Distribución normal estándar

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La distribución normal estándar o distribución normal tipificada es una distribución normal singular cuya denominación es N(0, 1). Su variable, Z es el producto de una transformación o cambio de variable de la variable aleatoria continua X que sigue una distribución normal del tipo N(μ, σ). Esta transformación se llama tipificación (también estandarización o normalización):

Tipificación en la distribución normal estándar

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar o tipificada es:

Función de densidad de probabilidad en la distribución normal estándar

Con la tipificación, respecto a las gráficas de la normal a la normal estándar, se produce un desplazamiento horizontal hacia el centro de coordenadas (0, 0) y un desplazamiento en la forma vertical (hacia arriba o hacia abajo):

Desplazamiento horizontal en la distribución normal estándar

Es decir, de la distribución normal con variable X:

Variable X en la distribución normal estándar

Después de la tipificación se llega a la distribución normal estándar:

Tipificación 2 en la distribución normal estándar

Al tipificar una variable X y llegar a una distribución normal estandarizada, se consigue la comparación entre distribuciones diferentes, al tiempo que se facilita el cálculo de la probabilidad mediante el uso de una tabla normal estándar.

La tabla que se ofrece a continuación proporciona directamente la probabilidad acumulada de que un suceso sea igual o menor que un valor positivo de Z:

Tabla de la distribución normal estándar

En el siguiente ejercicio se practicará con el manejo de la tabla.

Ejercicio

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Un modelo de lámparas led destinado a la iluminación general de la vía pública de una gran ciudad tiene una vida útil media de 1750 horas y la desviación típica es de 800 horas.

a) Hallar la probabilidad de que una bombilla cualquiera haya durado 2110 horas o menos.

b) Qué probabilidad habrá de encontrar al azar un bombilla cuya duración haya sido superior a 1550 horas.

c) En una partida de 2000 de estas bombillas, ¿Cuántas habrán durado entre 1310 y 2775 horas?

Solución:

a) Estandarizaremos el valor de 2110 para esta distribución:

Estandarización del 2110 en el ejercicio 2

Buscamos este valor en la tabla. Vamos a la columna “0,05” de las centésimas. El valor de la probabilidad será:

Tabla del 0,05 del ejercicio 2

La intersección de fila y columna nos llevará a la casilla que corresponde a la probabilidad buscada. Su valor es 0,6736. Es decir, hay una probabilidad del 67,36 % de encontrar una bombilla que dure al menos 2110 horas.

Resultado 0,6736 del ejercicio 2

b) Estandarizaremos el valor de 1550 para esta distribución:

Estandarización del 1550 en el ejercicio 2

En la tabla no hay valores negativos, no está -0,25. Pero la gráfica es simétrica respecto a la media, respecto al 0. Entonces, operaremos así:

Estandarización del 1550 paso 2 en el ejercicio 2

Igualdad que se comprueba en la imagen:

Estandarizar 1550 en el ejercicio 2

Ya se puede buscar en la tabla el valor de la probabilidad acumulada correspondiente a 0,25 en la fila de las decenas 0,20 y la columna de las centenas 0,05:

Tabla de la probabilidad acumulada correspondiente a 0,25 del ejercicio 2

Que nos lleva a la casilla de la probabilidad buscada. Su valor es 0,5987. La probabilidad de encontrar al azar un bombilla cuya duración haya sido superior a 1550 horas es del 59,87 %.

c) Se estandarizan los valores del intervalo: 1310 y 2775 horas:

Estandarización del 1310 en el ejercicio 2

Como en esta tabla no hay valores de z negativos, para buscar la probabilidad acumulada a -0,55 se operará de forma similar al caso b). La gráfica es simétrica respecto a la media.

Estandarización del 1310 paso 2 en el ejercicio 2

Esta es la simetría.

Caso c en el ejercicio 2

El área total comprendida bajo la campana es 1. Para ver la probabilidad correspondiente a un valor de z mayor que 0,55, se recurre a la tabla para ver la correspondiente a la acumulada hasta 0,55, dando por diferencia un resultado de 0,2912:

Acumulada de 0,55 en el ejercicio 2

El valor acumulado para 0,55 se ha obtenido de la tabla. Esa probabilidad acumulada es de 0,7088:

Tabla de la probabilidad acumulada correspondiente a 0,55 del ejercicio 2

Se aprecia en la imagen:

Resultado 0,7088 en el ejercicio 2

La probabilidad correspondiente al valor negativo 0,55 es de 0,2912.

Ahora se calcula la probabilidad hasta el valor del intervalo superior del problema, las 2775 horas, que estandarizado nos había dado una puntuación de z = 1,28. Lo buscaremos en la tabla:

Tabla de z igual 1,28 del ejercicio 2

La tabla da una probabilidad para ese valor de 0,8997.

La diferencia nos dará el valor de la probabilidad buscado para ese intervalo:

Probabilidad del apartado c en el ejercicio 2

La probabilidad de que una bombilla haya tenido una vida útil entre 1310 y 2775 horas es de 0,7075, o, lo que es lo mismo, del 70,75 %.

El área sombreada bajo la curva normal tipificada se corresponde con esa probabilidad:

Resultado del c en el ejercicio 2

Con esta probabilidad podremos calcular cuántas bombillas de esa partida de 2000 habrán durado entre 1310 y 2775 horas:

Solución del apartado c en el ejercicio 2

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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