Las inecuaciones son relaciones de desigualdad entre dos expresiones algebraicas.
Los signos que pueden expresar desigualdad en las inecuaciones son:
- Menor que (<)
- Mayor que (>)
- Menor o igual que (≤)
- Mayor o igual que (≥)
Tipos de inecuaciones
Según las incógnitas:
- De una incógnita
- De dos incógnitas
- De más de dos incógnitas
Según el grado:
- De primer grado o inecuación lineal
- De segundo grado o inecuación cuadrática
- De grado mayor de dos
Inecuaciones racionales. Al menos, una incógnita está en el denominador:
Como resolver inecuaciones
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable o las variables que cumplen la desigualdad.
Una inecuación puede tener una solución, varias soluciones, infinitas soluciones o ninguna solución.
Las soluciones de una inecuación pueden expresarse mediante el intervalo o intervalos que contienen a los valores de la solución. También pueden expresarse por semirrectas abiertas o cerradas en la recta real.
- Esta solución comprende los valores iguales o menores que 2. Y el 2 pertenece a la solución. Acotado con corchete ].
- Y esta solución está contenida en dos intervalos abiertos, donde ni -4 ni -1 cumplen con la inecuación:
Las inecuaciones se resuelven por procedimientos muy similares a la resolución de las ecuaciones.
Pasar un elemento o valor de una parte a la otra de la desigualdad se rige con las mismas reglas de la aritmética o de las ecuaciones. (Si está sumando, pasa restando, si está multiplicando, pasa dividiendo, etc.)
Es importante que, si en el proceso se multiplican los dos miembros de la inecuación por un número negativo, hay que cambiar el sentido del signo de la desigualdad.
Inecuaciones de primer grado
Las inecuaciones de primer grado o inecuaciones lineales son inecuaciones en las que el mayor grado de sus términos es uno. Estos son ejemplos de inecuaciones lineales:
Inecuaciones de segundo grado
Las inecuaciones de segundo grado (o inecuaciones cuadráticas) con una incógnita tienen la variable elevada al cuadrado. Son las que pueden tener estas formas reducidas:
Con a ≠ 0.
Al resolverlas nos podemos encontrar con que:
- El trinomio al cuadrado del primer miembro tenga las soluciones reales x1 y x2 (que pueden ser iguales o distintas).
Estas soluciones se encuentran, si se iguala el trinomio a cero, mediante la fórmula cuadrática.
Entonces, se puede factorizar el trinomio:
Quedando la inecuación en una forma de desigualdad como en este caso:
La solución se encuentra al realizar el producto de los factores.
Se tendrán en cuenta, en la recta numérica, los tres intervalos: (-∞, x1), (x1, x2) y (x2, +∞).
Siendo x1 ≤ x2.
Tomando un valor cualquiera de cada tramo, se sustituye en la variable de la inecuación, para comprobar si se cumple la desigualdad indicada.
Si los extremos x1 o x2 cumplen la desigualdad, se expresa cerrando el intervalo en ese extremo con un corchete: ] o [. Esto ocurre con las desigualdades ≤ y ≥. Pero si estos extremos no verifican la ecuación, es un intervalo abierto por los dos extremos, que se cierra con un signo de paréntesis: ) o (.
Si se cumple en dos intervalos, el signo ∪ indica la unión de estos.
Se verá en los ejercicios.
- El trinomio al cuadrado del primer miembro no tenga soluciones reales.
Ocurre cuando el discriminante de fórmula cuadrática es negativo. Entonces el signo del valor numérico del trinomio es siempre el mismo que el del coeficiente a, para cualquier valor que se le dé a x. Con esto, o la inecuación no tiene solución o se cumple para todos los reales.
Si a es positivo:
- Para estos trinomios sin soluciones reales, con desigualdades > y ≥, la solución son todos los reales.
- Y con desigualdades < y ≤, estas inecuaciones no tienen solución.
Inecuaciones con valor absoluto
Las inecuaciones con valor absoluto (o inecuaciones con módulo) tienen un término del tipo |f(x)|, que es el que devuelve el valor absoluto o módulo del valor numérico de esa expresión algebraica entre barras verticales, pero afectado siempre del signo positivo.
La resolución de una inecuación con valor absoluto debe tener en cuenta simultáneamente la resolución de inecuaciones y la función valor absoluto.
Si se tiene una ecuación con valor absoluto, por su definición, ésta tiene dos soluciones:
Inecuaciones racionales
Las inecuaciones racionales (o inecuaciones con fracciones, o inecuaciones fraccionarias) son las que contienen fracciones algebraicas. Estas inecuaciones fraccionarias se pueden reducir a su forma estándar mediante transformaciones, dejando una fracción algebraica a la izquierda del signo de desigualdad y el 0 a su derecha.
Esta son dos ejemplos de inecuaciones racionales o fraccionarias:
Ejercicios de inecuaciones
Ejercicio 1
Hallar la solución de esta inecuación lineal:
Solución del ejercicio:
Aislar la incógnita. Ponerla con signo positivo. Como se multiplican los dos miembros por un número negativo (-1), se cambia el signo de la desigualdad:
La solución, expresada en forma de intervalo o mediante una semirrecta abierta, son los valores superiores a 6, sin estar el 6 incluido:
Ejercicio 2
Hallar la solución de esta inecuación de primer grado:
Solución del ejercicio:
Se agrupan los términos con incógnita a la izquierda de la desigualdad y los términos libres, a la derecha. Se cambia el signo al cambiar de miembro:
Reducir a común denominador los términos. El mínimo común múltiplo, m.c.m. de los denominadores es 30. Operaremos con fracciones:
Y se despeja la incógnita:
Esta es la solución, que expresada en forma de intervalo y de semirrecta resulta:
Ejercicio 3
Hallar la solución de esta inecuación de segundo grado:
Solución:
Igualando el trinomio a cero y aplicando la fórmula cuadrática se obtienen las raíces x1 = -4 y x2 = -1.
Se estudian los intervalos (-∞, -4), (4, -1) y (-1, +∞), tomando un valor cualquiera de cada uno y comprobar si cumple con la desigualdad:
La inecuación se cumple en el primer y tercer intervalo, excluyendo -4 y -1 que hacen cero al trinomio.
La solución se puede expresar así, incluida la recta numérica:
Ejercicio 4
Hallar la solución de esta inecuación cuadrática:
Solución:
Igualando el trinomio a cero y aplicando la fórmula cuadrática se obtienen las raíces x1 = -2 y x2 = 3.
Se estudian los intervalos (-∞, -2), (-2, 3) y (3, +∞), tomando un valor cualquiera de cada uno y comprobar si cumple con la desigualdad:
La inecuación se cumple en el primer y tercer intervalo, incluyendo – 2 y 3.
La solución se puede expresar así, incluida la recta numérica:
Ejercicio 5
Hallar la solución de esta inecuación de segundo grado:
Solución:
Igualando el trinomio a cero y aplicando la fórmula cuadrática se obtienen las raíces x1 = 1 y x2 = 4.
Se estudian los intervalos (-∞, 1), (1, 4) y (4, +∞), tomando un valor cualquiera de cada uno y comprobando si cumple con la desigualdad:
La inecuación se cumple en el segundo intervalo, incluyendo 1 y 4.
La solución se puede expresar así, incluida la recta numérica:
Ejercicio 6
Resolver esta inecuación lineal con módulo:
Solución:
Debe cumplirse una de estas dos inecuaciones:
Ambas se resuelven por separado. La primera:
Se resuelve la segunda:
La solución de la inecuación con valor absoluto inicial es:
Contenida en dos intervalos abiertos.
Ejercicio 7
Resolver esta inecuación lineal con módulo:
Solución:
Debe cumplirse una de estas dos inecuaciones:
Ambas se resuelven por separado. La primera:
Y posteriormente la segunda:
La solución de la inecuación con valor absoluto inicial es:
Contenida en dos intervalos semiabiertos.
Ejercicio 8
Resolver la inecuación con fracción:
Solución:
Ver los valores que hacen nulo el numerador:
El 5 anula el numerador.
Ver los valores que hacen nulo el denominador:
El -1 anula el denominador.
El signo de la fracción en los diferentes intervalos de valores los vemos en el diagrama de signos:
La solución de la inecuación racional planteada es el intervalo abierto (-1, 5). Entre estos valores del intervalo solución, un numerador negativo dividido por un denominador positivo da un resultado negativo (<0, como se plantea en la inecuación). En los otros dos intervalos, negativo entre negativo o positivo entre positivo, el resultado sería positivo y no satisfaría la ecuación).
Ejercicio 9
Resolver la inecuación con fracción:
Solución:
Transformar la inecuación a la expresión estándar:
Ver los valores que hacen nulo el numerador:
El 6 anula el numerador.
Ver los valores que hacen nulo el denominador:
El 1 anula el denominador.
El signo de la fracción en los diferentes intervalos de valores los vemos en el diagrama de signos:
La solución de la inecuación racional planteada es la unión de estos dos intervalos:
