Operaciones con vectores

Se pueden realizar las siguientes operaciones con vectores:

1. Suma de vectores
2. Resta de vectores
3. Multiplicación de vectores
   1. Producto de un vector por un escalar
   2. Producto escalar
   3. Producto vectorial
   4. Producto mixto

Suma de vectores

Si se suman dos magnitudes escalares, basta con sumar sus valores numéricos. Por ejemplo 10 w más 20 w son 30 w de potencia. Por el contrario, para sumar dos magnitudes vectoriales el proceso es más complejo, pues debemos de tener en cuenta dirección y sentido.

Conociendo las componentes cartesianas de los vectores a sumar, el vector resultante tendrá como componentes cartesianos la suma, eje a eje, de cada vector.

Si queremos sumar dos vectores en 3D y conocemos sus componentes, las componentes del vector suma, aplicando el mismo procedimiento, sería:

Por ejemplo:

Vamos a sumar dos vectores en tres dimensiones de los que sabemos sus coordenadas cartesianas:

(5, 1, 2) serían las coordenadas x, y, z del extremo del vector suma.

El mismo procedimiento serviría para sumar dos vectores en el plano, ejes X e Y.

Otro procedimiento para la suma de vectores es el método del paralelogramo. El método del paralelogramo es un procedimiento gráfico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores.

1. Primero se dibujan ambos vectores a escala, con el punto de aplicación común.
2. Seguidamente, se completa un paralelogramo, dibujando dos segmentos paralelos a ellos.
3. El vector suma resultante ( + ) será la diagonal del paralelogramo con origen común a los dos vectores originales.
   

El método del triángulo o método cabeza-cola es una variante del método del paralelogramo. Se desplaza el vector paralelamente hasta el extremo del vector . El lado que completa el triángulo es el vector suma ( + ), cuyo inicio está en el extremo del primer vector y su fin en el final del segundo vector sumando .

Mediante las dos fórmulas equivalentes anteriores, derivadas del teorema del coseno obtenemos el módulo del vector suma.

Se aplica sobre el ángulo (180° – α), opuesto al lado ( + ) del triángulo. Como en los ángulos suplementarios se cumple que:

Por ejemplo:

Sean dos vectores en un plano de módulos 2 y 3, que forman un ángulo de 60° ¿Cuál es el vector suma?

El vector suma será la diagonal del paralelogramo con origen en el punto de aplicación de ambos vectores, o, lo que es lo mismo, el lado que completa el triángulo con el método cabeza-cola. El módulo del vector suma será:

Resta de vectores

Se procede igual que en la suma, bien operando con las componentes cartesianas, o bien mediante el método del paralelogramo.

Sabiendo los componentes cartesianos de los vectores, restaremos los componentes cartesianos del segundo vector de los del primero:

Por ejemplo:

Sean los vectores =(2, -3, 4) y el vector =(3, 4, -2):

(-1, -7, 6) serían las coordenadas x, y, z del extremo del vector resta.

El mismo procedimiento serviría para restar dos vectores en el plano, de ejes x e y.

Otro procedimiento para la resta de vectores es el método gráfico. Ahora, con el método del paralelogramo tendremos que poner en el punto de aplicación del primer vector el punto de aplicación del vector opuesto. En otras palabras, la resta de dos vectores equivale a sumarle al primero el opuesto del segundo:

Gráficamente, y tomando la resta de los mismos vectores que los del caso de la suma por el método gráfico del ejemplo anterior:

Vemos que la fórmula para hallar el módulo del vector resta es la misma que la del vector suma, teniendo en cuenta que ahora el ángulo que forman los vectores es el suplementario (ver ángulos suplementarios) del tomado en la suma.

En este ejemplo concreto, el módulo del vector resta seria 2,65. (Ver el teorema del coseno)

Al igual que en la suma de vectores, en la resta tenemos los procedimientos gráficos del paralelogramo y el del triángulo o cabeza-cola.

Vemos en las figuras cómo cambia el sentido cuando se invierte el orden de los términos de la resta.

En las figuras se han superpuesto el método del paralelogramo en la suma con el de cabeza-cola para la resta.

Propiedades de la suma y resta de vectores

La suma de vectores tiene las propiedades:

• Asociativa:
  
• Conmutativa:
  
• Elemento opuesto :
  
• Elemento neutro :
  

La resta de vectores no cumple la propiedad conmutativa. Ya que:

Multiplicación de vectores

Producto de un vector por un escalar

La multiplicación de un vector por un escalar n es otro vector cuyo módulo será |n| · ||.

Si n es positivo, el vector producto tendrá el mismo sentido. Si n es negativo, el vector producto tendrá el sentido opuesto.

Lo mismo diremos de la división de un vector por un escalar.

Producto escalar

Diferente a lo anterior es el producto escalar de dos vectores. Llamamos producto escalar (o producto interno) de dos vectores que forman entre sí un ángulo α, a un número escalar (atención, no un vector) igual al producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo α que forman.

También podemos decir que el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de un vector por la proyección del otro sobre él. Esta proyección es:

Si los dos vectores tienen la misma dirección y sentido, el producto escalar será el producto de sus módulos (cos 0° = 1). En este caso, si los dos vectores fuesen iguales, el producto escalar sería igual a:

Si los dos vectores tienen la misma dirección pero sentido opuesto, el producto escalar será el producto de sus módulos con signo contrario (cos 180° = -1).

Si los dos vectores son perpendiculares, su producto escalar será nulo (cos 90° = 0).

El producto escalar de dos vectores de los que conocemos sus componentes se puede resolver mediante matrices o determinantes:

Lo podemos expresar como el producto de una matriz fila por otra, columna:

Ejemplo:

En este ejemplo, el producto interno es -2.

Un caso de producto escalar sería el trabajo (magnitud escalar) que realiza una fuerza, cuando ocasiona un desplazamiento. Es el producto del módulo de la fuerza por la proyección sobre la dirección de ésta del desplazamiento producido.

Producto vectorial

Se llama producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores y a otro vector cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los dos primeros por el seno del ángulo que forman.

Para indicar el producto vectorial se usa tanto la notación  x  como  ∧ . Aquí utilizaremos la notación  ∧ .

La dirección del vector producto vectorial () es perpendicular al plano que forman y y su sentido lo marca la regla de la mano derecha (o regla del sacacorchos).

El módulo del vector es igual al número que representa el área del paralelogramo formado a partir de los dos vectores iniciales.

Se puede obtener el producto vectorial de dos vectores, si conocemos sus componentes:

Podemos utilizar la función determinante, primero de orden 3:

Desarrollado por la primera fila, porque sus términos son simbólicos, no escalares, (son los vectores unitarios):

Si dos vectores son perpendiculares entre sí, el módulo de su producto vectorial será igual al producto de sus módulos (sen 90° = 1).

Pero si los vectores están en rectas paralelas o coincidentes, su producto vectorial es cero. Por lo tanto, será nulo el producto vectorial de un vector por sí mismo o por su opuesto (sen 0° = 0 y sen 180° = 0).

El producto vectorial no tiene la propiedad conmutativa, porque si se permutan los factores, el vector resultante, aunque tiene el mismo módulo, su dirección es la opuesta (propiedad anticonmutativa).

El producto vectorial cumple la propiedad distributiva:

Un ejemplo de producto vectorial es el momento de una fuerza respecto de un punto O. Este momento es otro vector producto vectorial del vector posición , del punto de aplicación de la fuerza referido a O, por el vector fuerza . O sea,  =  ∧ .

Producto de tres vectores: Producto mixto

Consideraremos el caso del llamado producto mixto de tres vectores. Es un número o magnitud escalar que se obtiene, partiendo del producto vectorial de dos vectores y , multiplicado escalarmente por un tercer vector .

En primer lugar, se resuelve el producto vectorial. El vector resultante se multiplica escalarmente por el vector .

Este producto de tres vectores es numéricamente igual al volumen del paralelepípedo formado por los vectores , y .

Efectivamente, hemos dicho antes que el módulo del producto vectorial es igual al área que forman los vectores factores, y .

El módulo del producto escalar es: │ ∧ │ · ││ · cos α.

││ · cos α es la altura h del paralelepípedo formado por los vectores , y , cuando se toma como base la cara formada por , . Esta es la demostración de que el producto mixto es igual al volumen del paralelepípedo de la figura.