El área es la superficie de una figura geométrica. O dicho de otra forma, a la superficie comprendida dentro de un perímetro. El área se expresa siempre en unidades de superficie, que son unidades de longitud al cuadrado (ej: cm2, m2,…).
El área se calcula tanto de las figuras geométricas de dos dimensiones como de la superficie exterior de los cuerpos geométricos de tres dimensiones.
Área de un triángulo
El área de un triángulo se calcula por diferentes procedimientos según el tipo de triángulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triángulo.
La fórmula general para calcular el área de un triángulo es:
Veamos cual es la fórmula según el tipo de triángulo:
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Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).
Triángulo equilátero
El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales. Su área, como en todo triángulo, será un medio de la base (a) por su altura. En el triángulo equilátero viene definida por la siguiente fórmula:
Triángulo isósceles
El área de un triángulo isósceles, como en todo triángulo, será un medio de la base (b) por su altura. En el triángulo isósceles se calcula mediante la siguiente fórmula:
Triángulo escaleno
El área del triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón si se conocen todos sus lados (a, b y c).
También se podría calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado.
Triángulo rectángulo
El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º), por lo que su altura coincide con uno de sus lados (a). El área es la mitad del producto de los dos lados que forman el ángulo recto (catetos a y b).
Triángulo de base y altura conocidas
El área de cualquier triángulo puede calcularse conociendo un lado y la altura asociada a dicho lado. Éste lado ejerce como base.
Su área será un medio del producto de la base (b) por la altura (h).
Fórmula de Herón
La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetro del triángulo s y de la longitud de los lados (a, b y c).
Triángulo con razones trigonométricas
Cualquier triángulo puede resolverse (resolución de triángulos) si se conocen tres de sus elementos, donde, como mínimo, uno de ellos debe de ser un lado.
En particular, conociendo dos de sus lados y el ángulo que forman se puede calcular el área de un triángulo.
Por lo tanto, se pueden aplicar tres fórmulas para el cálculo del área dependiendo de los dos lados que se conozcan (a y b, a y c o b y c).
Área de un cuadrilátero
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados (a, b, c y d). Los lados confluyen dos a dos en cuatro puntos, llamados vértices (A, B, C y D).
Dependerá del tipo de cuadrilátero que sea, la fórmula será una u otra:
Paralelogramo
Para calcular el área de un paralelogramo, hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados.
Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base. El área del paralelogramo es el producto de la base y la altura.
Otro procedimiento para hallar el área del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre sí (a y b) y el ángulo que forman estos (sea α o β):
sen α = sen β porque son ángulos suplementarios.
O, también, a partir de las dos diagonales y el ángulo que forman:
Cuadrado
El área de un cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a). Es el producto de la base por la altura del cuadrado, ya que al ser ambas iguales, el área será un lado al cuadrado.
La fórmula del área de un cuadrado también podría obtenerse directamente de la fórmula del área del paralelogramo. En particular, si la base del cuadrado es uno de sus lados, la altura relativa a la base será un lado del cuadrado, derivando en la fórmula del área anterior.
O también a partir de sus diagonales:
Rectángulo
El área de un rectángulo se calcula a partir de los dos lados diferentes (a y b). Es el producto de los dos lados contiguos del rectángulo.
Esta fórmula también podría obtenerse de la fórmula del área del paralelogramo. Si la base del rectángulo es uno de sus lados (en este caso b) , la altura relativa a la base será el lado a, y aplicando la fórmula anterior obtendríamos la del área del rectángulo.
Para calcular el área a partir de la longitud de la diagonal y del ángulo que forman las dos diagonales, se empleará:
Rombo
Existen varias fórmulas para calcular el área de un rombo. La más común es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares). El área es la mitad del producto de las diagonales (D y d).
Otra forma de calcular el área del rombo es mediante la fórmula del área del paralelogramo. En este caso, un lado (a) se considera la base del rombo. Se mide la altura (h) relativa a dicha base, de manera que el área será el producto de la base por la altura.
Y una tercera fórmula se obtiene a partir del lado y un ángulo:
Romboide
El área de un romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado. Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo.
Otro procedimiento para hallar el área del romboide sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre sí (a y b) y el ángulo que forman estos (sea α o β):
sen α = sen β porque son ángulos suplementarios.
O, también, a partir de las dos diagonales y el ángulo que forman:
Trapecio
El área de un trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio. Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio, que se obtiene como la media de las dos bases a y b: M=(a+b)/2.
Trapezoide
Para calcular el área de un trapezoide es necesario dividirlo en triángulos.
Sea un trapezoide con vértices A, B, C y D. Se divide el éste en dos triángulos, el ABD y el BCD.
El área del trapezoide será la suma de las áreas de los dos triángulos. El área de los triángulos es el producto de su base por altura dividido por dos. El segmento BD es la base de ambos triángulos. Sus alturas serán el segmento perpendiculares a BD que van desde el mismo segmento hasta los vértices A y C.
Como resultado, se obtiene que la fórmula del área del trapezoide es:
Área de un pentágono
Pentágono regular
El área del pentágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.
Al ser su perímetro cinco veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:
Como la apotema del pentágono regular se calcula con esta fórmula (a partir de la apotema de un polígono regular):
Donde α es el ángulo interior del pentágono regular. Así, la fórmula del área del pentágono regular también se puede expresar:
Pentágono irregular
El cálculo del área de un pentágono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el pentágono en cinco triángulos y calcular el área sumando las cinco áreas de los triángulos.
Área de un hexágono
Hexágono regular
El área del hexágono regular se calcula como la mitad del producto del perímetro y la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.
Al ser su perímetro seis veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:
Como la apotema del hexágono regular se calcula con esta fórmula (a partir de la apotema de un polígono regular):
Donde α es el ángulo interior del hexágono. Así, la fórmula del área del hexágono regular se puede expresar así:
En la que, agrupando las constantes, con aproximación a dos decimales, se queda así:
Hexágono irregular
El área del hexágono irregular requiere ser calculada por métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el hexágono en seis triángulos y calcular el área sumando las seis áreas de los triángulos.
Área de un heptágono
Heptágono regular
El área del heptágono regular es un medio del perímetro por la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.
Al ser su perímetro siete veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:
Como la apotema del heptágono regular se calcula con esta fórmula:
Donde α es el ángulo interior del heptágono. Así, la fórmula del área del heptágono se puede expresar así:
En la que, agrupando las constantes, con aproximación a tres decimales, se queda así:
Heptágono irregular
El cálculo del área de un heptágono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el heptágono en siete triángulos y calcular el área sumando las siete áreas de los triángulos.
Área de un octógono
Octógono regular
El área del octógono regular se calcula como la mitad del producto del perímetro y la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.
Al ser su perímetro ocho veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:
Se calcula su apotema con esta fórmula:
Donde α es el ángulo interior del octógono. Así, la fórmula del área del octógono regular se puede expresar así:
En la que, agrupando las constantes, con aproximación a dos decimales, se queda así:
Otro procedimiento para hallar el área del octógono regular es a partir del radio de la circunferencia circunscrita. Ese radio R es el segmento que une el centro del octógono con uno de sus vértices.
Octógono irregular
El área de un octógono irregular requiere para ser calculada de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el octógono en ocho triángulos y calcular el área mediante la suma de las ocho áreas de los triángulos.
Área del círculo
El área del círculo es igual al producto de π por el radio (r) al cuadrado.
También se puede calcular el área conociendo el diámetro del círculo (D), ya que éste es el doble del radio.
Como un círculo es un polígono regular de infinitos lados, podemos aplicar la fórmula general del área del polígono regular:
Área del semicírculo
El área de un semicírculo se calcula a partir de su radio (r).
Ésta también se puede calcular como la mitad del área del círculo.
Área de la corona circular
La fórmula del área de una corona circular es:
Área de la elipse
El área de una elipse es π veces el producto de los dos semiejes (a y b). Estrictamente se llama área comprendida dentro de una elipse, ya que la elipse suele considerarse como solo su trazo, no su interior.
En el caso de que los dos semiejes sean iguales (r=a=b), su fórmula es la misma que el área comprendida dentro de una circunferencia (o lo que es lo mismo, el área del círculo):
Área de un prisma
El área de un prisma es la suma del área de las dos bases (Ab) más el área de los paralelogramos de las caras laterales (en el prisma recto es el resultado de multiplicar el perímetro de la base Pb por la altura (h) del prisma, que coincide con una arista lateral).
La fórmula del área del prisma recto es:
Prisma oblicuo
El área de un prisma oblicuo se calcula de manera diferente a la del prisma recto.
Las áreas de las bases se calculan de la misma forma, pero el área de los laterales se calcula mediante una arista lateral y el perímetro de la sección recta del prisma. La sección recta es la intersección de un plano con el prisma, de manera que forme un ángulo de 90º con cada una de las las aristas laterales.
La fórmula del área del prisma oblicuo es:
Prisma triangular
Prisma triangular regular
Prisma triangular irregular
Prisma cuadrangular
Prisma cuadrangular regular
Prisma cuadrangular irregular
Prisma pentagonal
Prisma pentagonal regular
Prisma pentagonal irregular
Prisma hexagonal
Prisma hexagonal regular
Prisma hexagonal irregular
Área de una pirámide
El área de la pirámide se calcula mediante la suma del área de la base (Ab) y el área de los triángulos de las caras laterales (Al).
El área de la base (Ab) se calcula según el polígono que sea la base.
El área de las caras laterales (Al) es la suma del área de los triángulos de las caras laterales. La pirámide tiene tantos triángulos como aristas tiene la base.
Pirámide regular
La pirámide regular es aquella que tiene un polígono regular como base y es recta. Sea una pirámide regular con la base de N aristas.
La fórmula del área de la pirámide regular es:
Pirámide triangular
Pirámide triangular regular
Pirámide triangular irregular
Pirámide cuadrangular
Pirámide cuadrangular regular
Pirámide cuadrangular irregular
Pirámide pentagonal
Pirámide pentagonal regular
Pirámide pentagonal irregular
Pirámide hexagonal
Pirámide hexagonal regular
Pirámide hexagonal irregular
Poliedros regulares
Área del tetraedro
Área del cubo (hexaedro regular)
Área del octaedro
Área del dodecaedro
Área del icosaedro
Área de la esfera
El área de una esfera, es decir, la superficie que envuelve a este sólido de revolución, viene determinado por su radio (r), y se calcula mediante la siguiente fórmula:
Área del cilindro
El área de un cilindro se halla sumando el área de la superficie cilíndrica o área lateral (AL) con las áreas de las dos bases (AB).
En particular, el área de un cilindro circular es:
Área del cono
El área de un cono es la suma del área de la base más el área de la superficie lateral.
El área de la base del cono es y la de la superficie lateral .
Por lo tanto, la fórmula del área total del cono será:
Área del tronco del cono
Área del toro
El área de un toro es:
Donde R es el radio de la circunferencia directriz y r el del círculo generatriz.
Esta fórmula es una aplicación del primer teorema de Pappus-Guldin, donde el centroide de la circunferencia que gira es su centro.
buenas tardes, por favor quisiera saber la fecha de publicación de este contenido.
Hola Esteban,
Tienes al final de cada página el autor y el año de creación.
Un saludo.
COMO HAGO PARA HALLAR EL AREA DEL SEGMENTO CIRCULAR CUYA CUERDA ES EL LADO DEL CUADRADO INSCRITO,SIENDO 50 CTMS EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA?
Tienes varios procedimientos.
Uno puede ser:
Área del círculo de radio 50 cm
Ácir = πr² = π * 50² cm²
Área del cuadrado inscrito de diagonales D = 2r = 2*50 cm
Áreacuad = D²/2 = 100²/2 cm²
Resta las dos áreas i divide por 4
(Hay cuatro segmentos circulares iguales).
Otro, es usar la fórmula que encontrarás en la página segmento circular de UNIVERSO FÓRMULAS, sabiendo que, en este caso, el ángulo α = 90°
Con los dos procedimientos el área te dará 713,5 cm²
como puedo hallar de un trapecio, que el ejercicio los datos cambia ya se ha en lados y bases, cual seria la formula hallar esa cñase de ejercicios.
Tengo una pregunta. tengo una figura conica donde su base tiene un radio de 12.75 mm y su vertice tiene un radio de 6.25 mm con una generatriz de 103 mm. ahora necesito cortar esta figura a un radio de 9.5 mm. como seria la formula para saber donde corto este cono para que quede la base con el mismo radio y el vertice o apice tenga un radio de 9.50.
Muchas gracias. 24/Nov/2015