Movimiento parabólico

Movimiento parabólico

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Dibujo del movimiento parabólico

El movimiento parabólico es el movimiento de una partícula o cuerpo rígido describiendo su trayectoria una parábola. Por ejemplo, el balón de fútbol cuando es chutado por un jugador y cae al suelo es un movimiento parabólico.

El movimiento parabólico se puede analizar como la unión de dos movimientos. Por un lado, la trayectoria en la proyección del eje de las x (el eje que va paralelo al suelo) describirá un movimiento rectilíneo uniforme. Por otro lado, la trayectoria de la partícula al elevarse o caer verticalmente (en proyección sobre el eje de las y) describirá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, donde la aceleración es la gravedad.

Dibujo del movimiento parabólico viendo el movimiento rectilíneo uniforme (coordenada x) y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (coordenada y)

Nota: la gravedad normalmente se considera g = 9.81 m/s2.

Para hacernos una idea visual de los dos componentes del movimiento parabólico, imaginemos un lanzamiento de peso de atletismo.

Si pudiésemos seguir el recorrido de la bola verticalmente desde arriba, en el mismo plano vertical de la trayectoria, desde esa posición privilegiada veríamos la bola avanzar a una velocidad constante, desde la salida de la mano del atleta hasta que la bola toca el césped. Apreciaríamos un movimiento rectilíneo uniforme (velocidad constante).

Pero si nos pudiésemos situar sobre el césped, detrás de donde se ubican los jueces y que estuviésemos también justo en el plano vertical de la trayectoria (es decir, que lanzase hacia nosotros) nos daría la impresión de que la bola sube y baja como si se tratase de un lanzamiento vertical hacia arriba (movimiento rectilíneo uniformemente acelerado).

Una de las aplicaciones más importantes del movimiento parabólico es la balística. La balística es la ciencia que estudia la trayectoria de las balas o proyectiles. Ciertos proyectiles son lanzados desde un cañón con un ángulo determinado calculado para que el proyectil recorra una parábola e impacte en el objetivo esperado.

(Nota: estudiamos aquí el movimiento parabólico aplicado a la balística desde un punto de vista teórico. En la práctica, la balística debe de corregir los cálculos en función de otros factores, como el rozamiento del proyectil con la atmósfera, el viento, la presión atmosférica, la esfericidad y la rotación de la Tierra, etc.).

Tipos de movimiento parabólico

Existen diferentes tipos de movimiento parabólico dependiendo desde donde empieza o acaba el movimiento del cuerpo. Por ejemplo:

  • Movimiento parabólico completo: el cuerpo recorre una parábola completa, empezando y acabando en el suelo.
  • Movimiento de media parábola (o tiro parabólico horizontal): el cuerpo empieza el movimiento desde cierta altura y es lanzado parabólicamente con una fuerza horizontal, en un punto que sería el punto más alto de la parábola completa ideal.
  • Otros movimientos parabólicos: existen muchos casos particulares del movimiento parabólico, por ejemplo el lanzamiento de una pelota desde el suelo a la terraza de una casa o el lanzamiento a canasta de un jugador de baloncesto. Siempre son tramos de una teórica parábola completa.

Todos los elementos de los movimientos parabólicos se pueden calcular a partir del movimiento parabólico completo.

Dibujo de los tipos de movimiento parabólico

Velocidad

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Dibujo de la velocidad en el movimiento parabólico

La velocidad inicial del cuerpo (v0) tiene dos componentes, la componente horizontal, en el eje X y la componente vertical, en el eje vertical Y.

El vector v0 de la velocidad inicial es la suma de los dos vectores componentes:

Fórmula de la velocidad inicial en el movimiento parabólico

La componente horizontal de la velocidad vx es constante en toda la trayectoria, ya que es un movimiento rectilíneo uniforme. La componente vertical de la velocidad vy disminuye inicialmente por la gravedad, hasta hacerse nula en el punto más alto de la trayectoria. A partir de ese punto, vuelve a crecer uniformemente acelerada por la gravedad. La fórmula de la velocidad en cualquier punto de la trayectoria es:

Fórmula de la velocidad en un punto en el movimiento parabólico

Y trascurrido un tiempo t, la velocidad y sus componentes son:

Fórmula de la velocidad en el movimiento parabólico

Si se saben las componentes vertical (MRUA) y horizontal (MRU) de la velocidad, el valor de la velocidad en cualquier punto se obtiene por el teorema de Pitágoras:

Fórmula de la velocidad en el movimiento parabólico sabiendo componentes

En ese punto de la trayectoria, cuando ha trascurrido un tiempo t, el ángulo del móvil es el del vector resultante de la velocidad en ese momento:

Fórmula del ángulo en el movimiento parabólico sabiendo componentes

Aceleración

Dibujo de la aceleración en el movimiento parabólico

La aceleración solamente está presente en la componente vertical. El movimiento horizontal es uniforme mientras que sobre la componente y influye la aceleración de la gravedad, que hace que se frene el cuerpo (en el caso de que esté subiendo) hasta volver a acelerarse al descender y caer al suelo.

Fórmula de la aceleración en el movimiento parabólico

Posición

En la posición del objeto intervienen las fórmulas de la posición del movimiento rectilíneo uniforme (sentido horizontal) y la posición del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (sentido vertical).

Fórmula de la posición en el movimiento parabólico

El primer sumando se corresponde con la proyección horizontal y se debe al MRU mientras que el segundo sumando es la proyección vertical de la posición, y se debe al MRUA.

Siendo (x0y0) las coordenadas de la posición inicial, θ el ángulo de salida, g la aceleración de la gravedad y t el tiempo transcurrido en un tramo de la trayectoria.

Dibujo de la posición en un tramo de trayectoria

Tiempo de vuelo

Llamamos tiempo de vuelo (Tvuelo) al que invierte el cuerpo o el proyectil en realizar un movimiento parabólico completo hasta llegar a tierra, es decir a la misma altura del punto de salida.

Fórmula del tiempo de vuelo en el movimiento parabólico

(Para deducir esta fórmula partiremos del sumando de la fórmula [3] que se corresponde con la componente vertical de la trayectoria. Como, al final del movimiento, se vuelve al nivel de salida, y se iguala a cero. Se despeja el tiempo t).

Demostración del tiempo de vuelo

Alcance horizontal máximo

Dibujo del alcance horizontal máximo en el movimiento parabólico

La partícula o cuerpo llegará a su alcance horizontal máximo cuando caiga al suelo, es decir, cuando la altura y vuelva a ser cero. Podemos calcular el alcance sin saber el tiempo que ha tardado en recorrer la parábola la partícula o conociéndolo.

  • Fórmula del alcance siendo el tiempo de trayectoria de la partícula desconocido
    Fórmula del alcance horizontal máximo sin saber el tiempo total de trayectoria en el movimiento parabólico

    Siendo (x0, y0), la posición inicial, θ el ángulo de salida y g la aceleración de la gravedad.

    (Para deducir esta fórmula se reemplaza en la componente horizontal de la ecuación de la posición [3], la expresión [4] que representa el tiempo de vuelo de la parábola completa).

    Demostración 1 del alcance horizontal máximo sin saber el tiempo total de trayectoria

    Y, por las razones trigonométricas del ángulo doble, (en este caso, el seno del ángulo doble).

    Demostración 2 del alcance horizontal máximo sin saber el tiempo total de trayectoria

    El alcance máximo que se podrá lograr con un proyectil (a igual velocidad inicial v0), será con un ángulo θ = 45°.

    Por ejemplo, se obtendrá el mismo alcance horizontal para ángulos de lanzamiento θ = 45° ± m. El proyectil tendrá el mismo alcance, tanto si se lanza con ángulos θ = 45° ± 15°, es decir θ = 30° y θ = 60°, ya que sen (2 · 30°) = sen (2 · 60°). Idénticos alcances se obtendrán con ángulos θ = 45° ± 30°, es decir θ = 15° y θ = 75°, puesto que sen (2 · 15°) = sen (2 · 75°). Y es que en la fórmula interviene sen (2θ) y el seno de dos ángulos suplementarios es el mismo. Y son suplementarios 2(45° + m) = 90° + 2m y 2(45° – m) = 90° – 2m. Pero, insistimos, el alcance máximo se logra con θ = 45°.

    La razón es que el valor del seno máximo es 1, que se corresponde con el seno de 90°. Para que el alcance sea máximo, 2θ tiene que ser de 90°, por lo que el ángulo del alcance máximo se logra con θ = 45°.

Altura máxima

Dibujo de la altura máxima en el movimiento parabólico

En un teórico movimiento parabólico completo, existe un punto donde la partícula se encuentra en el punto más alto de su trayectoria.

En ese punto, la componente vertical de la velocidad es nula.

La fórmula para determinar la altura máxima no depende del tiempo.

Fórmula de la altura máxima en el movimiento parabólico

(Para deducir esta fórmula, la componente vertical de la velocidad en el punto más alto es nula. La igualamos a 0 en la ecuación [2] y despejamos el tiempo).

Despejando el tiempo de la altura máxima

Se comprueba que el tiempo en alcanzar el punto máximo es la mitad del empleado en la parábola completa. Ecuación [4].

Se sustituye este tiempo en la expresión de la componente vertical de la posición. Ecuación [3].

Ecuación de la altura máxima

A igual velocidad inicial y aceleración de la gravedad, la altura máxima de una trayectoria parabólica dependerá del ángulo θ de la velocidad inicial v0.

La máxima altura que se puede alcanzar con una velocidad v0 determinada se corresponde con un ángulo de lanzamiento θ = 90°.

Es un tiro vertical hacia arriba.

Relación entre el alcance máximo y la altura máxima

Fórmula de la relación entre alcance máximo y la altura máxima

Esta relación se deduce así:

Demostración 1 de la relación entre alcance máximo y la altura máxima

Y por la razón trigonométrica del seno del ángulo doble:

Demostración 2 de la relación entre alcance máximo y la altura máxima

Por lo tanto, si en un ángulo de máximo alcance de θ = 45° cuya tangente es 1, el proyectil llega a 100 m, habrá alcanzado una altura máxima de ¼ · 100, es decir, 25 m.

Tiro parabólico horizontal

El tiro parabólico horizontal (o lanzamiento horizontal o movimiento semiparabólico) es el movimiento parabólico que se inicia a una altura sobre el punto de caída y en el que la velocidad inicial es horizontal:

Dibujo del tiro parabólico horizontal

El movimiento parabólico completo es una trayectoria simétrica (la altura de salida y la de caída es la misma. La altura máxima está en la mitad). El tiro parabólico horizontal o semiparabólico se inicia en el punto medio del tiro parabólico completo. Su alcance máximo y tiempo de vuelo son la mitad del alcance y tiempo del completo:

Trayectoria del tiro parabólico horizontal

Las ecuaciones del tiro parabólico horizontal son:

Ecuaciones del tiro parabólico horizontal

Donde:

  • vx es la componente horizontal de la velocidad, de magnitud constante, (o aquí, también v0, pues coincide con la velocidad inicial de lanzamiento horizontal).
  • vfy: componente vertical de la velocidad final, la de llegada.
  • g: aceleración de la gravedad. (9,81 m/s²).
  • tvuelo: tiempo de vuelo en la media parábola.
  • h: altura de lanzamiento sobre el punto final de llegada.
  • xsmáx: alcance máximo en el tiro horizontal.
  • θ: ángulo de llegada.

La ecuación que relaciona las coordenadas en cualquier punto i del movimiento es:

Coordenadas del tiro parabólico horizontal

Ecuación alternativa de la trayectoria en el movimiento parabólico

De las ecuaciones anteriores y despejando t se deduce:

Coordenadas del tiro parabólico horizontal

Esta ecuación se corresponde con la ecuación canónica u ordinaria de la parábola, vertical y abierta hacia abajo (signo menos en el coeficiente del término en ).

Ejercicios resueltos del movimiento parabólico

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Ejercicio 1

Un portero saca el balón desde el césped a una velocidad de 26 m/s. Si la pelota sale del suelo con un ángulo de 40° y cae sobre el campo sin que antes lo toque ningún jugador, calcular:

  • Altura máxima del balón
  • Distancia desde el portero hasta el punto donde caerá en el campo
  • Tiempo en que la pelota estará en el aire

SOLUCIÓN:

Resolveremos el problema de dos maneras: aplicando directamente las fórmulas específicas o, en segundo lugar, partiendo de las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUA.

En primer lugar, descomponemos la velocidad inicial en sus componentes. La componente horizontal de la velocidad será:

Cálculo de la componente horizontal de la velocidad en el ejercicio 1 por el método 1

La componente vertical de la velocidad inicial será:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad inicial en el ejercicio 1 por el método 1

La altura máxima será:

Cálculo de la altura máxima en el ejercicio 1 por el método 1

El alcance del saque del portero será:

Cálculo del alcance del saque del portero en el ejercicio 1 por el método 1

Calcularemos el tiempo de vuelo de la pelota:

Cálculo del tiempo de vuelo de la pelota en el ejercicio 1 por el método 1

Ahora vamos a resolver el mismo problema, pero partiendo de las fórmulas de los dos movimientos componentes del movimiento parabólico: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se corresponde con el eje horizontal, y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que se corresponde con el eje vertical. Recordemos que la aceleración aquí es la aceleración de la gravedad g, con valor -9,81 m/s2 (signo negativo por ser el sentido de la gravedad contrario al de la componente vertical de la velocidad inicial v0y).

En el punto en que el balón alcanza la altura máxima, su componente de velocidad vertical será vy = 0 m/s, ya que deja de subir y empieza a descender. Aplicamos la fórmula de la velocidad en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA). En este caso será:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad en el ejercicio 1 por el método 2

Como vy = 0:

Cálculo del tiempo en llegar el balón al punto más alto en el ejercicio 1 por el método 2

Tiempo que tarda en llegar el balón a su punto más alto. Ahora aplicamos la ecuación del espacio en el MRUA, para averiguar la altura máxima, sabiendo el tiempo que ha invertido en llegar a ella:

Cálculo de la altura máxima en el ejercicio 1 por el método 2

Nos queda saber el alcance. Como el movimiento parabólico es simétrico, tardará lo mismo en llegar al punto más alto que luego, desde allí, bajando llegar a tocar el césped, es decir 1,7 · 2 = 3,4 s.

Aplicamos la fórmula del espacio del MRU, por más sencilla, que en este caso será:

Cálculo del espacio vertical recorrido en el ejercicio 1 por el método 2

Nota: la diferencia en los decimales en el resultado de los dos procedimientos se debe al redondeo.

Ejercicio 2

Están jugando en el patio de un colegio, cuando el balón sale al exterior por encima de la valla del campo. Un hombre le da una patada al balón para devolverlo al interior. Sabiendo que el muro del patio tiene 3 m de altura, que el hombre está a 53 m del muro y que patea el balón a 24 m/s con un ángulo de 55°, averiguar si consigue que la pelota vuelva a entrar al patio o, por el contrario pasa sobre el muro.

SOLUCIÓN:

En este problema, emplearemos también fórmulas de los dos movimientos componentes del movimiento parabólico: el movimiento rectilíneo uniforme (MRU), que se corresponde con el eje horizontal, y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), que se corresponde con el eje vertical.

En primer lugar, volvemos a descomponer el vector velocidad inicial v0 en sus dos componentes. La componente horizontal de la velocidad será:

Cálculo de la componente horizontal de la velocidad en el ejercicio 2

La componente vertical de la velocidad inicial será:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad en el ejercicio 2

Resolveremos el problema aplicando las ecuaciones de los dos movimientos, MRU y MRUA. Como el hombre chuta el balón a 53 m del muro y la componente horizontal de la velocidad es 13,77 m/s, por la ecuación del MRU tendremos:

Cálculo del tiempo en llegar el balón al muro en el ejercicio 2

Que será el tiempo en llegar al balón al muro, ya que éste está a 53 m. Ahora, para ver si lo sobrepasa, aplicamos una fórmula del MRUA:

Cálculo de la altura al impactar el balón en el muro en el ejercicio 2

Recordamos que la aceleración es la de la gravedad g, con signo contrario al de la componente vertical de la velocidad inicial.

Dibujo del ejercicio 2 del movimiento parabólico

La respuesta al ejercicio es que el hombre no ha conseguido meter el balón en el patio, puesto que el muro tiene una altura de 3 m y el balón ha impactado contra él a 2,98 m. Deberá volverlo a intentar, quizás acercándose más al muro.

Ejercicio 3

En una prueba de atletismo de lanzamiento de peso, el atleta logra una marca de 22 m. Sabiendo que la bola sale de su mano a 2 m del suelo y con un ángulo de 45°, averiguar la velocidad inicial del lanzamiento.

SOLUCIÓN:

Para resolver el problema, igualmente emplearemos las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme y del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, que componen, como se ha repetido, el movimiento parabólico. Del movimiento MRU usaremos la fórmula:

Cálculo de la fórmula del MRU en el ejercicio 3

Sabemos que v0 · cos θ es la componente horizontal de la velocidad v0). Despejamos el tiempo y la velocidad:

Cálculo para despejar el tiempo y la velocidad en el ejercicio 3

Ahora, vamos a la fórmula del espacio del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Cálculo de la fórmula del MRUA en el ejercicio 3

Sabemos también que v0 · sen θ es la componente vertical de la velocidad v0 y que la aceleración es la de la gravedad g con signo negativo, al ser contraria a la velocidad inicial. La altura final será cero, y = 0 m, puesto que la bola impacta en el suelo. La altura inicial será a la que suelta el atleta la bola de la mano, y0 = 2 m). Sustituimos por la expresión de t antes obtenida y ponemos los valores conocidos:

Cálculo del tiempo en un movimiento MRUA en el ejercicio 3

Despejamos de esta ecuación la t, pues tan 45° = 1.

Cálculo del tiempo en el que está en el aire el peso en el ejercicio 3

Volvemos a la expresión anterior de v0.

Cálculo de la velocidad de lanzamiento en el ejercicio 3

Por lo tanto, 14,1 m/s será la velocidad de lanzamiento v0 buscada.

Dibujo del ejercicio 3 del movimiento parabólico

Ejercicio 4

Un bombardero vuela horizontalmente a una altitud de 3200 pies con una velocidad de 400 pies/s, cuando suelta una bomba.

5 segundos más tarde, un cañón situado bajo la trayectoria del bombardero, pero 5000 pies antes del punto en que el bombardero soltó la bomba (se supone que el cañón, en el suelo, está a 3200 pies bajo la trayectoria del avión), dispara un proyectil. Si el proyectil hace explotar la bomba a 1600 pies de altura. Hallar el ángulo de elevación del cañón y la velocidad inicial del proyectil.

Dibujo del ejercicio 4 del movimiento parabólico

En primer lugar, estudiamos el movimiento parabólico de la bomba, desde que la suelta el avión hasta el momento del impacto con el proyectil y la explosión.

La bomba comienza su recorrido a 3200 pies de altura con una velocidad inicial horizontal de 400 ft/s y, durante la caída, cuando llega a los 1600 pies impacta y explota.

Apliquemos la ecuación de la componente vertical del recorrido en el movimiento parabólico, tomando como sistema de referencia coordenadas con origen en el suelo en el punto de la vertical del momento de soltar el avión la bomba.

Cálculo de la componente vertical en el ejercicio 4

El vuelo es horizontal, luego el ángulo de salida de la bomba θ0b será cero, igual que su seno. Adoptamos un valor de la aceleración de la gravedad constante g = 32,18 ft/s².

Aplicamos valores a la ecuación anterior y despejamos tb, el tiempo en que tarda la bomba en caer desde los 3200 ft iniciales a los 1600 ft en que explota:

Cálculo del tiempo en explotar la bomba en el ejercicio 4

Conocido el tiempo de vuelo de la bomba, aplicaremos la siguiente fórmula para la componente horizontal del movimiento parabólico, que se corresponde con un movimiento rectilíneo uniforme:

Cálculo de la componente horizontal en el ejercicio 4

La proyección horizontal del recorrido de la bomba son 3988,8 pies.

Ahora, conocidos los datos del movimiento de la bomba, vamos a estudiar el movimiento parabólico del proyectil disparado:

Nos dice el ejercicio que el cañón dispara el proyectil 5 segundos más tarde, por lo que el tiempo de vuelo del proyectil tp será:

Cálculo del tiempo de vuelo del proyectil en el ejercicio 4

También nos dice el ejercicio que el cañón está situado en el suelo y en la vertical la trayectoria del vuelo del bombardero, pero 5000 pies antes del punto en que se suelta la bomba.

Y el proyectil intercepta a la bomba a una altura sobre el suelo de 3200 – 1600 = 1600 pies.

Con estos datos, determinaremos el ángulo de elevación θ0p y la velocidad de tiro del cañón v0p:

Lo referenciaremos al sistema de coordenadas citado, el que tiene su origen en el suelo, justo en la proyección vertical del punto en que el avión suelta la bomba:

Cálculo del ángulo de elevación en el ejercicio 4

Como los dos móviles chocan en un punto, xib = xip = xi. Y también yib = yip = yi.

Aplicamos una de las ecuaciones del movimiento parabólico, la referida al eje Y del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).

Cálculo en el eje Y en el ejercicio 4

El signo menos es porque el sentido ascendente de la velocidad es contrario al de la aceleración de la gravedad.

Sustituimos valores:

Cálculo en el eje Y sustituyendo valores en el ejercicio 4

Ahora, aplicamos otra de las ecuaciones del movimiento parabólico, la referida al eje X del movimiento rectilíneo uniforme (MRU).

Cálculo en el eje X en el ejercicio 4

Sustituimos valores:

Cálculo en el eje X sustituyendo valores en el ejercicio 4

Elevamos al cuadrado, miembro a miembro, las ecuaciones (1) y (2). La igualdad se mantiene:

Cálculo en el eje X elevando al cuadrado en el ejercicio 4

Desarrollamos:

Cálculo en el eje X elevando al cuadrado y desarrollando en el ejercicio 4

Sumamos miembro a miembro ambos términos de las dos igualdades, con lo que la igualdad se mantiene. Sacamos factor común:

Cálculo en el eje X sacando factor común en el ejercicio 4

Por la identidad fundamental de la trigonometría, sabemos que:

Cálculo en el eje X por la identidad fundamental de la trigonometría en el ejercicio 4

Por lo que:

Cálculo en el eje X por la identidad fundamental de la trigonometría desarrollando en el ejercicio 4

La velocidad inicial del proyectil será de 1852,73 ft/s.

El ángulo de elevación del cañón lo calcularemos trigonométricamente, partiendo de la igualdad (1) :

Cálculo del ángulo de elevación del cañón en el ejercicio 4

El valor del ángulo lo hallaremos mediante el arcoseno:

Cálculo del ángulo de elevación del cañón mediante el arcoseno en el ejercicio 4

El ángulo de elevación del cañón es 12,41°.

Ahora vamos a resolver la trayectoria del proyectilpor otro procedimiento, que muestra cómo un movimiento parabólico es la composición de un movimiento rectilíneo uniforme con otro vertical pero movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

La componente horizontal de este movimiento parabólico, que se corresponde con un movimiento rectilíneo uniforme, la podemos hallar fácilmente porque conocemos la proyección horizontal del recorrido del proyectil:

Cálculo de la componente horizontal a través de su proyección en el ejercicio 4

Y el tiempo en movimiento del proyectil (los 4,97 segundos calculados arriba).

Ésta es la componente horizontal de la velocidad:

Cálculo de la componente horizontal de la velocidad en el ejercicio 4

Ahora, la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil la averiguaremos con esta ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad en el ejercicio 4

Conocemos la altura a la que llega el proyectil, el tiempo y el valor de g.

Cálculo de la altura del proyectil en el ejercicio 4

Esta es la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil .

Sabiendo las dos componentes, se pueden hallar fácilmente tanto el valor de la velocidad inicial del proyectil v0p como el valor del ángulo de elevación del cañón θ0p:

Cálculo de la velocidad inicial del proyectil en el ejercicio 4

A la vista de la figura, hallamos v0p mediante el teorema de Pitágoras:

Cálculo mediante el teorema de Pitágoras en el ejercicio 4

Este es el módulo de la velocidad inicial del proyectil. El valor del ángulo de elevación del cañón θ0p lo hallaremos trigonométricamente:

Cálculo del módulo de la velocidad inicial en el ejercicio 4

Resultado: velocidad inicial del proyectil, 1852,73 ft/s y ángulo de elevación 12,41°.

Cálculo de la componente horizontal de la velocidad en el ejercicio 4

Ahora, la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil la averiguaremos con esta ecuación del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

Cálculo de la componente vertical de la velocidad en el ejercicio 4

Conocemos la altura a la que llega el proyectil, el tiempo y el valor de g.

Cálculo de la altura del proyectil en el ejercicio 4

Esta es la componente vertical de la velocidad inicial del proyectil.

Sabiendo las dos componentes, se pueden hallar fácilmente tanto el valor de la velocidad inicial del proyectil v0p como el valor del ángulo de elevación del cañón θ0p:

Cálculo de la velocidad inicial del proyectil en el ejercicio 4

A la vista de la figura, hallamos v0p mediante el teorema de Pitágoras:

Cálculo mediante el teorema de Pitágoras en el ejercicio 4

Este es el módulo de la velocidad inicial del proyectil. El valor del ángulo de elevación del cañón θ0p lo hallaremos trigonométricamente:

Cálculo del módulo de la velocidad inicial en el ejercicio 4

Resultado: velocidad inicial del proyectil, 1852,73 ft/s y ángulo de elevación 12,41°.

Ejercicio 5

Un arquero lanza una flecha horizontalmente desde una torre de 12 m de altura. La flecha sale del arco a 15 m/s. Despreciando el rozamiento:

a) ¿Cuánto tiempo estará la flecha en el aire?

b) ¿A qué distancia de la torre llegará la flecha al suelo?

c) ¿Con qué velocidad impactará y con qué ángulo?

Solución:

a) Sabiendo la altura:

Cálculo del tiempo en el ejercicio 1

b) Aplicamos la fórmula del alcance basada en la componente horizontal del movimiento:

Cálculo del alcance en el ejercicio 1

c) Para saber la velocidad del impacto se debe averiguar la componente vertical de la velocidad:

Cálculo de la componente vertical en el ejercicio 1

El valor de la velocidad del impacto se obtiene por el teorema de Pitágoras:

Cálculo de la velocidad de impacto en el ejercicio 1

El ángulo de llegada lo da la función arcotangente, al saber los dos catetos, que son las dos componentes de la velocidad.

Cálculo de la componente horizontal en el ejercicio 1

Ejercicio 6

En la ceremonia de inauguración de unas olimpiadas, un arquero lanza una flecha en llamas que logra introducir en el centro del pebetero, encendiendo su interior. El pebetero está a una altura de 36 m sobre el punto de lanzamiento y a una distancia horizontal de 35 m.

a. ¿Cuánto tiempo estará la flecha en movimiento? (se desprecia el rozamiento).

b. ¿A qué velocidad debe lanzar la flecha, si el ángulo de tiro es de 80°?

¿Cuál será la velocidad de entrada al pebetero y el ángulo?

Dibujo en el ejercicio 6

Solución:

a. Se plantean las ecuaciones de las componentes horizontal y vertical de la posición en un punto de la trayectoria (ecuación [3]), poniendo los datos iniciales:

Cálculo de las componentes horizontal y vertical en el ejercicio 6

Se despeja v0 en la primera ecuación y se sustituye en la segunda, quedando el tiempo como única incógnita:

Cálculo del tiempo en el ejercicio 6

Se ha hallado el tiempo t de vuelo de la flecha, que son 5,75 segundos.

Para hallar v0 sustituimos t por su valor:

Cálculo de la velocidad inicial en el ejercicio 6

La velocidad de tiro v0 es de 35 m/s.

c. Para analizar la velocidad de llegada de la flecha al pebetero, hallaremos el valor de la componente vertical de la velocidad a los 5,75 s con el segundo sumando de la ecuación [2].

Cálculo de la componente vertical en el ejercicio 6

La componente vertical de la velocidad al llegar al pebetero es de -21,99 m/s (es negativa porque la flecha está bajando).

Y el ángulo de llegada α:

Cálculo del ángulo de llegada en el ejercicio 6
Dibujo del ángulo de llegada en el ejercicio 6

Un procedimiento alternativo para iniciar el ejercicio sería aplicar en primer lugar la ecuación alternativa del movimiento parabólico [5]. Con los datos del problema de distancia horizontal al pebetero de 35 m, el desnivel vertical de 36 m y el ángulo de tiro de 80°, se hallaría la velocidad inicial v0.

Cálculo de la velocidad inicial 2 en el ejercicio 6

Se despeja v0 y se obtiene:

Cálculo de la velocidad inicial 3 en el ejercicio 6

Con un buen redondeo, a una velocidad inicial de 35 m/s.


AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2017


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100 Respuestas

  1. Raúl Villota dice:

    Excelente aporte, muchas gracias

  2. Adriana Ramírez dice:

    Laboratorio: Características del MP
    Material: Una Hoja cuadriculada, simulación – tablets
    MENU: INTRODUCCION
    1 Construye una tabla con los datos siguientes: Altura Cañón- Angulo- Velocidad y distancia
    2 Coloca la altura del cañón en 10 m y el ángulo a 0°
    3 Coloca la rapidez en 5 m/s y dispara – apunta el valor de la distancia alcanzada …..

  3. Mejia dice:

    Hola amigo. me podría ayudar con el siguiente.
    Un balón de futbol es pateado en linea recta, teniendo una distancia de 11 metros desde el punto de penalti hasta el arco. Si el pateador lo hace con una velocidad de 34.7 m/s, con un ángulo de 32.2 grados, que tan arriba o tan abajo del travesaño llegara el balón ? (hacia arriba son valores positivos y hacia abajo valores negativos ). Nota: altura del arco es 2.4 m

    • Respuestas dice:

      Un problema similar lo tienes en el ejercicio 2 de esta página. Resuélvelo y comprobaras como el balón pasa muy por encima del travesaño.

  4. 𝔼𝕤𝕥𝕖𝕓𝕒𝕟 dice:

    Los ejercicios y soluciones bien planteadas por dos métodos por caida libre y las fórmulas por movimiento parabolico

  5. Angel martinez dice:

    me gustaria saber las referencias para poder entender mejor el desglose de las ecuaciones.

  6. Javier Chasipanta dice:

    Buenos días me ayuda con este ejercicio
    un bombardero que vuela con una velocidad horizontal constante de 483 k/h, a una altura de 5487 m apunta para dar de lleno a un automóvil que se mueve con velocidad constante de 145 Km/h, en el mismo plano vertical. Para que el proyectil impacte en el blanco, determine el ángulo ɵ que debe formar la visual al tren con la horizontal en el instante que el avión debe soltar la bomba

    • Respuestas dice:

      Consulta la página Tiro parabólico horizontal en UNIVERSO FÓRMULAS. Cuando tengas resuelto el punto de impacto, y averiguado el tiempo de vuelo, aplica la fórmula del Movimiento rectilineo uniforme del tren, también en UF.
      Saca el ángulo trigonométricamente (arco coseno).

  7. Liliana Caiza dice:

    Buenos días me ayuda con este ejercicio
    un proyectil es lanzado en la superficie de la tierra, con una velocidad de 5 m/s formando un ángulo de 30º sobre la horizontal. El viento de esa región genera una aceleración vertical hacia arriba de 1 m/s^2 . Determine el tiempo que necesita el proyectil para llegar al suelo

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