Octógono

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Dibujo de un octógono

Un octógono es un polígono de ocho lados (L1, L2, L3, L4, L5, L6, L7 y L8). Los lados confluyen dos a dos en ocho puntos, llamados vértices.


Elementos del octógono

En un octógono se pueden diferenciar los siguientes elementos:

Dibujo de los elementos del octógono

  • Vértices (V): puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 8 vértices.
  • Lados (L): segmentos que unen dos vértices consecutivos del octógono y que delimitan su perímetro. Tiene 8 lados.
  • Diagonal (D): segmento que une dos vértices no consecutivos. En un octógono convexo hay 20 diagonales (¿por qué hay veinte diagonales?).
  • Ángulos interiores (α): ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen. Hay 8 ángulos interiores. Los ángulos interiores del octógono suman 1080º (¿por qué suman 1080º?).
  • Ángulos exteriores (β): ángulo formado por un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 8 ángulos exteriores.

Tipos de octógono

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Según las características de los lados y ángulos del octógono, éstos se clasifican en dos tipos:

  • Octógono regular: figura geométrica con ocho lados y ángulos iguales (todos sus ángulos interiores son de 135º, resultado de dividir 1080º entre 8 ángulos).
  • Octógono irregular: figura geométrica cuyos ocho lados y ángulos no son iguales entre sí.


Dibujo de la diferencia entre octógono regular e irregular

Área del octógono

El cálculo del área de un octógono es diferente dependiendo de si el octógono es regular o irregular.

Área del octógono regular

El área del octógono regular se calcula como la mitad del producto del perímetro y la apotema (ap). Al ser su perímetro ocho veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Dibujo del área del octógono regular


Fórmula del área del octógono regular


Área del octógono irregular

El área de un octógono irregular requiere para ser calculada de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el octógono en ocho triángulos y calcular el área mediante la suma de las ocho áreas de los triángulos.

Dibujo del área del octógono irregular


Fórmula del área del octógono irregular


Se puede calcular el área del octógono irregular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss.

Triangulación del octógono irregular

Octógono irregular

Sea P un octógono irregular. Se desea calcular su área (A).

El método de triangulación consiste en dividir el octógono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en ocho triángulos y el área del octógono será la suma del área de esos ocho triángulos.

    Octógono irregular dividido en ocho triángulos.

  1. Se divide el octógono en ocho triángulos (T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7 y T8) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del octógono y que todos confluyen en un mismo punto interior del octógono.

  2. Octógono irregular dividido en ocho triángulos y con la altura de ellos.

  3. Se miden las alturas (h1, h2,…, h8) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del octógono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.

  4. Primer triángulo del octógono irregular dividido en ocho triángulos.

  5. Se calculan las áreas de los ocho triángulos. El área del primer triángulo es:

    Fórmula del área del primer triángulo del pentágono irregular.

    Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros siete triángulos.

  6. Sumamos las ocho áreas y obtenemos el área del octógono irregular:

    Fórmula del área del octógono irregular

Determinante de Gauss

Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.

Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.

Dibujo de la elección y enumeración de los puntos del octógono irregular para el determinante de Gauss.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.

Sean los vértices del octógono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x8,y8). La fórmula es la siguiente:

Fórmula del área del octógono irregular mediante el Determinante de Gauss

Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del octógono irregular.

Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavos como en los convexos.

Perímetro del octógono

La fórmula del perímetro del octógono es diferente dependiendo si el octógono es regular o irregular.

Perímetro del octógono regular

El octógono regular tiene sus ocho lados de la misma longitud. Su perímetro es el producto del número de lados (ocho) y la longitud de uno de ellos:

Dibujo del perímetro del octógono regular


Fórmula del perímetro del octógono regular


Perímetro del octógono irregular

El octógono irregular es un polígono cuyos ocho lados no son iguales entre sí.

Por tanto, su perímetro será la suma de la longitud de sus ocho lados.

Dibujo del perímetro del octógono irregular


Fórmula del perímetro del octógono irregular


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1 comentario

  1. ERIN dice:

    cual es el primetro de el octogono regular

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