Un heptágono es un polígono de siete lados (L1, L2, L3, L4, L5, L6 y L7). Los lados confluyen dos a dos en siete puntos, llamados vértices.
Elementos del heptágono
En un heptágono se pueden diferenciar los siguientes elementos:
- Vértices (V): puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 7 vértices.
- Lados (L): segmentos que unen dos vértices consecutivos del heptágono y que delimitan su perímetro. Tiene 7 lados.
- Diagonal (D): segmento que une dos vértices no consecutivos. En un heptágono convexo hay 14 diagonales (¿por qué hay catorce diagonales?).
- Ángulos interiores (α): ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen. Hay 7 ángulos interiores. Los ángulos interiores del heptágono suman 900º (¿por qué suman 900º?).
- Ángulos exteriores (β): ángulo formado por un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 7 ángulos exteriores.
Tipos de heptágono
Según las características de los lados y ángulos del heptágono, éstos se clasifican en dos tipos:
- Heptágono regular: figura geométrica con siete lados y ángulos iguales (todos sus ángulos interiores son de 128,6º, resultado de dividir 900º entre 7 ángulos).
- Heptágono irregular: figura geométrica cuyos siete lados y ángulos no son iguales entre sí.
Área del heptágono
El cálculo del área de un heptágono es diferente dependiendo de si el heptágono es regular o irregular.
Área del heptágono regular
El área del heptágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.
Al ser su perímetro siete veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:
Como la apotema del heptágono regular se calcula con esta fórmula:
Donde α es el ángulo interior del heptágono. Así, la fórmula del área del heptágono se puede expresar así:
En la que, agrupando las constantes, con aproximación a tres decimales, se queda así:
Área del heptágono irregular
El cálculo del área de un heptágono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el heptágono en siete triángulos y calcular el área sumando las siete áreas de los triángulos.
Podemos calcular el área del heptágono irregular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss.
Triangulación del heptágono irregular
Sea H un heptágono irregular. Se desea calcular su área (A).
El método de triangulación consiste en dividir el heptágono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en siete triángulos y el área del heptágono será la suma del área de esos siete triángulos.
- Se divide el heptágono en siete triángulos (T1, T2, T3, T4, T5, T6 y T7) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del heptágono y que todos confluyen en un mismo punto interior del heptágono.
- Se miden las alturas (h1, h2,…, h7) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del heptágono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.
- Se calculan las áreas de los siete triángulos. El área del primer triángulo es:
Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros seis triángulos.
- Sumamos las siete áreas y obtenemos el área del heptágono irregular:
Determinante de Gauss
Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.
Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.
Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.
Sean los vértices del heptágono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x7,y7). La fórmula es la siguiente:
Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del heptágono irregular.
Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavos como en los convexos.
Perímetro del heptágono
La fórmula del perímetro del heptágono es diferente dependiendo si el heptágono es regular o irregular.
Perímetro del heptágono regular
El heptágono regular tiene sus siete lados iguales. Por lo tanto, su perímetro es siete veces uno de sus lados:
Perímetro del heptágono irregular
El heptágono irregular es un polígono cuyos siete lados no son iguales entre sí.
Por tanto, su perímetro será la suma de la longitud de sus siete lados.
Ejercicios resueltos
Ejercicio del área del heptágono regular
Sea un heptágono regular con los siete lados (N=7) de la misma longitud L=2,4 cm.
La apotema (distancia del centro del heptágono al punto medio de un lado) se puede calcular mediante el ángulo central (resolución del polígono regular trigonométricamente).
Sea el ángulo central:
Mediante las razones trigonométricas y el ángulo central se calcula la apotema:
Y la apotema es ap=2,49 cm.
Se aplica la fórmula del área del heptágono regular:
Y se obtiene que el área es 20,93 cm2.
Ejercicio del perímetro del heptágono regular
Sea un heptágono regular con sus siete los lados iguales y de longitud L=1,3 cm. Su perímetro se calculará como el producto del número de lados (siete) y su longitud.
Y se obtiene que el perímetro de este heptágono regular es de 9,1 cm.
Ejercicio del perímetro del heptágono irregular
Sea un heptágono irregular con siete lados no todos iguales, siendo sus longitudes: L1=2,5 cm, L2=2,2 cm, L3=2,2 cm, L4=2,7 cm, L5=3,3 cm, L6=2,6 cm y L7=3,6 cm.
Su perímetro será la suma de todos sus lados:
Y como resultado se obtiene que el perímetro de este heptágono irregular es de 19,1 cm.
Y el apotema y radio?
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Los polígonos regulares son los que tienen apotema.
No tienen radio. Está el radio de la circunferencia inscrita al polígono regular, que coincide con su apotema.
También, el radio de la circunferencia circunscrita a un polígono regular que podrás encontrar en la página de esta web:
Resolución de un polígono regular trigonométricamente
si falto el volumen
falto el volumen
Hola Laura Valeria,
El heptágono no tiene volumen, tiene perímetro y área. Solo tienen volumen las figuras de tres dimensiones.
Un saludo.