Paralelogramo

Paralelogramo

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Dibujo de un paralelogramo

Un paralelogramo es un polígono con cuatro lados (cuadrilátero) siendo éstos iguales y paralelos dos a dos.

Elementos y propiedades del paralelogramo

Dibujo de los elementos del paralelogramo

  • Lados: el paralelogramo tiene cuatro lados, siendo iguales y paralelos dos a dos (a y b).
  • Ángulos: los ángulos interiores son iguales dos a dos, siendo iguales los ángulos no consecutivos (α y β). Como en todo cuadrilátero, sus ángulos interiores suman 360° (2α + 2β = 360°).
  • Diagonales: en el caso de que las diagonales (D1 y D2) sean perpendiculares, el paralelogramo será un cuadrado o un rombo. Si las diagonales son iguales, es un cuadrado o un rectángulo.

    Sus dos diagonales se pueden calcular mediante la ley del paralelogramo.

Tipos de paralelogramo

Los paralelogramos se clasifican en cuatro clases:

  • Cuadrado: cuadrilátero cuyos lados y ángulos son iguales.
  • Rectángulo: tiene los cuatro ángulos iguales (de 90º) y los lados iguales dos a dos, siendo diferentes los lados adyacentes.
  • Rombo: todos los lados son iguales pero los ángulos son diferentes dos a dos, de manera que los ángulos adyacentes son diferentes y cada ángulo es igual al ángulo no adyacente.
  • Romboide: tiene sus lados y ángulos iguales dos a dos. El romboide también es denominado paralelogramo no regular.
Dibujo de los tipos de paralelogramo

Área del paralelogramo

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Dibujo del área del paralelogramo

Para calcular el área del paralelogramo, hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados.

Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base. El área es el producto de la base y la altura.

Fórmula del área del paralelogramo

Dibujo del área del paralelogramo 2

Otro procedimiento para hallar el área del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre sí (a y b) y el ángulo que forman estos (sea α o β):

Fórmula del área del paralelogramo por los ángulos interiores

sen α = sen β porque son ángulos suplementarios.

Esta expresión del área del paralelogramo se corresponde con el módulo del vector producto vectorial de los vectores a y b:

Fórmula del área del paralelogramo por el producto vectorial

Ahora tenemos un paralelogramo, del que se conocen las coordenadas de sus vértices. Si consideramos las componentes de dos vectores (correspondientes a dos lados consecutivos del paralelogramo en el plano coordenado), el área del paralelogramo formado es el valor absoluto del determinante de esos dos vectores columna, será (en un ejemplo):

Fórmula del área del paralelogramo por determinantes

Y el valor del área es (recordando que es el valor absoluto del determinante):

Fórmula 2 del área del paralelogramo por determinantes

Igualmente, se puede calcular el área por determinantes a partir de las coordenadas de tres de sus vértices:

Fórmula del área del paralelogramo por determinantes sabiendo tres vértices

O, también, a partir de las dos diagonales y el ángulo que forman:

Fórmula del área del paralelogramo por los ángulos interiores 2

Perímetro del paralelogramo

El paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos. Su perímetro será la suma de los cuatro lados, que es el doble de la suma de los dos lados diferentes.

Dibujo del perímetro del paralelogramo

Fórmula del perímetro del paralelogramo

Ley del paralelogramo

Dibujo del paralelogramo para enunciar la ley del paralelogramo

La ley del paralelogramo enuncia que la suma de los cuadrados de los cuatro lados (dos lados a y dos b) de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales (D1 y D2) de éste. Se puede expresar así:

Fórmula de la ley del paralelogramo

Un caso particular es que el paralelogramo sea un rectángulo, en cuyo caso las dos diagonales son iguales (D1=D2). Entonces, la ley del paralelogramo queda reducida al teorema de Pitágoras.

Método del paralelogramo

El método del paralelogramo es un procedimiento gráfico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores.

Dibujo del paralelogramo para enunciar el método del paralelogramo

Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala, con el punto de aplicación común.

Seguidamente, se completa un paralelogramo, dibujando dos segmentos paralelos a ellos.

El vector suma resultante (a+b) será la diagonal del paralelogramo con origen común a los dos vectores originales.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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109 comentarios en “Paralelogramo”

    1. Sabes que el área és
      A = b * h
      A = 36 * 8 = 288
      La misma área será teniendo el lado corto de base.
      288 = 12 * h12

  1. Jessica rodriguez

    hOla me pueden ayudar
    El perímetro de un paralelogramo es 100 cm y uno de los lados es igual 3/12 del otro. Hallar los lados

  2. Me dicen: Calcula la longitud de la base del paralelogramo si el área, en metros cuadrados, está dada por la expresión 14k^8h^4, mientras que su altura, en metros, está dada por 7k^3h^2

    1. No entiendo el sentido del símbolo «^» en este caso.
      Por otra parte, con dos variables k y h no se puede resolver la ecuación del área.

  3. Hola me podrían ayudar:
    Las longitudes de los dos lados opuestos más largos de un paralelogramo
    miden 10 cms. respectivamente. Si las dos diagonales forman un ángulo de
    56° y la diagonal menor mide 7 cms; determinar la longitud de la diagonal
    mayor.

    1. El angulo suplementario de δ = 56° es γ = 180 – 56 = 124°
      Ves a Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Tienes un triángulo con un ángulo de 124°, lado opuesto de 10 cm y lado adyacente de 7/2 cm.
      En esa página está la solución
      Dos lados y un ángulo, caso 2.
      Con el teorema del seno

    1. Ves a la página Cuadrado de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Lado a = perímetro/4
      Área = a² = /2
      Despeja D

    2. Ves a la página Cuadrado de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Área = a² = D²/2 = 2√6
      Despeja D
      Área = a² = 2√6
      Despeja a
      Perímetro = 4a

  4. Fan de: Universo de Formulas

    Una app genial siempre la uso, pero podríais decirme la respuesta de lo diguiente ?
    Calcula el volumen de un prisma de 7 cm de altura, cuyas base son rombos con diagonales 6 y 4 ?
    Por favooor

    1. Ves a volumen de un prisma de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Ves a area de un rombo también de UNIVERSO FÓRMULAS.
      V = [(6 * 4 ) / 2] * 7 cm³

  5. Hola, necesito saber como hallar la longitud de los lados un paralelogramo ABCD, si AB es (4x+1), BC es (3x+6), y CD es (7x-5)

    1. 4x + 1 =7x – 5
      6 = 3x
      x = 2
      AB = 4*2 + 1 = 9
      AB = CD = 7*2 – 5 = 9
      BC = 3*2 + 6 = 12 = DA

  6. Necesito saber el area y perimetro de un paralelograma, si se sabe que una diagonal mide 17m y los angulos internos 192° y 168°

    1. Los ángulos internos de un paralelogramo no pueden medir eso.
      La suma es 360° y los ángulos son iguales dos a dos.

  7. ABCD es un paralelogramo, hallar la medida de cada lado sabiendo que los lados desiguales miden
    AB = 3X-2
    BC = 2X-1
    y el perímetro = 34cm

  8. Hola, una pregunta.. me piden hallar el area de un paralelogramo sabiendo que la base es 60cm y el segmento perpendicular de un vértice de la base mide 3,25 cm como hago???? Gracias

    1. Penélope, entiendo que el segmento perpendicular de un vértice a la base es la altura. El área sería:
      A = 60 * 3,25 cm²

  9. Maria hernandez

    Necesito ayuda, me dan un romboide cuyo lado mide 65cm y uno de sus angulos es 75, me piden hallar area y perimetro

    1. Con un lado y un ángulo no se puede deducir área y perímetro de un romboide (UNIVERSO FÓRMULAS).
      Un romboide tiene dos pares de lados iguales y paralelos entre si dos a dos.

    1. Tiene dos. Como un paralelogramo tiene dos pares de lados iguales y paralelos, hay una altura referida a cada uno de los dos pares de lados.

  10. Hola alguien me puede ayudar con un problema
    me piden hallar la longitud de cada lado de un paralelogramo si su perimetro es de 40m y uno de sus lados mide 2x y el otro 3x
    Gracias.

  11. quien me puede ayudar con este ejercicio me piden calcular la medida de c y d de un paralelogramo si uno de sus lado mide 800cm

  12. Queria saber si alguien puede explicarme, si alguien te pide que armes un paralelogramo y solo te dice que sus lados miden 6cm y 4cm a que se refiere esto? Y cuantos paralelogramos pueden sacarse a partir de eso

  13. hola,quisiera que me ayudaran con mi problema

    Calcule el ángulo interno A del paralelogramo, cuyos vértices son los puntos A(1,1), B(3,5), C(11,6) y D(9,2).
    Grafique.

    1. Si lo graficas, verás que es un paralelogramo no regular, es decir un romboide.
      Halla el ángulo que forma el lado AD con la horizontal.
      tan (AD) = (2 – 1) / 9 – 1) = 1 / 8
      arctan (1 / 8) = 7,125°
      Ahora el ángulo entre el lado AB y la horizontal.
      tan (AB) = (5 – 1) / (3 – 1) = 2
      arctan 2 = 63,43°
      El ángulo A será la diferencia 63,43° – 7,125° = 56,305°
      Como los ángulos interiores de un paralelogramo son iguales dos a dos y los cuatro ángulos suman 360°, podrás fácilmente hallar el ángulo B.
      A + B + C + D = 360°
      2A + 2B = 360°
      Los ángulos A y C y los ángulos B y D son iguales dos a dos.

  14. hola necesito ayuda con las figuras es muy dificil dice, indicar las propiedades de los lados de las siguientes figuras lo q no entiendo es q eran las propiedades

  15. Hola, queria que me ayuden con un problema dice: Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un angulo de 36 grados y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determine la longitud de la diagonal mayor.

    1. Mediante el enlace de esta página ves al método del paralelogramo.
      Aplica la fórmula.
      La diagonal mayor dará una longitud de 10,58 cm

  16. Las diagonales de un paralelogramo que miden 16 cm y 10 centímetros respectivamente se cortan en sus puntos medios y el ángulo que se forma entre ellos es de 60 grados¿Cuál es la medida de los lados del paralelogramo? Recuerda que cos (120°) = – cos(60°)

    1. Aplica el teorema del coseno (ver UNIVERSO FÓRMULAS). De un triángulo, conoces dos lados D1 / 2 y D2 / 2 y el ángulo que forman γ (en este caso 60° y 120°).
      = (D2 / 2)² + (D1 / 2)² – 2 * (D2 / 2)² * (D1 / 2)² * cos γ
      = 8² + 5² – 2 * 8 * 5 * cos 60°
      Resultados:
      a = 7
      b = 11,36
      Espero que te sirva

  17. Hola buenos días quisiera que me ayuden con mi problema ,me pide que halle la altura de un paralelogramo si su área es de 800cm2 y la base mide la mitad de la altura

    1. Área = b * h
      b = h / 2
      Á = (h / 2) * h
      800 = / 2
      Despeja la altura y resuelve
      (h = 20 cm).

  18. Hola, quisiera de su apoyo ya que me están ofreciendo en venta un terreno el cual tiene de medidas 15.05 de frente y 23.23 de fondo, según yo 349.61 metros cuadrado, pero el arquitecto me dicen que son 348.52 metros cuadrados, al buscar aclarar mi duda y saber porque no me da lo mismo que a él, me respondió que utilizo el método paralelogramo. Podrán decirme si las medidas del arquitecto son correctas, ya que según mi ignorancia en el tema estaría perdiendo 1.09 metro 🙁 gracias.

    1. La forma de salir de dudas es medir las dos diagonales. Si fuesen estas iguales, tendría usted razón, aunque me temo que su terreno no tendrá forma exactamente rectangular. Los cuatro ángulos no serán, en ese caso, de 90°. Sería un romboide.
      Lo que ocurre es que para hallar el área sabiendo los dos lados y el ángulo que forman habría que utilizar el producto vectorial.
      El método del paralelogramo sólamente le serviría al arquitecto para confirmar la longitud de una de las diagonales sabiendo un ángulo

  19. en mi escuela me dejaron que dos lados adyacentes de un paralelogramo miden 3472.7 y 4822.3 cm ,respectivamente y el angulo comprendido mide 72°14´. encontrar la longitud de la diagonal mayor

    1. Consulta la página Método del paralelogramo.
      Aplica la fórmula del módulo del vector resultante, que es la diagonal mayor que buscas (mayor en este caso)

  20. Me pidieron resolver este problema y la verdad que nesesito ayuda por favor me podrian ayudar…. ¿Cuanto mide la radio de la circunferencia inscrita en un trapecio rectangulo, si sus bases miden 30 y 70?

    1. Consulta la página trapecio en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Allí podrás comprobar que solamente se podria inscribir una circunferencia en un trapecio isósceles.
      Por lo tanto, en tu trapecio rectángulo, sea cual sea su altura, no se puede inscribir ninguna circunferencia.

    2. Hola buenos días quisiera que me ayuden a ver la suma de mi paralelogramo interno ya que solo tengo un solo valor y es 3x-13

    1. En esta misma página, y específicamente en ley del paralelogramo consulta su fórmula.
      2 * (a² + b²) = D1² + D2²
      2 * (30² + 70²) = 17² + D2²
      Espero que te sirva

    1. Si tienes el ángulo exterior (digamos que de valor θ), suplementario del interior, pongamos que α, pues ya tienes los dos ángulos α:
      180° – θ = α
      Como los ángulos interiores de todo cuadrilátero suman 360°, ya tienes los dos que te faltan, que son β
      β = (360 – 2α) / 2

  21. hola, tengo una duda en mi escuela me dieron in paralelogramo bisecado una solo vez y me dieron la medida de solo un Angulo. Quieren que saque las demas medidas sin mas informacion. Como lo hago?

    1. Un paralelogramo propiamente no tiene bases. Cuando hallamos el área, multiplicamos un lado por la altura relativa a ese lado, que entonces le llamamos base.

    1. Suman 180°
      Los ángulos interiores son iguales dos a dos, siendo iguales los ángulos no consecutivos.
      Como los cuatro ángulos interiores de un cuadrilátero convexo suman 360°, dos de sus ángulos consecutivos sumarán 360 / 2 = 180°
      Busca Ángulos interiores de un polígono en UNIVERSO FÓRMULAS:
      θ = 180(N-2) = 180(4-2) = 360°

  22. Si las diagonales dela paralelogramo se especifican mediante los vectores A=2ax + 3ay – 5az y B= -4ax – ay + 5az . Como sacar las expresiones para los lados?

  23. hola, cual es la formula para hallar el lado b , conociendo h ó la altura y el lado a, otra pregunta como se sacaria el area para este caso. Muchas gracias, muy buena la pagina, felicidades

  24. Necesito mas informacion…. Y se las pido a ustedes porque se que es una fuente segura y clara… Espero una respuesta de ustedes… Dios les bendiga

  25. alessandra lizeth garcia gutierrez

    me encanto esta pagina , la profesora de mi clase no las recomendó y en realidad si te ayuda mucho a resolver la tarea o practicar para exámenes y viene mucha imformacion que te sirve

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