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Apotema

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La apotema (ap) es la distancia más corta entre el centro del polígono y uno de sus lados.

También existe la apotema de la pirámide y la apotema del tronco de pirámide. Solo existe en las pirámides regulares y en los troncos de pirámide regulares y es la altura de sus caras laterales.

Apotema de un polígono regular

La apotema (ap) de un polígono regular es la distancia de cualquier de sus lados al centro (C) del polígono. Puede calcularse sabiendo el número de lados (N) del polígono y lo que mide cada lado (L).

Dibujo de la apotema de un polígono regular.

Sea el ángulo central α el ángulo que forman las dos líneas que unen el centro del polígono (O) y dos vértices consecutivos. Éste se calcula como:


Fórmula del ángulo central de un polígono regular

Mediante la tangente de la mitad del ángulo central y un lado (L), se calcula la apotema (ap) del polígono regular.


Fórmula de la apotema de un polígono regular

Apotema de la pirámide

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Dibujo de la apotema de la pirámide pentagonal

La apotema de la pirámide es la distancia del ápice a un lado de la base. Solo existe en las pirámides regulares.

En las pirámides regulares, la altura (h), la apotema de la base (apb) y la apotema de la pirámide (ap) forman un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras, conociendo la altura (h) y el apotema de la base (apb) podemos calcular la apotema:


Fórmula de la apotema de la pirámide

Apotema del tronco de pirámide

Dibujo de la apotema del tronco de pirámide

La apotema de un tronco de pirámide es la altura de los trapecios de las caras laterales. Solo existe en los troncos de pirámide regulares.

Dibujo de la apotema del tronco de pirámide mediante el teorema de Pitágoras

En este caso, la apotema (ap) la altura (h), y el segmento diferencia entre la apotema de la base mayor y la apotema de la base menor (apBM – apBm) forman un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras podemos calcular la apotema:

Como conocemos los dos catetos, hallaremos la apotema, que es la hipotenusa:


Fórmula de la apotema del tronco de pirámide

Dibujo de la apotema del tronco de pirámide mediante el segundo procedimiento

En el caso de conocer las aristas de las bases y la arista lateral, también se calcula la apotema del tronco de pirámide regular mediante el teorema de Pitágoras.

Dibujo de la sección de la apotema del tronco de pirámide mediante el segundo procedimiento

Cualquier cara lateral de un tronco de pirámide regular es un trapecio isósceles:

Solamente quedará aplicar el teorema de Pitágoras:


Fórmula de la apotema del tronco de pirámide por el segundo procedimiento

34 Respuestas

  1. gabriela dice:

    como puedo sacar el apb?????

  2. eduardo dice:

    consulta, la arista seria el apotema de la piramide? o es que con la arista como dato tendria que sacar el apotema del triangulo, conociendo su altura.

    • Respuestas dice:

      El apotema de una pirámide regular es la altura de cualquier cara lateral. Estas caras laterales son triángulos isósceles. Por el teorema de Pitágoras, puedes hallarla, como te indica Universo Formulas, siendo el apotema de la pirámide la hipotenusa y los catetos, la altura de la pirámide y el apotema de la base.
      También puedes aplicar el teorema de Pitágoras, con una arista lateral de la pirámide como hipotenusa, un cateto, la mitad de una arista de la base y la apotema de la pirámide, el cateto que te falta.

  3. sharon dice:

    ¿como puedo sacar el apotema de un dodecaedro?

    • Respuestas dice:

      Si miras en apotema de un polígono regular en Universo Fórmulas, verás la fórmula general de la apotema de un polígono regular. Y el dodecaedro lo es.

    • Respuestas dice:

      Un dodecaedro es un poliedro. Solamente tienen apotema los polígonos regulares y las caras laterales de las pirámides regulares.

  4. Axel dice:

    Cómo puedo sacar el pentagono regular el cual tiene de lado 22cm

    • Respuestas dice:

      En la página de Universo Fórmulas “Pentágono regular” figura la fórmula general de un polígono regular aplicada a un pentágono regular:
      Área = 5·L·ap/2
      Tienes el lado y te falta la apotema. Pero en la misma página tienes que la apotema de un pentágono regular es:
      ap = L/1,45.
      Con lo que puedes fácilmente calcular el área a partir del dato del lado 22 cm.
      En definitiva, área = 22·2·1,724 = 834,42 cm2

  5. Carlos Manuel Zárate Guzmán dice:

    es un magnifico documento informativo, que proporciona un valioso apoyo al maestro y al alumno en el estudio de las matemáticas en especial la geometría y la trigonométrica, gracias y felicidades

  6. Natalia dice:

    Ayuda por favor!!
    Como sera el area y el volumen de una piramide hexagonal regular de 4cm de altura y 6cm de lado de la base???

    • Respuestas dice:

      En Universo Formulas,en “volumen de la pirámide” tienes la formula general. Tienes la altura. Halla el área de la base que es un hexágono regular. Está en la web.
      Para el área total de la pirámide tienes el área de la base. Te falta el área lateral. Halla el apotema de la pirámide. Lo tienes también en la web.
      Área de la base = 93,6
      Volumen de la pirámide 124,71.
      Apotema de la pirámide = 6,55.
      Área total de la pirámide = 211,43

  7. Martha Dinarte dice:

    ayudeme por fa sea una piramide recta cuadrada si el el area de su base es de 9 y cada cara lateral posee una area lateral posee una area 7.5 entonces cual es la mededa del apotema de la piramide

    • Respuestas dice:

      Como el área de un cuadrado (la base) es 9 = a2, a valdrá la raíz de 9cm2, que es 3 cm.
      Como has dicho que la pirámide es recta, sus caras laterales serán cuatro triángulos isósceles iguales de base 3 cm.
      El área de un triángulo cualquiera es base por altura partido por 2. Tienes el área y tienes la base. Te falta la altura, que es justamente la apotema de una pirámide “míralo en Universo Fórmulas”.
      A = (base x h)/2. >> 7,5 = (3 x h) / 2. Despejas h, que vale 5 cm.

  8. Calix dice:

    Me pueden ayudar?
    Determinar el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular que tiene 8 aristas que miden 8cm cada una

    • Respuestas dice:

      requiere aplicar conocimientos básicos de geometría, un poco de intuición espacial y…Pitágoras.
      Como el volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura, sabes el área de la base, que es un cuadrado. Tu objetivo es averiguar la altura h.
      Dos maneras. O bién con un triángulo rectángulo donde la hipotenusa sea una arista lateral, el cateto conocido sea la mitad de la diagonal de la base (mira “diagonales del cuadrado” en la web) y el otro cateto, h. Pitágoras i tienes h.
      La segunda manera es también un triángulo rectángulo. Primero, hallas la apotema de la pirámide (la altura de una de sus caras laterales) que será un cateto, aplicando Pitágoras, donde la hipotenusa sea una arista lateral y el cateto conocido la mitad de la arista de la base. Cuando tienes la apotema, otro triángulo rectángulo, donde la hipotenusa es la apotema que acabas de hallar y el cateto conocido, la mitad de la base.
      En ambos casos, verás com h = 5,66 y el volumen 30,19.

  9. madelin dice:

    el lado de una piramide hexagonal regular es de 12 cm. la altura de la base. si la apotema de la piramide mide 7 cm mas que la altura. determine area lateral, area total y volumen.

    ayudenme ahi por favor…..

  10. madelin dice:

    hola como estan tengo una muchas dudas de este problema

    el lado de una piramide hexagonal regular de 12cm. la altura de la base. si la apotema de la piramide mide 7cm mas que la altura. determine area lateral, area total y volumen.

    ayedemen por favor.

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Mira Madelín, si consultas en la web tanto la pirámide hexagonal regular (areas y volumen), previamente miras el área de la base, que es un hexágono regular de lado 12, tienes medio problema hecho.
      Solo tienes que pensar que entre la apotema de la base (apotema del hexágono), la apotema de la pirámide y la altura de la pirámide, tienes un triángulo rectángulo.
      Para saber la apotema de la base, tienes una solución trigonométrica en la web, aunque puedes recurrir también a Pitágoras. Sabes que la apotema y medio lado de 12/2 son los catetos. La hipotenusa 12 (se forma un triángulo equilátero interior en el hexágono).
      Con todo esto, la apotema de la base es 10,39, la de la pirámide 11,21, el área lateral 403,71, el área total, 777,84 y el volumen 1701,37.
      Venga, anímate a hacerlo.

  11. Lizbeth dice:

    Hola disculpen como le hago para sacar el apotema de un hexágono que mide 1 cm de base y sus 2 lados restantes 2 cm. c/u.

    Ayudenme pliss es tarea de mate

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Lizbeth, puedo ayudarte, pero detalla un poco más. Un hexágono es un polígono de SEIS lados. Si hablamos de apotema de un hexágono, necesariamente se trata de un hexágono regular, es decir, con los seis lados iguales. Es muy sencillo hallar la apotema, ya que tienes el procedimiento trigonométrico o por el teorema de Pitágoras. Se forma un triángulo rectángulo con un cateto, que es la apotema, el otro, la mitad del lado, L/2 y la hipotenusa L, porque desde el centro del hexágono se forma con cada lado un triángulo equilátero. El resultado es que la apotema es la longitud del lado del hexágono por la raiz cuadrada de 3 y todo dividido por 2 / el teorema de Pitágoras.
      El procedimiento trigonométrico lo tienes en la web. El triángulo del que hemos hablado tiene uno de sus ángulos de 60 grados/2 = 30 grados. Verás en la web que la apotema es también la mitad del lado dividido por la tangente de 30 grados.
      Por eso no entendemos tu planteamiento con lo de la base y los dos lados restantes.

  12. Hola tengo una duda, el apotema no se deve calcular con el teorema de pitagoras? lo digo porque mientras escribo estoy en classe de geometria y el professor no ha dicho que se deve calcular con ese teorema.
    Grácias!

    • Respuestas dice:

      Depende de los datos. Aparte del teorema de Pitágoras, quizá debas hacerlo trigonométricamente, si los datos te obligan.

  13. MARIA LOPEZ LOZANO dice:

    Hola, como puedo encontrar el área de un pentágono, sabiendo únicamente el radio, y siendo este radio 4 cm?

  14. ligia quiñones dice:

    Buenas tardes necesito una ayuda en este problema Se va a pintar la superficie lateral de una pirámide. Cada m2 de superficie consume 50g de pintura y 10g cuestan 100 pesos. ¿Cuánta pintura se necesitará para pintar la superficie lateral, si el perímetro de su base es 32dm y la apotema lateral de 5dm? y ¿cuánto cuesta pintar la superficie total?

  15. andres dice:

    como hago para hallar el apotema de un hexágono de medida de dos de sus lados es 20 cm y los otros cuatro miden 10 cm. por favor expliquenme 😀

  16. rojas dice:

    que es un radio

  17. ana elena dice:

    POR FAVOR AYUDA !!!! ESTOY EN 2 GRADO DE SECUNDARIA Y TENGO UN EJERCIO DE MATEMATICA CON PIRAMIDES ESTE ES :
    1. CALCULA EL AREA LATERAL Y TOTAL DE UNA PIRAMIDE REGULAR , CUYA BASE ES UN CUADRADO DE 6M DE LADO, SI SU ALTURA DE LA PIRAMIDE MIDE 4M.

    AYUDA NECESITO UNA EXPLICACION DE TALLADA ESTE PROBLEMA LO EXPONDRÉ EN MI AULA

  18. carlos dice:

    si tengo la altura de una pirámide cuadrangular como calculo la apotema si la pirámide de base es un rectángulo de un lado cuatro centímetros y de otro
    10 centímetros

  19. Bárbara Piña dice:

    Una consulta, yo voy en octavo año, pero hace un tiempo que estudio en casa ya llegada las vacaciones, por lo tanto han habido algunas cosas que me quedan en mente…
    Una de ellas, si tengo el apotema de una pirámide regular (cuadrangular), y también, lógicamente, el apotema basal, y necesito saber la altura (h), por la razón de que quiero saber su altura, debo aplicar teorema de pitágoras?, y si es así, la formula sería la siguiente?:
    Sí….
    ap= √h²+apb²
    h²= (apb²+ap²)
    Por lo tanto… La formula sería h=√apb²+ap² ??

    Gracias, ésta es una muy buena página, por eso les cunsulto… Mis respetos
    (Responder a mi correo electrónico si es posible)

    • Universo Formulas dice:

      Hola Bárbara, muchas gracias por tuas amables palabras.
      Efectivamente, la altura (h) de la pirámide regular se puede obtener sabiendo la apotema de la pirámide (ap) y la apotema de la base (o apotema basal (apb). Lo que pasa es que creo que has tenido un pequeño error en tu razonamiento, ya que en la fórmula final, el cuadrado de la apotema basal apb² está restando.

      Mira el desarrollo:
      ap= √(h²+apb²)
      ap²= h²+apb²
      h²= ap²-apb²
      h= √(ap²-apb²)

      Un saludo.

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