Fracciones heterogéneas

Dos o más fracciones son fracciones heterogéneas cuando tiene los denominadores diferentes (si los números de abajo de las fracciones son desiguales).

En el caso anterior, se observa que las tres fracciones tienen los denominadores diferentes, 11, 2 y 7.

Las fracciones heterogéneas también se pueden entender como fracciones que tienen la unidad dividida en las distintas partes, por eso no comparten denominador.

Cuando un conjunto de dos o más fracciones tienen el mismo denominador, no son heterogéneas, y se llaman fracciones homogéneas.

Suma y resta de fracciones heterogéneas

¿Cómo sumar y restar fracciones con diferente denominador? Se puede hacer por dos métodos, el método del mínimo común denominador para la suma o resta de dos o más fracciones y el método de la multiplicación en cruz para la suma o resta de dos fracciones. El método más utilizado el el del mínimo común denominador.

Suma de fracciones heterogéneas

Método del mínimo común múltiplo de los denominadores

Lo primero que debemos hacer para sumar fracciones con distinto denominador, es encontrar un denominador común. Para ello, debemos encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones que sumamos. Veámoslo en un ejemplo.

Supongamos que queremos sumar:

Como las fracciones tienen diferente denominador, necesitamos ponerlas todas en uno mismo. Para ello, hacemos el mínimo común denominador, es decir, el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.

1. Primero factorizamos los dos denominadores: 4 y 3 en factores primos.
   
2. Con la factorización hecha, sacamos el mínimo común múltiplo (mcm) de 4 y 3. Recordamos que el mcm, una vez hecha la factorización, son los factores comunes y no comunes elevados al máximo exponente. En nuestro caso será:
   
3. El mínimo común múltiplo de los denominadores es 12. Los denominadores de las nuevas fracciones serán 12 y los numeradores serán el numerador original por 12 dividido entre el denominador original, es decir:
   
4. Ahora tenemos las dos fracciones con el mismo denominador. Podemos hacer la suma de éstas, poniendo en el numerador la suma de los numeradores (3+8=11) y dejando el denominador en 12.
   

Así conseguimos realizar la suma de fracciones con distinto denominador, que es un poco más complicado que sumar fracciones con igual denominador.

Método de la multiplicación en cruz

El método de la multiplicación en cruz sirve para sumar dos fracciones. En este caso, si las fracciones que se suman tienen los mismos denominadores, se pueden sumar por el método normal de la suma de fracciones con el mismo denominador.

En el caso de que las fracciones tengan diferentes denominadores, es cuando podemos utilizar el método de la multiplicación en cruz.

1. Imaginemos que queremos sumar las siguientes fracciones:
   
2. Para calcular el numerador de la fracción resultado, multiplicamos las fracciones en cruz, es decir, el numerador de la primera por el denominador de la segunda y el denominador de la primera por el numerador de la segunda, y sumamos las dos multiplicaciones.
   
3. El denominador de la fracción resultado será el producto de los dos denominadores: 7 · 5 = 35.
4. Por lo tanto, el resultado de la suma de estas fracciones será 31/35.
   

Resta de fracciones heterogéneas

Método del mínimo común múltiplo de los denominadores

En el método del mínimo común múltiplo de los denominadores, o del mínimo común denominador, lo primero que haremos para restar fracciones con distinto denominador es encontrar el denominador común. Para encontrarlo, calcularemos el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones que deseamos restar. Vamos a verlo en un ejemplo.

Supongamos que queremos restar:

Como las fracciones tienen diferente denominador, lo primero que debemos hacer es pasarlas al mismo. Para ello, hacemos el mínimo común denominador, es decir, el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.

1. Se factorizan los dos denominadores, 4 y 10 en factores primos.
   
2. Una vez está la factorización, obtenemos el mínimo común múltiplo (mcm) de 4 y 10. Recordamos que el mcm, una vez hecha la factorización, son los factores comunes y no comunes elevados al máximo exponente. Veamos que da en nuestro caso:
   
3. El mínimo común múltiplo de los denominadores es 20, por lo tanto, los denominadores de las dos nuevas fracciones serán 20. Los numeradores nuevos serán el numerador original por 20 dividido entre el denominador original, es decir:
   
4. Ahora que tenemos las dos fracciones con el mismo denominador, se puede hacer la resta de éstas, poniendo en el numerador la resta de los numeradores nuevos (15-4=11) y dejando el denominador en 20.
   

Al final logramos realizar la resta de fracciones con distinto denominador, que es un poco más complicado que restar fracciones con igual denominador.

Método de la multiplicación en cruz

El método de la multiplicación en cruz se utiliza para restar dos sirve para sumar dos fracciones con distinto denominadores.

Este método puede resultar más fácil que el método mínimo común denominador, ya que te ahorras calcular el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores. Sin embargo, por el otro método obtendrás, en la mayoría de los casos, como resultado una fracción más simplificada.

1. Vamos a ver como funciona este método en el siguiente ejemplo:
   
2. El numerador de la fracción resultado, se multiplican las fracciones en cruz, el numerador de la primera por el denominador de la segunda se le resta el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.
   
3. El denominador de la fracción resultado será el producto de los dos denominadores: 5 · 7 = 35.
4. Es decir, el resultado de la resta de estas fracciones será 16/35.
   

Comparación de fracciones con distinto denominador y numerador

La comparación de fracciones con diferente numerador y denominador se requiere de métodos más costosos.

A priori, parece difícil decir cual es mayor:

¿Cuál de estas tres fracciones es mayor? No podemos hacer una comparación directa como en los dos casos anteriores.

Para comparar fracciones con distinto numerador y denominador, hace falta buscar fracciones equivalentes a estas que tengan el mismo denominador, y después se comparan los denominadores.

Existen dos métodos para realizarlo.

Multiplicación en cruz por el denominador de la otra fracción

Si tenemos dos fracciones con distinto numerador y denominador lo que hacemos es multiplicar los dos términos de cada fracción por el denominador de la otra fracción. Así obtenemos dos fracciones equivalentes con el mismo denominador y podemos comparar sus numeradores.

Por ejemplo, vamos a comparar las siguientes fracciones:

Ahora multiplicamos cada fracción por el denominador contrario. Es decir, la primera fracción por 5 y la segunda por 7.

Obtenemos dos fracciones equivalentes, 20/35 y 21/35, que si que son comparables al tener el mismo denominador.

Como el numerador de la fracción equivalente a 3/5 es mayor, esta fracción es mayor que 4/7.

Reducción de fracciones a mínimo común denominador

Este método se utiliza cuando tenemos dos o más fracciones.

Para reducir a mínimo común denominador, sacamos el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores y se amplifican las fracciones a denominador común este mcm. Estas nuevas fracciones tendrán el mismo denominador y ya se podrán comparar.

Vamos a verlo en un ejemplo. Comparamos las siguientes tres fracciones:

1. Primero factorizamos los tres denominadores: 15, 20 y 5 en factores primos.
   
2. Con la factorización hecha, sacamos el mínimo común múltiplo (mcm) de 15, 20 y 5. Recordemos que el mcm son los factores comunes y no comunes elevados al máximo exponente. En este caso será:
   
3. El mínimo común múltiplo de los denominadores es 60. Los denominadores de las nuevas fracciones serán 60 y los numeradores serán el numerador original por 60 dividido entre el denominador original, es decir:
   
4. Ahora tenemos las tres fracciones con el mismo denominador. Podemos compararlas, comparando sus numeradores.
   

   Y se obtiene que la fracción más pequeña es 8/20, después es 7/15 y la más grande 3/5.