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Pentágono

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Dibujo de un pentágono

Un pentágono es un polígono de cinco lados (L1, L2, L3, L4 y L5). Los lados confluyen dos a dos en cinco puntos, llamados vértices.

Elementos del pentágono

En un pentágono se pueden diferenciar los siguientes elementos:

Dibujo de los elementos del pentágono

  • Vértices (V): puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 5 vértices.
  • Lados (L): segmentos que unen dos vértices consecutivos del pentágono y que delimitan su perímetro. Tiene 5 lados.
  • Diagonal (D): segmento que une dos vértices no consecutivos. En un pentágono convexo hay 5 diagonales (¿por qué hay cinco diagonales?).
  • Ángulos interiores (α): ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen. Hay 5 ángulos interiores. Los ángulos interiores del pentágono suman 540º (¿por qué suman 540º?).
  • Ángulos exteriores (β): ángulo formado por un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 5 ángulos exteriores.

Tipos de pentágono

Según las características de los lados y ángulos del pentágono, se clasifica en dos tipos:

  • Pentágono regular: figura geométrica con cinco lados y ángulos iguales (todos sus ángulos interiores son de 108º, resultado de dividir 540º entre 5 ángulos).
  • Pentágono irregular: figura geométrica cuyos cinco lados y ángulos no son iguales entre sí.


Dibujo de la diferencia entre pentágono regular e irregular

Área del pentágono

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El cálculo del área de un pentágono es diferente dependiendo de si el pentágono es regular o irregular.

Área del pentágono regular

Dibujo del área del pentágono regular

El área del pentágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.

Al ser su perímetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:


Fórmula del área del pentágono regular

Como la apotema del pentágono regular se calcula con esta fórmula (a partir de la apotema de un polígono regular):


Cálculo de la apotema para el cálculo del área del pentágono regular

Donde α es el ángulo interior del pentágono regular. Así, la fórmula del área del pentágono regular también se puede expresar:


Segunda fórmula del área del pentágono regular

Área del pentágono irregular

El cálculo del área de un pentágono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el pentágono en cinco triángulos y calcular el área sumando las cinco áreas de los triángulos.

Dibujo del área del pentágono irregular


Fórmula del área del pentágono irregular

Podemos calcular el área del pentágono irregular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss.

Triangulación del pentágono irregular

Pentágono irregular

Sea P un pentágono irregular. Se desea calcular su área (A).

El método de triangulación consiste en dividir el pentágono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en cinco triángulos y el área del pentágono será la suma del área de esos cinco triángulos.

    Pentágono irregular dividido en cinco triángulos.

  1. Se divide el pentágono en cinco triángulos (T1, T2, T3, T4 y T5) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del pentágono y que todos confluyen en un mismo punto interior del pentágono.
  2. Pentágono irregular dividido en cinco triángulos y con la altura de ellos.

  3. Se miden las alturas (h1, h2,…, h5) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del pentágono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.
  4. Primer triángulo del pentágono irregular dividido en cinco triángulos.

  5. Se calculan las áreas de los cinco triángulos. El área del primer triángulo es:


    Fórmula del área del primer triángulo del pentágono irregular.

    Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros cuatro triángulos.

  6. Sumamos las cinco áreas y obtenemos el área del pentágono irregular:


    Fórmula del área del pentágono irregular

Determinante de Gauss

Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.

Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.

Dibujo de la elección y enumeración de los puntos del pentágono irregular para el determinante de Gauss.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.

Sean los vértices del pentágono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x5,y5). La fórmula es la siguiente:


Fórmula del área del pentágono irregular mediante el Determinante de Gauss

Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del pentágono irregular.

Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavos como en los convexos.

Perímetro del pentágono

La fórmula del perímetro del pentágono es diferente dependiendo si el pentágono es regular o irregular.

Perímetro del pentágono regular

El pentágono regular tiene sus cinco lados iguales, por lo que su perímetro es cinco veces uno de sus lados:

Dibujo del perímetro del pentágono regular


Fórmula del perímetro del pentágono regular

Perímetro del pentágono irregular

El pentágono irregular no tiene una fórmula que generalice su perímetro, ya que todos sus lados pueden ser diferentes.

Su perímetro es la suma de la longitud de sus cinco lados.

Dibujo del perímetro del pentágono irregular


Fórmula del perímetro del pentágono irregular

9 Respuestas

  1. Alfredo perenganito dice:

    Graxias me ayudó a estudiar

  2. Rociii dice:

    Hola , quisiera saber cuanto es 5XL osea , cuanto es

  3. mateo dice:

    no entiendo pero me sirvio

  4. alexander dice:

    si cirbe pero no es lo que busco pero esta excelente la imformacion

  5. Universo Formulas dice:

    ¡Muchas gracias Juan Martín! Nos alegramos que le haya sido útil.

  6. juan martin dice:

    buen material
    FELICIDADES

  7. juan martin dice:

    excelente material, lenguaje muy claro entendible y preciso
    felicidades

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