Inecuaciones con valor absoluto

Las inecuaciones con valor absoluto (o inecuaciones con módulo) tienen un término del tipo |f(x)|, que es el que devuelve el valor absoluto o módulo del valor numérico de esa expresión algebraica entre barras verticales, pero afectado siempre del signo positivo.

La resolución de una inecuación con valor absoluto debe tener en cuenta simultáneamente la resolución de inecuaciones y la función valor absoluto.

Si se tiene una ecuación con valor absoluto, por su definición, ésta tiene dos soluciones:

Soluciones de la función valor absoluto

Ejemplos

Por ejemplo:

Enunciado del ejemplo 1 de inecuaciones con valor absoluto

Las soluciones de esta ecuación con valor absoluto son dos: x = -4 ó x = 6.

Ahora vamos a resolver una inecuación con valor absoluto, con el mismo módulo anterior:

Cálculos 1 del ejemplo 1 de inecuaciones con módulo

Formamos dos inecuaciones, pero sin módulo:

Cálculos 2 del ejemplo 1 de inecuaciones con valor absoluto

A la segunda se le invierte el signo de desigualdad por el valor negativo, que cambia de miembro. Y es que dentro del signo de valor absoluto puede aparecer un número positivo o negativo. Por eso, al valor negativo se le invierte la desigualdad. Esto mismo se puede escribir así:

Cálculos 3 del ejemplo 1 de inecuaciones con módulo

Se resuelven por separado las dos inecuaciones:

Cálculos 4 del ejemplo 1 de inecuaciones con valor absoluto

Por la esencia de la función valor absoluto, deben cumplirse simultáneamente las dos inecuaciones, por lo que la solución a la inecuación inicial con valor absoluto será:

Solución del ejemplo 1 de inecuaciones con módulo

Representada por este segmento abierto por sus dos extremos:

Solución gráfica del ejemplo 1 de inecuaciones con valor absoluto

Ejercicios

Ejercicio 1

Resolver esta inecuación lineal con módulo:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Debe cumplirse una de estas dos inecuaciones:

Dos inecuaciones del ejercicio 1

Ambas se resuelven por separado. La primera:

Primera inecuación del ejercicio 1

Se resuelve la segunda:

Segunda inecuación del ejercicio 1

La solución de la inecuación con valor absoluto inicial es:

Solución del ejercicio 1

Contenida en dos intervalos abiertos.

Ejercicio 2

Resolver esta inecuación lineal con módulo:

Enunciado del ejercicio 2

Solución:

Debe cumplirse una de estas dos inecuaciones:

Dos inecuaciones del ejercicio 2

Ambas se resuelven por separado. La primera:

Primera inecuación del ejercicio 2

Y posteriormente la segunda:

Segunda inecuación del ejercicio 2

La solución de la inecuación con valor absoluto inicial es:

Solución del ejercicio 2

Contenida en dos intervalos semiabiertos.

Ejercicio 3

Resolver esta inecuación de segundo grado con módulo:

Enunciado del ejercicio 3

Solución:

Igualando el trinomio a cero y aplicando la fórmula cuadrática se obtienen las raíces x1 = -4 y x2 = -1.

Debe cumplirse una de estas dos inecuaciones:

Dos inecuaciones del ejercicio 3

Identificamos los intervalos que se cumplen en ambas desigualdades:

Dos desigualdades del ejercicio 3

La solución de la inecuación con valor absoluto inicial, expresada también por tres semirrectas abiertas en la recta real, es:

Solución del ejercicio 3

Los valores que satisfacen esta inecuación cuadrática con módulo se pueden ver en la gráfica. Son todos los puntos de la parábola que representa el trinomio contenido en el módulo, salvo x1 = -4 y x2 = -1. Además, el tramo de la parábola (-4, -1) se invierte, porque todos sus puntos solución, por la misma función valor absoluto, resultan positivos.

Solución gráfica del ejercicio 3

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