Cónicas

La palabra cónica viene de cono. Se llama cónica (o sección cónica) a las curvas resultantes de la intersección del cono y un plano. Este plano no debe pasar por el vértice (V).

Tipos de cónicas

Existen cuatro tipos de cónicas, según el ángulo del plano que intersecta con el cono y su base:

• Circunferencia: es la intersección del cono con un plano paralelo a la base.
• Elipse: intersección del cono con un plano oblicuo a la base y que no la corta en ningún momento.
• Parábola: es la intersección del cono con un plano paralelo a su generatriz y que corta a la base.
• Hipérbola: es la intersección de un cono recto y un plano cuyo ángulo es menor al de la generatriz del cono.

Circunferencia

La circunferencia es una figura geométrica cuyos puntos están a una distancia constante, llamada radio (r), del centro (C).

La superficie plana comprendida dentro de una circunferencia es el círculo.

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F₁ y F₂) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d₁ y d₂ es constante.

Es decir, para todo punto P de la elipse, la suma de las distancia d₁ y d₂ es constante.

Una elipse se puede definir también como la intersección entre un cono recto y un plano oblicuo que no pase por su base.

Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan del foco (F) y de una recta denominada directriz.

El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que será más o menos abierta según la distancia entre F y la directriz).

También puede definirse como la intersección entre un cono recto y un plano paralelo a una generatriz del cono y que pase por la base del mismo.

Hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d₁ y d₂) a dos puntos fijos llamados focos (F₁ y F₂) es constante.

El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V₁ y V₂ de la hipérbola (2a).

Ecuación general de las cónicas

Las cónicas tienen una fórmula general para definir los puntos (x,y) que la forman. Según las características de los parámetros A, B, C, D, E y F, definirán cada uno de los cuatro tipos de cónica.

Cuando E = 0, el centro de la cónica está en el eje X (la parábola, que es la cónica que no tiene centro, en este caso tendrá su eje coincidente con el eje X).

Si D = 0, el centro de la cónica está en el eje Y (la parábola, que es la cónica que no tiene centro, en este caso tendrá su eje coincidente con el eje Y).

Cuando F = 0, la cónica pasa por el origen de coordenadas.

Para las cónicas con sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas:

Cuando A = C, la cónica es una circunferencia.

Si A = 0 o C = 0, la cónica es una parábola.

Si A y C tienen el mismo signo, se trata de una elipse.

Si A y C tienen el signo contrario, será una hipérbola.

En general, incluyendo a las cónicas oblicuas o rotadas, el término llamado discriminante, que incluye los coeficientes de la ecuación general A, B y C, permite identificar el tipo de cónica: