Área de un hexágono

Un hexágono es un polígono de seis lados. El cálculo del área de un hexágono es diferente dependiendo de si el hexágono es regular o irregular.

Área de un hexágono regular

El área de un hexágono regular se calcula como la mitad del producto del perímetro y la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.

Al ser su perímetro seis veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Como la apotema del hexágono regular se calcula con esta fórmula (a partir de la apotema de un polígono regular):

Donde α es el ángulo interior del hexágono. Así, la fórmula del área del hexágono regular se puede expresar así:

En la que, agrupando las constantes, con aproximación a dos decimales, se queda así:

Área de un hexágono irregular

El área de un hexágono irregular requiere ser claculada por métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el hexágono en seis triángulos y calcular el área sumando las seis áreas de los triángulos.

El área del hexágono irregular se puede calcular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss.

Triangulación del hexágono irregular

Sea P un hexágono irregular. Se desea calcular su área (A).

El método de triangulación consiste en dividir el hexágono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en seis triángulos y el área del hexágono será la suma del área de esos seis triángulos.

1. Se divide el hexágono en seis triángulos (T₁, T₂, T₃, T₄, T₅ y T₆) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del hexágono y que todos confluyen en un mismo punto interior del hexágono.



2. Se miden las alturas (h₁, h₂,…, h₆) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del hexágono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.



3. Se calculan las áreas de los seis triángulos. El área del primer triángulo es:
   

   Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros cinco triángulos.

4. Sumamos las seis áreas y obtenemos el área del hexágono irregular:
   

Determinante de Gauss

Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.

Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.

Sean los vértices del hexágono: (x₁,y₁), (x₂,y₂),…, (x₆,y₆). La fórmula es la siguiente:

Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del hexágono irregular.

Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavos como en los convexos.

Ejercicio del área de un hexágono regular

Sea un hexágono regular con los seis lados (N=6) de la misma longitud L=3,1 cm.

La apotema (distancia del centro del hexágono al punto medio de un lado) se puede calcular mediante el ángulo central (resolución del polígono regular trigonométricamente).

Sea el ángulo central:

Mediante las razones trigonométricas y el ángulo central se calcula la apotema:

Y la apotema es ap=2,68 cm.

Se aplica la fórmula del área del hexágono regular:

Y se obtiene que el área es 24,92 cm².