Área de un trapecio

Área de un trapecio

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El área de un trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio. Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio, que se obtiene como la media de las dos bases a y b: M=(a+b)/2.

Dibujo del área de un trapecio

Fórmula del área de un trapecio

Otros dos procedimientos permiten hallar el área de un trapecio cuando se conocen solamente sus cuatro lados a, b, c y d.

Para explicar el proceso lo acompañaremos de imágenes:

Dibujo de los lados de un trapecio para obtener la fórmula 2 de su área.

Donde a y b son las bases, mayor y menor respectivamente.

El primero consiste en aplicar directamente esta fórmula:

Segunda fórmula para el área de un trapecio

El segundo procedimiento consiste en hacer una operación geométrica, aplicar después la fórmula de Herón, terminando con la fórmula general del área del trapecio.

Dibujo del procedimiento del método 2 para obtener el área del trapecio

Sobre la base a y a su izquierda, trazamos el segmento, al que llamaremos M = a – b.

Desde los extremos de M trazamos dos arcos de radios c y d. Donde se cortan es el vértice superior izquierdo del trapecio.

Ahora desde este vértice superior izquierdo trazamos un arco de radio b. Desde el extremo derecho de la base a trazamos un radio de longitud del lado d. Ya tenemos construido el trapecio.

Este procedimiento sirve únicamente para ilustrar el cálculo.

Vamos ahora al triángulo formado por los lados M, c y d.

Hallamos su área mediante la fórmula de Herón (adaptada a los lados de este triángulo en particular).

Cálculo con la fórmula de Herón para obtener la fórmula del área del trapecio.

Una vez hallada, vas a la fórmula general del área de un triángulo:

Cálculo con la altura del triángulo para obtener la fórmula del área del trapecio.

Con lo que tenemos la altura h del triángulo, que es también la del trapecio.

A partir de aquí, ya tienes los valores para aplicar la fórmula del área del trapecio.

Fórmula 2 del área del trapecio.

Área de un trapecio a partir de sus diagonales

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El área del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el ángulo que forman.

Dibujo del área de un trapecio a partir de las longitudes de las diagonales

Así, la formula es:

Fórmula del área de un trapecio sabiendo las diagonales y el ángulo que forman

Donde los senos de los ángulos ε y θ son iguales por ser ángulos suplementarios.

Fórmula del área de un trapecio sabiendo las diagonales que son perpendiculares

Un caso particular es cuando el ángulo que forman las diagonales del trapecio es un ángulo recto de seno igual a 1:

Y la fórmula del área queda simplificada a la de todo cuadrilátero cuyas diagonales sean perpendiculares:

Fórmula del área de un trapecio sabiendo las diagonales que son perpendiculares

Ejercicios

Ejercicio 1

Dibujo de un ejemplo de trapecio para el cálculo de su área.

Sea un trapecio en el que se conocen la altura (h) y las dos bases (los dos lados paralelos a y b). En particular la altura es h=4 cm y las dos bases a=6 cm y b=3 cm.

Su área será el producto de la altura por la media de las bases:

Cálculo del área del ejemplo 1 de trapecio mediante su fórmula

Y se obtiene que el área de este trapecio es de 18 cm2.

Ejercicio 2

Hallar el área de un trapecio, sabiendo que sus lados son: a = 7 cm, b = 4 cm, c = 4,47 cm, d = 4,12 cm.

Dibujo del ejemplo 2 de trapecio para el cálculo de su área.

Obtendremos la base del triangulo M = 7 – 4 = 3 cm.

Aplicaremos la fórmula de Herón al triángulo de lados M (3 cm), c (4,47 cm) y d (4,12 cm).

Semiperímetro s = 5,8 cm.

Con la fórmula de Herón y los datos nos da un área del triángulo de 5,8 cm2.

Y con la fórmula general del área de un triangulo, nos da h = 4 cm.

Sólamente queda aplicar la fórmula del área del trapecio:

Cálculo del área del ejemplo 2 de trapecio mediante su fórmula

Obteniendo que el área de este trapecio es de 22 cm2.

Si hubiésemos aplicado directamente la fórmula:

Segunda fórmula para el área de un trapecio

Obtendríamos el mismo resultado.

Ejercicio 3

Dibujo del ejemplo 3 de trapecio para el cálculo de su área.

Hallar el área de un trapecio de 7 cm y 3 cm de bases y 4 cm de altura.

Solución:

Aplicamos la fórmula general del àrea del trapecio:

Cálculo del área del ejemplo 3 de trapecio mediante su fórmula

Ejercicio 4

Dibujo del ejemplo 4 de trapecio para el cálculo de su área

Hallar el área de un trapecio cuyas bases miden 7 cm y 3 cm y sus lados oblicuos 5 cm y 4,12 cm. Calcular la longitud de sus diagonales.

Solución:

Se aplica, en primer lugar, la ecuación del área del trapecio, cuando se conocen sus cuatro lados:

Cálculo del área del ejemplo 4 del área de un trapecio

Ahora vamos a averiguar las diagonales:

Dibujo de la segunda parte del ejemplo 4 de área de un trapecio

Mediante las fórmulas que depende también de los lados:

Fórmula de las diagonales del trapecio

Y aplicamos los valores de los cuatro lados.

En primer lugar se halla la diagonal D1:

Cálculo de la diagonal D1 del ejemplo 4 del área de un trapecio

Después calcularemos la longitud de la diagonal D2:

Cálculo de la diagonal D2 del ejemplo 4 del área de un trapecio

Ejercicio 5

Dibujo del ejemplo 5 del área de un trapecio

Hallar el área de un trapecio cuyas diagonales miden 6,71 cm y 4,24 cm. Las diagonales forman entre sí un ángulo de 75,57°.

Solución:

Mediante la fórmula del área por las diagonales y su ángulo, se le aplican los valores y:

Cálculo de la solución del ejemplo 5 del área de un trapecio

Con lo que el área tendrá 13,5 cm2.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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66 comentarios en “Área de un trapecio”

  1. ARCSA/ Arquitectos & Constructores, S.A.)

    Excelente recordar y practicr los procedimientos. Nos ha servido mucho para poder explicar a clientes como desmembrar ciertas ares de terreno irregulares en donde iria su construccion. felicidades.

    1. En la página de inicio, al pié hay una ‘Nota aclaratoria’ referida a los signos usados en esta web.

  2. Naomi ixchel morales ovando

    A no le entiendo N A D A :’v alguien me explica :»v? Lo único que entendí:

    Si 2+2=🐟 es lo u ico k entendí 0/0 0 estrellas la verdad >:c

  3. si al determinar él área según la fórmula de Herón, la respuesta me da cero que hago, o sea tengo estos datos = a=15, b= 10; c= 20 y d= 25, La M= 5,; La S= 25; entonces la fórmula queda así Área= raiz cuadrada de 25.(25-5) . (25-20) . (25-25) y como el último resultado da cero, todo da cero.

  4. Y si al trapecio solo le conozco la altura y el ángulo del triángulo rectángulo correspondiente ¿No se pueden calcular ambas bases?

    1. No, imaginate que con esa altura i la inclinación del lado oblicuo (éste sí que se puede hallar), puedes construir un trapecio alargado con bases mucho más grandes que la altura, o, al contrario, puede salirte un trapecio de bases cortas.

    1. Hay métodos gráficos y analíticos. Te doy uno con los dos componentes.
      Formas un triángulo donde la base sea la diferencia de las dos bases del trapecio (a y b). Dile a esa base: B=(a-b).
      Si los otros dos lados del trapecio son c y d, estos son los dos lados que te faltan para formar un triángulo de lados B, c y d.
      Con la fórmula de Herón halla el área de ese triángulo. La fórmula la tienes en la web. Una vez hallada, haces:
      Área triángulo = B*h/2
      h = 2*Área/B
      Ya tienes la altura del triángulo, que es tambien la altura del trapecio h.
      Y área del trapecio = h*(a+b)/2

    1. No te felicito,esto lo enseñan por 6to año de primaria, y si estas ahí, lo entiendes porque repetiste y te lo enseñaron varias veces crack, bye

    1. Universo Formulas Respuestas

      EstudianteSpidey, en la web empleamos generalmente el símbolo «·» como símbolo de multiplicar. En otros sitios se emplea «x«, pero empleamos el primero por evitar la confusión en alguna fórmulacon la variable «x«.
      «

    1. Universo Formulas Respuestas

      Supongo que tratas la pregunta de Alicia. La solución correcta es la semisuma de bases por altura, es decir ((x/3 + x)/2)·x = (4 · equis cuadrada) / 6. (Una área no puede ser de tercer grado, o equis cúbica)

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