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Triángulo

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Dibujo de un triángulo con sus tres lados y sus tres vértices

Un triángulo es un polígono de tres lados (a, b y c). Los lados confluyen dos a dos en tres puntos, llamados vértices (A, B y C).

Los tres ángulos interiores del triángulo suman 180º (π radianes).

Elementos de un triángulo

En un triángulo se pueden diferenciar los siguientes elementos:

Dibujo de los elementos de un triángulo

  • Vértices: puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 3 vértices (A, B y C).
  • Lados: segmentos que unen dos vértices consecutivos del triángulo y que delimitan su perímetro. Tiene 3 lados (a, b y c).
  • Ángulos interiores: ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen. Hay 3 ángulos interiores (α, β y γ). Los ángulos interiores del triángulo suman 180º (¿por qué suman 180º?):


    Fórmula de la suma de los ángulos del triángulo

  • Ángulos exteriores: ángulo de un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 3 ángulos exteriores (θ). Los ángulos exteriores siempre suman 360º.
  • Altura de un triángulo: La altura de un triángulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto. Un triángulo tiene tres alturas, según el vértice de referencia que se escoja. Las tres alturas confluyen en un punto llamado ortocentro.

Tipos de triángulos

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Los triángulos se pueden clasificar según sus lados o según sus ángulos.

Tipos de triángulos según sus lados

    Dibujo del triángulo equilátero con sus lados y ángulos interiores

  • Triángulo equilátero: tiene todos sus lados iguales. Por tanto, sus ángulos también son los tres iguales. Es decir:


    Fórmula de la relación de lados y ángulos del triángulo equilátero.

    Como todos los ángulos son iguales y suman 180º, todos son de 60º (α=β=γ=60º).

  • Dibujo del triángulo isósceles con sus lados y ángulos interiores

  • Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales. Por lo tanto, dos de sus ángulos también son iguales.


    Fórmula de la relación de lados y ángulos del triángulo isósceles.

    El ángulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c).

  • Dibujo del triángulo escaleno con sus lados y ángulos interiores

  • Triángulo escaleno: los tres lados son desiguales, por lo que los tres ángulos también son diferentes. Es decir:


    Fórmula de la relación de lados y ángulos del triángulo escaleno.

Tipos de triángulos según sus ángulos

  • Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es de 90º. Los otros dos son agudos (menores de 90º).
  • Triángulo oblicuángulo: no tiene ningún ángulo recto (90°). Són triángulos oblicuángulos los triángulos acutángulos y los triángulos obtusángulos.
    • Triángulo acutángulo: los tres ángulos son agudos (menores de 90º).
    • Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es mayor a 90º. Los otros dos son agudos (menores de 90º).


Dibujo de tipos de triángulo según sus ángulos

A continuación os mostramos una tabla de los triángulos según sus ángulos y lados.


Tabla de los tipos de triángulo según sus ángulos y lados

Desigualdad triangular

La desigualdad triangular (o desigualdad del triángulo) es un teorema que afirma que:

Dibujo del triángulo y sus lados

En todos los triángulos se cumple que la longitud de uno de los lados es menor que la suma de los otros dos:


Fórmula de la desigualdad triangular.

Área del triángulo

El área de un triángulo se calcula por diferentes procedimientos según el tipo de triángulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triángulo.

Dibujo del triángulo escaleno con un lado y la altura conocidos.

La fórmula general para calcular el área de un triángulo es:


Fórmula general del área de un triángulo.

Área de un triángulo equilátero

El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales. Su área, como en todo triángulo, será un medio de la base (a) por su altura. En el triángulo equilátero viene definida por la siguiente fórmula:

Dibujo del triángulo equilátero


Fórmula del área de un triángulo equilátero

Área de un triángulo isósceles

El área de un triángulo isósceles, como en todo triángulo, será un medio de la base (b) por su altura. En el triángulo isósceles se calcula mediante la siguiente fórmula:

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su área


Fórmula del área de un triángulo isósceles

Área de un triángulo escaleno

El área del triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón si se conocen todos sus lados (a, b y c).

Dibujo del triángulo escaleno con los lados conocidos.


Fórmula del área de un triángulo escaleno

También se podría calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado.

Dibujo del triángulo escaleno con un lado y la altura conocidos.


Fórmula del área de un triángulo escaleno conociendo un lado y la altura asocidada.

Perímetro del triángulo

En cualquier triángulo, su perímetro es la suma de sus tres lados.

La fórmula del perímetro de un triángulo es diferente según el tipo de triángulos. La fórmula general para calcular el perímetro de un triángulo es:

Dibujo del triángulo escaleno


Fórmula del perímetro de un triángulo escaleno

Veamos como se calcula el perímetro del triángulo equilátero, triángulo isósceles, triángulo escaleno y triángulo rectángulo.

Perímetro de un triángulo equilátero

Dibujo del perímetro de un triángulo equilátero

El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales, por lo que su perímetro será tres veces la longitud de uno de sus lados (a).


Fórmula del perímetro de un triángulo equilátero

Perímetro de un triángulo isósceles

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su perímetro

El perímetro de un triángulo isósceles se obtiene como suma de los tres lados del triángulo. Al tener dos lados iguales, el perímetro es dos veces el lado repetido (a) más el lado desigual (b).


Fórmula del perímetro de un triángulo isósceles

Perímetro de un triángulo escaleno

El triángulo escaleno tiene sus tres lados desiguales. Su perímetro es la suma de éstos tres.

Dibujo del triángulo escaleno


Fórmula del perímetro de un triángulo escaleno

Ángulos interiores del triángulo

En todo triángulo, la suma de sus tres ángulos interiores es siempre 180º (en grados sexagesimales) o, en radianes, π. Es decir:


Fórmula de la suma de los ángulos del triángulo


Dibujo de los ángulos de los triángulos

En efecto, si trazamos una recta OP paralela al lado AC, sobre el vértice B, se formará un ángulo llano de 180º, suma de los tres ángulos interiores del triángulo.

En el caso particular del triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es de 90º o, en radianes, π/2.


Fórmula de la suma de los ángulos del triángulo


Dibujo de los ángulos del triángulo rectángulo

Centros de un triángulo

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Los centros de un triángulo son:

Baricentro (o centroide) de un triángulo

Dibujo del baricentro de un triángulo como intersección de las tres medianas.

El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triángulo.

Las medianas (ma, mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus vértices con el centro del lado opuesto.

Se cumple la siguiente propiedad: la distancia entre el baricentro (centroide) y su vértice correspondiente es el doble de la distancia entre el baricentro y el lado opuesto. Es decir, la distancia del centroide a cada vértice es de 2/3 la longitud de cada mediana.

En física, el baricentro (G) sería el centro de gravedad del triángulo.

El centroide está siempre en el interior del triángulo.

Ortocentro de un triángulo

Dibujo del ortocentro de un triángulo como intersección de las tres alturas.

El ortocentro H es el punto intersección de las tres alturas de un triángulo.

Las alturas (ha, hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También pueden entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.

Dibujo del ortocentro exterior al triángulo y sus tres alturas.

El ortocentro podría estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.

En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triángulo obtusángulo.

Circuncentro de un triángulo

Dibujo del circuncentro de un triángulo como intersección de las tres mediatrices.

El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triángulo.

Las mediatrices de un triángulo (Ma, Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados, es decir, las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de éste.

Dibujo del circuncentro como centro de la circunferencia circunscrita de un triángulo.

El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo, ya que equidista de sus tres vértices.

El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperímetro del triángulo:


Fórmula del radio de la circunferencia circunscrita en el triángulo con centro en el circuncentro.

Dibujo del circuncentro exterior al triángulo y la circunferencia circunscrita.

El circuncentro puede estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. En los rectángulos el circuncentro se encontrará en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90º). En los acutángulos, será un punto interior.

Incentro de un triángulo

Dibujo del incentro de un triángulo como intersección de las tres bisectrices.

El incentro (I) es la intersección de las tres bisectrices del triángulo.

Las bisectrices de un triángulo (Ba, Bb y Bc) son los tres segmentos que, dividiendo cada uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.

Dibujo de las tres bisectrices de un triángulo, el incentro y la circunferencia inscrita.

El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:


Fórmula del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo con centro en el incentro.

El incentro se encuentra siempre en el interior del triángulo.

Recta de Euler

En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.


Dibujo de la recta de Euler.

Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.


Fórmula de la relación de las distancias entre centros en la recta de Euler.

En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.

Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a Distancia 1 en la Recta de Euler desde un lado y, por tanto, Distancia 2 en la Recta de Euler al vértice, siendo h cualquiera de sus tres alturas.

Teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras relaciona los catetos de un triángulo rectángulo y su hipotenusa.

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º) y dos ángulos menores (<90º).

Los dos lados que forman el ángulo recto son catetos. El lado mayor opuesto al ángulo recto es la hipotenusa.

El Teorema de Pitágoras enuncia que:

Todos los triángulos rectángulos cumplen que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los lados contiguos al ángulo recto (catetos) al cuadrado. Es decir:

Dibujo del triángulo rectángulo para el teorema de Pitágoras


Fórmula del teorema de Pitágoras

Área de los cuadrados de los catetos y la hipotenusa en el teorema de Pitágoras

Se pueden construir los dos cuadrados sobre sus catetos (a y b) y el cuadrado sobre la hipotenusa (c).

Geométricamente se puede comprobar que en cualquier triángulo rectángulo se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados formados sobre sus catetos es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa, es decir:


Igualdad de la suma de áres de los cuadrados de los catetos y el área del cuadrado de la hipotenusa en el teorema de Pitágoras

Teoremas trigonometricos

Teorema del seno

El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo. Éste enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

Cada lado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).


Fórmula del teorema del seno

Dibujo del triángulo circunscrito en una circunferencia

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.

Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto (A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.


Fórmula del teorema del seno siendo las razones proporcionales al diámetro de la circunferencia en la que se circunscribe el triángulo.

Teorema del coseno

El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.


Fórmula del teorema del coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.

De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a2 =  b2+c2. Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

Teorema de la tangente

El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

20 Respuestas

  1. jose manuel prieto amor dice:

    muy bien explicado y muy completo

  2. ruth dice:

    como encuentro el tercer lado de un triangulo escaleno si tengo solo el 1er y 2do lado

    • Respuestas dice:

      Ruth: te hace falta saber, por ejemplo, el ángulo que forman esos dos lados.
      Sólo con esos datos no hay solución.

  3. Marcelo dice:

    ¿Como determino que las medianas se intersectan a un tercio del lado correspondiente (respecto de su longitud)?

  4. Michele Machado Guedes dice:

    eu nao to conseguindo achar o triangulo acutangulo e a area e o perimetro

    • Respuestas dice:

      Michele, un triángulo acutángulo, que no sea el caso particular de un equilátero o un isósceles (que son acutángulos tambien), es un triángulo escaleno, sólo que no tiene ningun ángulo igual o mayor de 90º. Ve al escaleno.

  5. roberto cruz dice:

    si van a poner algo q no sean pendejaadas

  6. sofia dice:

    que fatal jajaja no mentira genial

  7. isabel sofia dice:

    wooo me encanto me ayudo a memorisar y se lo dije a mi mama

  8. juanes dice:

    wooooo me encanto me ayuda en poco jajaaja

  9. david dice:

    grasias profe

  10. jedamiane dice:

    Excelente contenido

  11. Daniela dice:

    Excelente contenido, describe todo bien lo que son los triángulos, sus tipos y hasta cosas que no sabia como la desigualdad.

    Gracias.

  12. alejandra231 dice:

    no me sirve de nada gracias

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Lo sentimos, Alejandra. Si nos dijeras qué buscabas y no has encontrado nos podria ser útil.
      Gracias.

  13. felix dice:

    La suma es 180° lo que es π. Y expresan que es 2π.

    • Universo Formulas dice:

      Hola Felix, tienes toda la razón. La suma de los ángulos de un triángulo son 180º, que son π radianes. Ahora lo corregimos, muchas gracias.

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