Área

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El área es la superficie de una figura geométrica. O dicho de otra forma, a la superficie comprendida dentro de un perímetro. El área se expresa siempre en unidades de superficie, que son unidades de longitud al cuadrado (ej: cm2, m2,…).

El área se calcula tanto de las figuras geométricas de dos dimensiones como de la superficie exterior de los cuerpos geométricos de tres dimensiones.

Área de un triángulo

El área de un triángulo se calcula por diferentes procedimientos según el tipo de triángulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triángulo.

Dibujo del triángulo escaleno con un lado y la altura conocidos.

La fórmula general para calcular el área de un triángulo es:

Fórmula general del área de un triángulo.

Veamos cual es la fórmula según el tipo de triángulo:

Tabla de las fórmulas del área del triángulo según las razones que conocemos

Descárgate esta calculadora para obtener los resultados de las fórmulas de esta página. Elige los datos iniciales e introdúcelos en el recuadro superior izquierdo. Para resultados, pulsa INTRO.

Triangulo-total.rar         o bien   Triangulo-total.exe      

Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).

Triángulo equilátero

El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales. Su área, como en todo triángulo, será un medio de la base (a) por su altura. En el triángulo equilátero viene definida por la siguiente fórmula:

Dibujo del triángulo equilátero

Fórmula del área de un triángulo equilátero

Triángulo isósceles

El área de un triángulo isósceles, como en todo triángulo, será un medio de la base (b) por su altura. En el triángulo isósceles se calcula mediante la siguiente fórmula:

Dibujo del triángulo isósceles para el cálculo de su área

Fórmula del área de un triángulo isósceles

Triángulo escaleno

El área del triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón si se conocen todos sus lados (a, b y c).

Dibujo del triángulo escaleno con los lados conocidos.

Fórmula del área de un triángulo escaleno

También se podría calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado.

Dibujo del triángulo escaleno con un lado y la altura conocidos.

Fórmula del área de un triángulo escaleno conociendo un lado y la altura asocidada.

Triángulo rectángulo

Dibujo del triángulo rectángulo.

El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º), por lo que su altura coincide con uno de sus lados (a). El área es la mitad del producto de los dos lados que forman el ángulo recto (catetos a y b).

Fórmula del área de un triángulo rectángulo.

Triángulo de base y altura conocidas

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El área de cualquier triángulo puede calcularse conociendo un lado y la altura asociada a dicho lado. Éste lado ejerce como base.

Su área será un medio del producto de la base (b) por la altura (h).

Dibujo del triángulo con base y altura conocidas.

Fórmula del área de un triángulo con base y altura conocidas.

Fórmula de Herón

La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetro del triángulo s y de la longitud de los lados (a, b y c).

Dibujo de un triángulo cualquiera.

Fórmula de Herón. Fórmula del área de un triángulo con los tres lados conocidos.

Triángulo con razones trigonométricas

Dibujo del triángulo con sus lados y ángulos

Cualquier triángulo puede resolverse (resolución de triángulos) si se conocen tres de sus elementos, donde, como mínimo, uno de ellos debe de ser un lado.

En particular, conociendo dos de sus lados y el ángulo que forman se puede calcular el área de un triángulo.

Por lo tanto, se pueden aplicar tres fórmulas para el cálculo del área dependiendo de los dos lados que se conozcan (a y b, a y c o b y c).

Fórmula del área de un triángulo por razones trigonométricas

Área de un cuadrilátero

Dibujo de cuadrilátero

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados (a, b, c y d). Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos, llamados vértices (A, B, C y D).

Dependerá del tipo de cuadrilátero que sea, la fórmula será una u otra:

Paralelogramo

Dibujo del área de un paralelogramo

Para calcular el área de un paralelogramo, hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados.

Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base. El área del paralelogramo es el producto de la base y la altura.

Fórmula del área de un paralelogramo

Dibujo del área del paralelogramo 2

Otro procedimiento para hallar el área del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre sí (a y b) y el ángulo que forman estos (sea α o β):

Fórmula del área del paralelogramo por los ángulos interiores

sen α = sen β porque son ángulos suplementarios.

O, también, a partir de las dos diagonales y el ángulo que forman:

Fórmula del área del paralelogramo por los ángulos interiores 2

Cuadrado

Dibujo del cuadrado para el cálculo de su área

El área de un cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a). Es el producto de la base por la altura del cuadrado, ya que al ser ambas iguales, el área será un lado al cuadrado.

Fórmula del área de un cuadrado

La fórmula del área de un cuadrado también podría obtenerse directamente de la fórmula del área del paralelogramo. En particular, si la base del cuadrado es uno de sus lados, la altura relativa a la base será un lado del cuadrado, derivando en la fórmula del área anterior.

Dibujo de la diagonal del cuadrado

O también a partir de sus diagonales:

Fórmula del área de un cuadrado a partir de las diagonales

Rectángulo

Dibujo del rectángulo para el cálculo de su área

El área de un rectángulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b). Es el producto de los dos lados contiguos del rectángulo.

Fórmula del área de un rectángulo

Esta fórmula también podría obtenerse de la fórmula del área del paralelogramo. Si la base del rectángulo es uno de sus lados (en este caso b) , la altura relativa a la base será el lado a, y aplicando la fórmula anterior obtendríamos la del área del rectángulo.

Para calcular el área a partir de la longitud de la diagonal y del ángulo que forman las dos diagonales, se empleará:

Fórmula del área a partir de sus diagonales

Rombo

Dibujo del área de un rombo

Existen varias fórmulas para calcular el área de un rombo. La más común es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares). El área es la mitad del producto de las diagonales (D y d).

Fórmula del área de un rombo

Dibujo del área del rombo para calcular su área mediante la fórmula del paralelogramo.

Otra forma de calcular el área del rombo es mediante la fórmula del área del paralelogramo. En este caso, un lado (a) se considera la base del rombo. Se mide la altura (h) relativa a dicha base, de manera que el área será el producto de la base por la altura.

Fórmula del área del rombo mediante la fórmula del área del paralelogramo

Dibujo del rombo para calcular su área mediante la fórmula del paralelogramo su lado y ángulos

Y una tercera fórmula se obtiene a partir del lado y un ángulo:

Fórmula del área del rombo mediante la fórmula del área del paralelogramoel lado y el ángulo

Romboide

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Dibujo del área de un romboide

El área de un romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado. Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo.

Fórmula del área del romboide

Dibujo del área del romboide 2

Otro procedimiento para hallar el área del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre sí (a y b) y el ángulo que forman estos (sea α o β):

Fórmula del área del paralelogramo por los ángulos interiores

sen α = sen β porque son ángulos suplementarios.

O, también, a partir de las dos diagonales y el ángulo que forman:

Fórmula del área del paralelogramo por los ángulos interiores 2

Trapecio

Dibujo del área del trapecio

El área de un trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio. Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio, que se obtiene como la media de las dos bases a y b: M=(a+b)/2.

Fórmula del área del trapecio

Trapezoide

Dibujo del trapezoide y sus cuatro vértices

Para calcular el área de un trapezoide es necesario dividirlo en triángulos.

Dibujo de los dos triángulos en los que se divide un trapezoide para calcular su área.

Sea un trapezoide con vértices A, B, C y D. Se divide el éste en dos triángulos, el ABD y el BCD.

Dibujo del área del trapezoide

El área del trapezoide será la suma de las áreas de los dos triángulos. El área de los triángulos es el producto de su base por altura dividido por dos. El segmento BD es la base de ambos triángulos. Sus alturas serán el segmento perpendiculares a BD que van desde el mismo segmento hasta los vértices A y C.

Como resultado, se obtiene que la fórmula del área del trapezoide es:

Fórmula del área del trapezoide

Área de un pentágono

Pentágono regular

Dibujo del área del pentágono regular

El área del pentágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.

Al ser su perímetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Fórmula del área del pentágono regular

Como la apotema del pentágono regular se calcula con esta fórmula (a partir de la apotema de un polígono regular):

Cálculo de la apotema para el cálculo del área del pentágono regular

Donde α es el ángulo interior del pentágono regular. Así, la fórmula del área del pentágono regular también se puede expresar:

Segunda fórmula del área del pentágono regular

Pentágono irregular

Dibujo del área del pentágono irregular

El cálculo del área de un pentágono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el pentágono en cinco triángulos y calcular el área sumando las cinco áreas de los triángulos.

Fórmula del área del pentágono irregular

Área de un hexágono

Hexágono regular

Dibujo del área del hexágono regular

El área del hexágono regular se calcula como la mitad del producto del perímetro y la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.

Al ser su perímetro seis veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Fórmula del área del hexágono regular

Como la apotema del hexágono regular se calcula con esta fórmula (a partir de la apotema de un polígono regular):

Cálculo de la apotema para el cálculo del área del hexágono regular

Donde α es el ángulo interior del hexágono. Así, la fórmula del área del hexágono regular se puede expresar así:

Segunda fórmula del área del hexágono regular

En la que, agrupando las constantes, con aproximación a dos decimales, se queda así:

Tercera fórmula del área del hexágono regular

Hexágono irregular

Dibujo del área del hexágono irregular

El área del hexágono irregular requiere ser calculada por métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el hexágono en seis triángulos y calcular el área sumando las seis áreas de los triángulos.

Fórmula del área del hexágono irregular

Área de un heptágono

Heptágono regular

Dibujo del área del heptágono regular

El área del heptágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.

Al ser su perímetro siete veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Fórmula del área del heptágono regular

Como la apotema del heptágono regular se calcula con esta fórmula:

Cálculo de la apotema para el cálculo del área del heptágono regular

Donde α es el ángulo interior del heptágono. Así, la fórmula del área del heptágono se puede expresar así:

Segunda fórmula del área del heptágono regular

En la que, agrupando las constantes, con aproximación a tres decimales, se queda así:

Terceraa fórmula del área del heptágono regular

Heptágono irregular

Dibujo del área del heptágono irregular

El cálculo del área de un heptágono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el heptágono en siete triángulos y calcular el área sumando las siete áreas de los triángulos.

Fórmula del área del heptágono irregular

Área de un octógono

Octógono regular

Dibujo del área del octógono regular

El área del octógono regular se calcula como la mitad del producto del perímetro y la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.

Al ser su perímetro ocho veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Fórmula del área del octógono regular

Se calcula su apotema con esta fórmula:

Cálculo de la apotema para el cálculo del área del octógono regular

Donde α es el ángulo interior del octógono. Así, la fórmula del área del octógono regular se puede expresar así:

Segunda fórmula del área del octógono regular

En la que, agrupando las constantes, con aproximación a dos decimales, se queda así:

Tercera fórmula del área del octógono regular

Otro procedimiento para hallar el área del octógono regular es a partir del radio de la circunferencia circunscrita. Ese radio R es el segmento que une el centro del octógono con uno de sus vértices.

Dibujo y fórmula del área de un octógono regular a partir de la circunferencia circunscrita

Octógono irregular

Dibujo del área del octógono irregular

El área de un octógono irregular requiere para ser calculada de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el octógono en ocho triángulos y calcular el área mediante la suma de las ocho áreas de los triángulos.

Fórmula del área del octógono irregular

Área del círculo

Dibujo del área de un círculo

El área del círculo es igual al producto de π por el radio (r) al cuadrado.

Fórmula del área de un círculo

También se puede calcular el área conociendo el diámetro del círculo (D), ya que éste es el doble del radio.

Como un círculo es un polígono regular de infinitos lados, podemos aplicar la fórmula general del área del polígono regular:

Cálculo de la fórmula del área del círculo.

Área del semicírculo

Dibujo del área del semicírculo

El área de un semicírculo se calcula a partir de su radio (r).

Fórmula del área del semicírculo

Ésta también se puede calcular como la mitad del área del círculo.

Área de la corona circular

Dibujo del área de la corona circular

La fórmula del área de una corona circular es:

Fórmula del área de la corona circular

Área de la elipse

Dibujo del área de una elipse

El área de una elipse es π veces el producto de los dos semiejes (a y b). Estrictamente se llama área comprendida dentro de una elipse, ya que la elipse suele considerarse como solo su trazo, no su interior.

Fórmula del área de la elipse

Dibujo del área del círculo

En el caso de que los dos semiejes sean iguales (r=a=b), su fórmula es la misma que el área comprendida dentro de una circunferencia (o lo que es lo mismo, el área del círculo):

Fórmula del área del círculo

Área de un prisma

El área de un prisma es la suma del área de las dos bases (Ab) más el área de los paralelogramos de las caras laterales (en el prisma recto es el resultado de multiplicar el perímetro de la base Pb por la altura (h) del prisma, que coincide con una arista lateral).

Dibujo del área de un prisma recto

La fórmula del área del prisma recto es:

Fórmula del área del prisma recto

Prisma oblicuo

El área de un prisma oblicuo se calcula de manera diferente a la del prisma recto.

Dibujo del área de un prisma oblicuo

Las áreas de las bases se calculan de la misma forma, pero el área de los laterales se calcula mediante una arista lateral y el perímetro de la sección recta del prisma. La sección recta es la intersección de un plano con el prisma, de manera que forme un ángulo de 90º con cada una de las las aristas laterales.

La fórmula del área del prisma oblicuo es:

Fórmula del área del prisma oblicuo

Prisma triangular

Prisma triangular regular

Dibujo del área del prisma triangular

Fórmula del área del prisma triangular

Prisma triangular irregular

Fórmula del área del prisma triangular irregular

Prisma cuadrangular

Prisma cuadrangular regular

Dibujo del área del prisma cuadrangular

Fórmula del área del prisma cuadrangular

Prisma cuadrangular irregular

Fórmula del área del prisma cuadrangular irregular

Prisma pentagonal

Prisma pentagonal regular

Dibujo del área del prisma pentagonal

Fórmula del área del prisma pentagonal

Prisma pentagonal irregular

Fórmula del área del prisma pentagonal irregular

Prisma hexagonal

Prisma hexagonal regular

Dibujo del área del prisma hexagonal

Fórmula del área del prisma hexagonal

Prisma hexagonal irregular

Fórmula del área del prisma hexagonal irregular

Área de una pirámide

Dibujo del área de la pirámide

El área de la pirámide se calcula mediante la suma del área de la base (Ab) y el área de los triángulos de las caras laterales (Al).

Fórmula del área de la pirámide

El área de la base (Ab) se calcula según el polígono que sea la base.

El área de las caras laterales (Al) es la suma del área de los triángulos de las caras laterales. La pirámide tiene tantos triángulos como aristas tiene la base.

Pirámide regular

Dibujo de una pirámide regular

La pirámide regular es aquella que tiene un polígono regular como base y es recta. Sea una pirámide regular con la base de N aristas.

La fórmula del área de la pirámide regular es:

Fórmula del área de la pirámide regular

Pirámide triangular

Pirámide triangular regular

Dibujo de la pirámide triangular regular

Fórmula del área de la pirámide triangular regular

Pirámide triangular irregular

Dibujo de la pirámide triangular irregular para el cálculo de su área
Fórmula del área de la pirámide triangular irregular

Pirámide cuadrangular

Pirámide cuadrangular regular

Dibujo de la pirámide cuadrangular regular

Fórmula del área de la pirámide cuadrangular regular

Pirámide cuadrangular irregular

Dibujo de la pirámide cuadrangular irregular para el cálculo de su área
Fórmula del área de la pirámide cuadrangular irregular

Pirámide pentagonal

Pirámide pentagonal regular

Dibujo de la pirámide pentagonal regular

Fórmula del área de la pirámide pentagonal regular

Pirámide pentagonal irregular

Dibujo de la pirámide pentagonal irregular para el cálculo de su área
Fórmula del área de la pirámide pentagonal irregular

Pirámide hexagonal

Pirámide hexagonal regular

Dibujo de la pirámide hexagonal regular

Fórmula del área de la pirámide hexagonal regular

Pirámide hexagonal irregular

Dibujo de la pirámide hexagonal irregular para el cálculo de su área
Fórmula del área de la pirámide hexagonal irregular

Poliedros regulares

Área del tetraedro

Dibujo del área del tetraedro

Fórmula del área del tetraedro

Área del cubo (hexaedro regular)

Dibujo del área del cubo (o hexaedro regular)

Fórmula del área del cubo

Área del octaedro

Dibujo del área del octaedro

Fórmula del área del octaedro

Área del dodecaedro

Dibujo del área del dodecaedro

Fórmula del área del dodecaedro

Área del icosaedro

Dibujo del área del icosaedro

Fórmula del área del icosaedro

Área de la esfera

Dibujo del área de la esfera

El área de una esfera, es decir, la superficie que envuelve a este sólido de revolución, viene determinado por su radio (r), y se calcula mediante la siguiente fórmula:

Fórmula del área de la esfera

Área del cilindro

Dibujo del área de un cilindro

El área de un cilindro se halla sumando el área de la superficie cilíndrica o área lateral (AL) con las áreas de las dos bases (AB).

Cálculo 1 para obtener la fórmula del área de un cilindro

En particular, el área de un cilindro circular es:

Fórmula del área del cilindro

Área del cono

El área de un cono es la suma del área de la base más el área de la superficie lateral.

El área de la base del cono es Área de la base de un cono y la de la superficie lateral Área lateral de un cono.

Por lo tanto, la fórmula del área total del cono será:

Fórmula del área del cono
Dibujo del área de un cono como suma de su círculo y superficie lateral

Área del tronco del cono

Dibujo del área del tronco del cono

Fórmula del área del tronco del cono

Área del toro

El área de un toro es:

Fórmula del área del toro
Dibujo del área del toro

Donde R es el radio de la circunferencia directriz y r el del círculo generatriz.

Esta fórmula es una aplicación del primer teorema de Pappus-Guldin, donde el centroide de la circunferencia que gira es su centro.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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6 comentarios en “Área”

    1. Bernat Requena Serra

      Hola Esteban,
      Tienes al final de cada página el autor y el año de creación.
      Un saludo.

    1. Tienes varios procedimientos.
      Uno puede ser:
      Área del círculo de radio 50 cm
      Ácir = π = π * 50² cm²
      Área del cuadrado inscrito de diagonales D = 2r = 2*50 cm
      Áreacuad = D²/2 = 100²/2 cm²
      Resta las dos áreas i divide por 4
      (Hay cuatro segmentos circulares iguales).
      Otro, es usar la fórmula que encontrarás en la página segmento circular de UNIVERSO FÓRMULAS, sabiendo que, en este caso, el ángulo α = 90°
      Con los dos procedimientos el área te dará 713,5 cm²

  1. como puedo hallar de un trapecio, que el ejercicio los datos cambia ya se ha en lados y bases, cual seria la formula hallar esa cñase de ejercicios.

  2. Tengo una pregunta. tengo una figura conica donde su base tiene un radio de 12.75 mm y su vertice tiene un radio de 6.25 mm con una generatriz de 103 mm. ahora necesito cortar esta figura a un radio de 9.5 mm. como seria la formula para saber donde corto este cono para que quede la base con el mismo radio y el vertice o apice tenga un radio de 9.50.
    Muchas gracias. 24/Nov/2015

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