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Dinámica de los sistemas

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Leyes de Newton

Las leyes de Newton (o principios de la dinámica) son los siguientes:

Primera Ley de Newton (o ley de la inercia)

Un cuerpo permanecerá en su estado de movimiento rectilíneo uniforme o en estado de reposo si no se ejerce sobre él ninguna fuerza.

Segunda Ley de Newton

La fuerza que actúa sobre un cuerpo es igual a la aceleración que produce en éste multiplicada por una constante del cuerpo mencionado, a la que llamaremos masa.

Fórmula de la segunda Ley de Newton

A esta igualdad se la conoce como la ecuación fundamental de la Dinámica. Resume el primer y segundo principio de Newton, es decir, sin fuerza no hay cambio de velocidad (Ley de la inercia) y la aceleración es inversamente proporcional a la masa (segundo principio).

Tercera Ley de Newton (o ley de acción y reacción)

Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro (acción), a su vez, el segundo cuerpo determina una fuerza igual y opuesta (reacción).

Cantidad de movimiento

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Denominamos cantidad de movimiento (o también, momento lineal) de un cuerpo de masa m a un vector Vector p tal que:

Fórmula de la condición de la cantidad de movimiento

La dirección del vector cantidad de movimiento Vector p es la misma que la del vector velocidad Vector v.

Trasladando ésto a la ecuación fundamental de la Dinámica y considerando que la masa es una magnitud escalar invariable:

Fórmula de la cantidad de movimiento

Si multiplicamos esta igualdad por la fracción de tiempo durante el cual ejerce una fuerza Vector F, tendremos:

Cálculo 1 de la cantidad de movimiento

Al primer término, Vector F · dt, lo llamamos impulso de una fuerza Vector I, o simplemente impulso y es un vector con la misma dirección que la fuerza y módulo Vector F · dt. El segundo término, es la variación de la cantidad de movimiento.

Teorema de la cantidad de movimiento

El impulso total de una fuerza o sistema de fuerzas aplicadas durante un tiempo es igual a la variación de la cantidad de movimiento que produce.

Fórmula previa 1 del impulso total de una fuerza

Expresado de manera más adecuada:

Fórmula del impulso total de una fuerza

Tanto el impulso como la cantidad de movimiento se expresan en N · s, o lo que es lo mismo, en kg · m · s-1.

Trabajo de una fuerza

Si una fuerza Vector F constante ejerce su acción sobre un punto material y ocasiona un movimiento, llamaremos trabajo (símbolo W, del inglés work) de una fuerza Vector F al producto escalar del módulo de esa fuerza por el del vector Vector r que representa el desplazamiento producido por la misma.

Fórmula del trabajo de una fuerza

El trabajo W es, por tanto, una magnitud escalar.

En el Sistema Internacional de Medidas (S.I.), la unidad de trabajo es el julio (o, también, joule). Un julio (símbolo: J) es el trabajo que produce una fuerza constante de 1 newton sobre una masa cuando ocasiona en ella un desplazamiento de 1 metro en la misma dirección de la fuerza.

Potencia (o potencia mecánica)

Se llama potencia (P), o potencia mecánica, al trabajo realizado en la unidad de tiempo. La expresión es:

Fórmula de la potencia o potencia mecánica

Si dividimos el tiempo en intervalos elementales, la expresión más adecuada de la potencia será:

Fórmula de la potencia dividiendo el tiempo en intervalos elementales

La potencia P es una magnitud escalar.

La unidad de potencia en el Sistema Internacional es el vatio. Un vatio (símbolo: W, del matemático e ingeniero James Watt) es la potencia necesaria para realizar el trabajo de un julio en un tiempo de un segundo.

Energía

La energía es la capacidad de un cuerpo o de un sistema de cuerpos para generar un trabajo. Energía y trabajo son magnitudes equivalentes, por lo que se expresarán con las mismas unidades.

Energía cinética

La energía cinética es la capacidad de un cuerpo en movimiento para generar un trabajo. Pensemos en una taco de billar en movimiento que es capaz de generar el trabajo de impulsar una bola al impactar con ella.

La ecuación de la energia cinética, en mecánica, es:

Fórmula de la energía cinética

¿Cómo se obtiene?

A partir de la ecuación fundamental de la dinámica:

Fórmula de la ecuación fundamental de la dinámica

Como el trabajo W realizado por la fuerza F es igual a la energia cinética Ec que adquiere el cuerpo:

Fórmula de la fuerza como la energía cinética

Sustituyendo en las ecuaciones anteriores, tendremos:

Cálculo de la fórmula de la energía cinética

A partir de esto se deriva el siguiente teorema.

Teorema de la energía cinética

El trabajo que realiza una fuerza sobre una masa inicialmente en reposo es igual a la energía cinética que adquiere ese cuerpo.

Energía potencial

En mecánica, la energía potencial es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en función de su posición. Podemos distinguir dos clases de energía potencial: la energía potencial gravitatoria y la energía potencial elástica.

Energía potencial gravitatoria

En el campo de gravedad terrestre, llamamos energía potencial gravitatoria de un cuerpo en un punto, a la que posee respecto al punto de referencia que es el nivel de la superficie de la Tierra. Si partimos de ese nivel y elevamos una masa m hasta una altura h, esa masa adquiere una energía potencial. Su expresión es:

Fórmula de la energía potencial gravitatoria

Donde g es la aceleración de la gravedad ( a nivel del mar, g = 9.81 m/s2).

¿Cómo se obtiene?

De las ecuaciones del MRUA tenemos las fórmulas siguientes:

v = g · t

h = 1/2 · g · t2

Se sustituye aquí la aceleración a por g y el espacio o posición x por h).

Despejando t en la primera y sustituyéndola en la segunda, tenemos:

Cálculo 1 para ver como se obtiene la fórmula de la energía potencial gravitatoria

Como la energía cinética que adquiriria al llegar al suelo el cuerpo si se le soltase desde la altura h sería:

Fórmula de la energía cinética

Sustituyendo la expresión de la velocidad v que tendría en el momento del impacto, resulta:

Cálculo 2 para ver como se obtiene la fórmula de la energía potencial gravitatoria

Sólo se puede medir variaciones de energia potencial gravitatoria, ya que se toma su variación desde puntos de referencia. Seguiría disminuyendo si, desde el nivel del mar dejásemos caer el cuerpo en un pozo.

Energía potencial elástica

La energía potencia elástica es la capacidad que tiene un cuerpo elástico (resorte, muelle, un arco, etc.) para realizar un trabajo según de la posición en que se encuentre respecto a su posición de equilibrio. Su expresión es:

Fórmula de la energía potencial elástica

Donde k es la constante elástica o constante recuperadora y x el desplazamiento.

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