Inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales (o inecuaciones con fracciones, o inecuaciones fraccionarias) son las que contienen fracciones algebraicas. Estas inecuaciones fraccionarias se pueden reducir a su forma estándar mediante transformaciones, dejando una fracción algebraica a la izquierda del signo de desigualdad y el 0 a su derecha.

Esta son dos ejemplos de inecuaciones racionales o fraccionarias:

Ejemplos de inecuaciones racionales

Resolver inecuaciones con fracciones

Para resolver inecuaciones racionales se seguirán estos pasos:

  • Poner la inecuación fraccionaria en forma estándar (únicamente una fracción algebraica en el primer miembro y 0 en el segundo.
  • Ver qué valores del numerador lo hacen nulo.
  • La misma operación con el denominador. (Los valores que anulan el denominador nunca formarán parte del intervalo solución, porque el denominador no puede ser 0).
  • Vistos los puntos críticos, representar los resultados en un diagrama de signos.
  • Los intervalos en que se cumplan la desigualdad será la solución.

Veamos la aplicación del procedimiento con ejercicios:

Ejercicios

Ejercicio 1

Resolver la inecuación con fracción:

Enunciado del ejercicio 1 de inecuaciones con fracciones

Solución:

Ver los valores que hacen nulo el numerador:

Valores que hacen nulo el numerador del ejercicio 1

El 5 anula el numerador.

Ver los valores que hacen nulo el denominador:

Valores que hacen nulo el denominador del ejercicio 1

El -1 anula el denominador.

El signo de la fracción en los diferentes intervalos de valores los vemos en el diagrama de signos:

Resultado del ejercicio 1 de inecuaciones racionales

La solución de la inecuación racional planteada es el intervalo abierto (-1, 5). Entre estos valores del intervalo solución, un numerador negativo dividido por un denominador positivo da un resultado negativo (<0, como se plantea en la inecuación). En los otros dos intervalos, negativo entre negativo o positivo entre positivo, el resultado sería positivo y no satisfaría la ecuación).

Ejercicio 2

Resolver la inecuación con fracción:

Enunciado del ejercicio 2 de inecuaciones racionales

Solución:

Transformar la inecuación a la expresión estándar:

Expresión estandar del ejercicio 2

Ver los valores que hacen nulo el numerador:

Valores que hacen nulo el numerador del ejercicio 2

El 6 anula el numerador.

Ver los valores que hacen nulo el denominador:

Valores que hacen nulo el denominador del ejercicio 2

El 1 anula el denominador.

El signo de la fracción en los diferentes intervalos de valores los vemos en el diagrama de signos:

Resultado del ejercicio 2 de inecuaciones fraccionarias

La solución de la inecuación racional planteada es la unión de estos dos intervalos:

Intervalos del ejercicio 2

Ejercicio 3

Resolver la inecuación con fracción:

Enunciado del ejercicio 3 de inecuaciones fraccionarias

Solución:

Ver los valores que hacen nulo el numerador:

Valores que hacen nulo el numerador del ejercicio 3

El -4 anula el numerador.

Ver los valores que hacen nulo el denominador. Para eso factorizaremos el trinomio de segundo grado:

Valores que hacen nulo el denominador del ejercicio 3

Los números –2 y 1 hacen 0 el denominador.

El signo de la fracción en los diferentes intervalos de valores los vemos en el diagrama de signos, teniendo en cuenta la ley de signos del producto (para el denominador) y de la división:

Resultado del ejercicio 3 de inecuaciones con fracciones

La solución de la inecuación racional planteada se encuentra en la unión de un intervalo semiabierto y otro abierto. Con los valores que contienen, la inecuación resulta 0 o positiva.

Intervalos del ejercicio 3

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