Área de un heptágono

El cálculo del área de un heptágono es diferente dependiendo de si el heptágono es regular o irregular.

Un heptágono es un polígono de siete lados.

Área del heptágono regular

El área del heptágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.

Al ser su perímetro siete veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Como la apotema del heptágono regular se calcula con esta fórmula:

Donde α es el ángulo interior del heptágono. Así, la fórmula del área del heptágono se puede expresar así:

En la que, agrupando las constantes, con aproximación a tres decimales, se queda así:

Área del heptágono irregular

El cálculo del área de un heptágono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el heptágono en siete triángulos y calcular el área sumando las siete áreas de los triángulos.

Podemos calcular el área del heptágono irregular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss.

Triangulación del heptágono irregular

Sea H un heptágono irregular. Se desea calcular su área (A).

El método de triangulación consiste en dividir el heptágono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en siete triángulos y el área del heptágono será la suma del área de esos siete triángulos.

1. Se divide el heptágono en siete triángulos (T₁, T₂, T₃, T₄, T₅, T₆ y T₇) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del heptágono y que todos confluyen en un mismo punto interior del heptágono.



2. Se miden las alturas (h₁, h₂,…, h₇) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del heptágono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.



3. Se calculan las áreas de los siete triángulos. El área del primer triángulo es:
   

   Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros seis triángulos.

4. Sumamos las siete áreas y obtenemos el área del heptágono irregular:
   

Determinante de Gauss

Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.

Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.

Sean los vértices del heptágono: (x₁,y₁), (x₂,y₂),…, (x₇,y₇). La fórmula es la siguiente:

Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del heptágono irregular.

Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavos como en los convexos.

Ejercicio del área del heptágono regular

Sea un heptágono regular con los siete lados (N=7) de la misma longitud L=2,4 cm.

La apotema (distancia del centro del heptágono al punto medio de un lado) se puede calcular mediante el ángulo central (resolución del polígono regular trigonométricamente).

Sea el ángulo central:

Mediante las razones trigonométricas y el ángulo central se calcula la apotema:

Y la apotema es ap=2,49 cm.

Se aplica la fórmula del área del heptágono regular:

Y se obtiene que el área es 20,93 cm².