Las inecuaciones de segundo grado (o inecuaciones cuadráticas) con una incógnita tienen la variable elevada al cuadrado. Son las que pueden tener estas formas reducidas:
Con a ≠ 0.
Al resolverlas nos podemos encontrar con que:
- El trinomio al cuadrado del primer miembro tenga las soluciones reales x1 y x2 (que pueden ser iguales o distintas).
Estas soluciones se encuentran, si se iguala el trinomio a cero, mediante la fórmula cuadrática.
Entonces, se puede factorizar el trinomio:
Quedando la inecuación en una forma de desigualdad como en este caso:
La solución se encuentra al realizar el producto de los factores.
Se tendrán en cuenta, en la recta numérica, los tres intervalos: (-∞, x1), (x1, x2) y (x2, +∞).
Siendo x1 ≤ x2.
Tomando un valor cualquiera de cada tramo, se sustituye en la variable de la inecuación, para comprobar si se cumple la desigualdad indicada.
Si los extremos x1 o x2 cumplen la desigualdad, se expresa cerrando el intervalo en ese extremo con un corchete: ] o [. Esto ocurre con las desigualdades ≤ y ≥. Pero si estos extremos no verifican la ecuación, es un intervalo abierto por los dos extremos, que se cierra con un signo de paréntesis: ) o (.
Si se cumple en dos intervalos, el signo ∪ indica la unión de estos.
Se verá en los ejercicios.
- El trinomio al cuadrado del primer miembro no tenga soluciones reales.
Ocurre cuando el discriminante de fórmula cuadrática es negativo. Entonces el signo del valor numérico del trinomio es siempre el mismo que el del coeficiente a, para cualquier valor que se le dé a x. Con esto, o la inecuación no tiene solución o se cumple para todos los reales.
Si a es positivo:
- Para estos trinomios sin soluciones reales, con desigualdades > y ≥, la solución son todos los reales.
- Y con desigualdades < y ≤, estas inecuaciones no tienen solución.
Se verá en los ejercicios:
Ejercicios
Ejercicio 1
Hallar la solución de esta inecuación de segundo grado:
Solución:
Igualando el trinomio a cero y aplicando la fórmula cuadrática se obtienen las raíces x1 = -4 y x2 = -1.
Se estudian los intervalos (-∞, -4), (4, -1) y (-1, +∞), tomando un valor cualquiera de cada uno y comprobar si cumple con la desigualdad:
La inecuación se cumple en el primer y tercer intervalo, excluyendo -4 y -1 que hacen cero al trinomio.
La solución se puede expresar así, incluida la recta numérica:
Ejercicio 2
Hallar la solución de esta inecuación cuadrática:
Solución:
Igualando el trinomio a cero y aplicando la fórmula cuadrática se obtienen las raíces x1 = -2 y x2 = 3.
Se estudian los intervalos (-∞, -2), (-2, 3) y (3, +∞), tomando un valor cualquiera de cada uno y comprobar si cumple con la desigualdad:
La inecuación se cumple en el primer y tercer intervalo, incluyendo – 2 y 3.
La solución se puede expresar así, incluida la recta numérica:
Ejercicio 3
Hallar la solución de esta inecuación de segundo grado:
Solución:
Igualando el trinomio a cero y aplicando la fórmula cuadrática se obtienen las raíces x1 = 1 y x2 = 4.
Se estudian los intervalos (-∞, 1), (1, 4) y (4, +∞), tomando un valor cualquiera de cada uno y comprobando si cumple con la desigualdad:
La inecuación se cumple en el segundo intervalo, incluyendo 1 y 4.
La solución se puede expresar así, incluida la recta numérica:
Ejercicio 4
Hallar la solución de esta inecuación cuadrática:
Solución:
Igualando el trinomio a cero y aplicando la fórmula cuadrática se obtienen las raíces x1 = -3 y x2 = 1.
Se estudian los intervalos (-∞, -3), (-3, 1) y (1, +∞), tomando un valor cualquiera de cada uno y comprobando si cumple con la desigualdad:
La inecuación se cumple en el segundo intervalo, excluyendo –3 y 1.
La solución se puede expresar así, incluida la recta numérica:
Ejercicio 5
Encontrar la solución de esta inecuación de segundo grado:
Solución:
Igualando el trinomio a cero y aplicando la fórmula cuadrática se comprueba que el discriminante es cero, por lo que tiene una sola raíz x1 = x2 = 3.
Se estudian los intervalos (-∞, 3), 3 y (3, +∞), tomando un valor cualquiera de cada uno y comprobar si cumple con la desigualdad:
La inecuación se cumple en el primer y tercer intervalo, excluyendo el 3.
La solución se puede expresar así, incluida la recta numérica:
Ejercicio 6
Hallar la solución de esta inecuación de segundo grado:
Solución:
Igualando el trinomio a cero y aplicando la fórmula cuadrática se comprueba que el discriminante es negativo, por lo que tiene no tiene raíces reales.
Como el coeficiente de x² es positivo, (1), el valor del primer término trinomio será siempre positivo, mayor que cero. Por lo tanto, cualquier valor que se le dé a la variable cumplirá con la desigualdad, expresando la solución así:
Ejercicio 7
Encontrar la solución de esta inecuación cuadrática:
Solución:
En el primer miembro, el trinomio es el mismo que el del ejercicio anterior, pero cambia el signo de la inecuación.
Como se ha comprobado en el ejercicio anterior, el trinomio no tiene raíces reales, al ser el discriminante de la fórmula cuadrática negativo.
La ecuación planteada no tiene solución, porque, cualquier valor que se le dé a x el trinomio, dará valor positivo, siendo imposible cumplir la desigualdad ≤.
Resolución gráficamente
La solución de inecuaciones de segundo grado que se han visto en estos ejercicios puede verse gráficamente, ayudando a la comprensión de la solución.
En la página parábola se comprueba que el primer miembro del trinomio de estas inecuaciones cuadráticas está en la ecuación cuadrática en forma estándar de la parábola.
Que si el coeficiente a es positivo, la parábola se abre vertical hacia arriba, el vértice se encuentra en la abscisa xv = -b / 2a, y la parábola cortaría al eje X, en su caso, cuando y fuera 0. Serían las raíces de esa función cuadrática.
Podemos ver en ejemplos de los anteriores ejercicios, cómo se pueden ver las soluciones a las diferentes inecuaciones.
- Resolución gráfica del ejercicio 1:
La parábola vertical tiene el vértice en -5/2 y corta al eje X en –4 y -1.
La inecuación se cumple en el semiplano superior, excluyendo los dos puntos de corte.
- Resolución gráfica del ejercicio 2:
La parábola vertical tiene el vértice en -(-1)/12 = 1/12 y corta al eje X en – 2 y 3.
La inecuación se cumple en el semiplano superior, incluyendo los dos puntos de corte.
- Resolución gráfica del ejercicio 5:
La parábola vertical tiene el vértice en –(-6)/2 = 6/2 = 3 y corta al eje X en un punto. El 3.
La inecuación se cumple en el semiplano superior, en todos los valores de x excepto el 3.
- Resolución gráfica del ejercicio 6:
La parábola vertical tiene el vértice en –(-5)/2 = 5/2 y no corta al eje X.
La inecuación se cumple en todos los casos. El conjunto solución son todos los valores reales de x.
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