Área del pentágono

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Un pentágono es un polígono de cinco lados.

El cálculo del área de un pentágono es diferente dependiendo de si el pentágono es regular o irregular.

Área del pentágono regular

El área del pentágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap). Al ser su perímetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Dibujo del área del pentágono regular


Fórmula del área del pentágono regular


Área del pentágono irregular

El cálculo del área de un pentágono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el pentágono en cinco triángulos y calcular el área sumando las cinco áreas de los triángulos.

Dibujo del área del pentágono irregular


Fórmula del área del pentágono irregular


Podemos calcular el área del pentágono irregular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss.

Triangulación del pentágono irregular

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Pentágono irregular

Sea P un pentágono irregular. Se desea calcular su área (A).

El método de triangulación consiste en dividir el pentágono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en cinco triángulos y el área del pentágono será la suma del área de esos cinco triángulos.

    Pentágono irregular dividido en cinco triángulos.

  1. Se divide el pentágono en cinco triángulos (T1, T2, T3, T4 y T5) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del pentágono y que todos confluyen en un mismo punto interior del pentágono.

  2. Pentágono irregular dividido en cinco triángulos y con la altura de ellos.

  3. Se miden las alturas (h1, h2,…, h5) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del pentágono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.

  4. Primer triángulo del pentágono irregular dividido en cinco triángulos.

  5. Se calculan las áreas de los cinco triángulos. El área del primer triángulo es:

    Fórmula del área del primer triángulo del pentágono irregular.

    Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros cuatro triángulos.

  6. Sumamos las cinco áreas y obtenemos el área del pentágono irregular:

    Fórmula del área del pentágono irregular

Determinante de Gauss

Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.

Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.

Dibujo de la elección y enumeración de los puntos del pentágono irregular para el determinante de Gauss.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.

Sean los vértices del pentágono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x5,y5). La fórmula es la siguiente:

Fórmula del área del pentágono irregular mediante el Determinante de Gauss

Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del pentágono irregular.

Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavos como en los convexos.

Ejemplo del área del pentágono regular

Dibujo de un ejemplo de pentágono regular

Sea un pentágono regular con los cinco lados (N=5) de la misma longitud L=3,6 cm.

La apotema (distancia del centro del pentágono al punto medio de un lado) se puede calcular mediante el ángulo central (resolución del polígono regular trigonométricamente).

Sea el ángulo central:


Cálculo del ángulo central de un pentágono regular para el cálculo de su área

Mediante las razones trigonométricas y el ángulo central se calcula la apotema:


Cálculo de la apotema de un pentágono regular para el cálculo de su área

Y la apotema es ap=2,48 cm.

Se aplica la fórmula del área del pentágono regular:


Cálculo del área de un pentágono regular mediante su fórmula

Y se obtiene que el área es 22,30 cm2.


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