Intervalo de confianza

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Un intervalo de confianza es un rango de valores entre los cuales se estima que estará el valor poblacional verdadero de un parámetro que pretendemos estudiar.

Tengamos X=(X1,…,Xn) una muestra aleatoria, sea θ el parámetro desconocido. Elegimos “a priori” un nivel de confianza 1-α, que se suele expresar en tanto por ciento. El error aleatorio α (complementario del anterior) se refiere a que si tomásemos 100 intervalos de confianza mediante el mismo procedimiento, en 100(1-α) veces en valor verdadero estaría dentro de los intervalos, mientras que en 100(α) intervalos no contendrían el valor verdadero del parámetro poblacional que investigamos. Entonces S(X)=(θ(1) (X),θ(n)(X)) es un intervalo de confianza con nivel de confianza 100(1-α)% si:

Fórmula de la condición de intervalo de confianza

En otras palabras, en el 1-α % (nivel de confianza) de veces que hiciesemos muestreos diferentes, sus intervalos de confianza, contendrían el verdadero valor.

Por lo general se trabaja en niveles de confianza del 95% o incluso del 99%.

El nivel de confianza 1-α %, representa la probabilidad de que dentro del intervalo de confianza calculado o a calcular, esté el valor verdadero de un parámetro.

Aquí, el concepto de probabilidad se sustituye por el de confianza.

La inferencia puntual depende directamente de la muestra escogida. Podría variar en el caso de que escogiésemos otra muestra, dando la sensación de que la estimación no es correcta.

Es preferible perder precisión en la estimación pero ganar en confianza de predicción del estimador. Es preferible dar un intervalo de valores en el que tengamos confianza de que el valor del parámetro está dentro.

El intervalo de confianza permite medir con qué precisión se ha llegado al resultado de una investigación: si la diferencia estadística encontrada es significativa y es relevante.

Método del pivote

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El método del pivote para estimar intervalos de confianza es uno de los principales. Consiste en identificar una función pivote p(T,θ) la distribución de la cual es independiente de la variable aleatoria y conocida. El pivote es función de θ y de una estimación puntual del parámetro. La función debe de ser monótona y contínua.

Después elegimos un nivel de confianza 1-α y buscamos el intervalo de confianza [a,b] tal que a y b cumplen que:

Fórmula de la definición del pivote

Tendremos que manipular y resolver esta desigualdad para encontrar los límites del intervalo de confianza a y b.

Podemos ver los intervalos de confianza calculados mediante el método de los momentos en varios ejemplos de intervalo de confianza.

Ejercicios

Distribución normal con varianza conocida – Intervalo para la media μ

Tenemos una muestra aleatoria X=(X1,…,Xn) de una distribución normal N(μ,σ2) con la varianza σ2 conocida y queremos estimar el valor de la media μ. Este caso es poco usual y no suele presentarse.

La media muestral es un estimador razonable. Tipificando su distribución obtenemos el pivote:

Fórmula del pivote para μ siendo la varianza conocida

Entonces el intervalo de confianza 1-α es:

Fórmula del pivote para la media μ siendo la varianza conocida

Pongamos datos al ejercicio. Se ha partido de una muestra de 100 sujetos, que en la característica estudiada ha dado una media muestral de 42,2 kg con una desviación estándar de 5,45 kg;. Elegimos un nivel de confianza del 95 %. Sabemos que los extremos en una distribución normal estandarizada (que es simétrica centrada en la media, que es 0) para esa probabilidad del 95 % son las puntuaciones estándar -1,96 y 1,96, que se obtienen de una tabla normal tipificada.

Podemos calcular los extremos del intervalo de confianza buscado:

Extremos en el ejercicio 1

O, lo que es lo mismo:

Extremos 2 en el ejercicio 1

Al realizar repetidas mediciones, tenemos la confianza del 95 % de que la media buscada en la población correspondiente se encuentre en un intervalo entre 41,132 kg y 43,268 kg.

Distribución normal con media y varianza desconocida – Intervalo para la media μ

Tenemos una muestra aleatoria X=(X1,…,Xn) de una normal N(μ,σ2) con la media μ y la varianza σ2 desconocida. Vamos a buscar el intervalo de confianza de la media μ.

Aplicando fórmulas estadística obtenemos el pivote:

Fórmula del pivote para la media μ siendo la media y la varianza desconocidas

Por simetria de la t-student y aislando μ obtenemos el intervalo de confianza:

Fórmula del intervalos de confianza para la media μ siendo la media y la varianza desconocidas

Distribución normal con media y varianza desconocida – Intervalo para la varianza σ2

Supongamos una distribución normal N(μ,σ2) y una muestra aleatoria de la variable X=(X1,…,Xn) con la media μ y la varianza σ2 desconocida. Vamos a buscar el intervalo de confianza de la varianza σ2.

El pivote es:

Fórmula del pivote para la varianza siendo la media y la varianza desconocidas

Aplicando normas de la χ2 y aislando obtenemos:

Fórmula del intervalo de confianza para la varianza siendo la media y la varianza desconocidas

Distribución uniforme (Un(0,θ)) – Intervalo para θ

Sea X=(X1,…,Xn) una muestra aleatoria de una uniforme (Un(0,θ)). Obtengamos un intervalo de confianza para θ.

X(n) es el máximo de los elementos de la muestra. Sabiendo que X(n) es el estimador de máxima verosimilitud tenemos el pivote:

Fórmula del pivote para θ en una uniforme (Un(0,θ))

Operando obtenemos el intervalo de confianza:

Fórmula del intervalo de confianza para θ en una uniforme (Un(0,θ))

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2014


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