos calcular cuántas bombillas de esa partida de 2000 habrán durado entre 1310 y 2775 horas es de 2000 · 0,6085 = 1217 bombillas.