Transformaciones de razones trigonométricas

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Transformación de razones trigonométricas de suma en producto

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Las sumas (o restas) de razones trigonométricas pueden transformarse en el producto de éstas.

  • Transformación de la suma de senos en producto:


    Fórmula de la transformación de la suma de senos en producto de razones trigonométricas

  • Transformación de la resta de senos en producto:


    Fórmula de la transformación de la resta de senos en producto de razones trigonométricas

  • Transformación de la suma de cosenos en producto:


    Fórmula de la transformación de la suma de cosenos en producto de razones trigonométricas

  • Transformación de la resta de cosenos en producto:


    Fórmula de la transformación de la resta de cosenos en producto de razones trigonométricas

Ejemplo

Sea α=90º y β=30º. Veamos que se verifican las igualdades de las transformaciones de suma a producto.

  • Transformación de la suma de senos en producto:


    Ejemplo de la transformación de la suma de senos en producto de razones trigonométricas

  • Transformación de la resta de senos en producto:


    Ejemplo de la transformación de la resta de senos en producto de razones trigonométricas

  • Transformación de la suma de cosenos en producto:


    Ejemplo de la transformación de la suma de cosenos en producto de razones trigonométricas

  • Transformación de la resta de cosenos en producto:


    Ejemplo de la transformación de la resta de cosenos en producto de razones trigonométricas

¿Cómo se obtienen?

Demostraremos como se obtiene la fórmula:


Fórmula de la transformación de la suma de senos en producto de razones trigonométricas

De las fórmulas del seno del ángulo suma y ángulo resta tenemos:


Fórmula del seno del ángulo suma y del ángulo resta

Sumando las igualdades obtenemos:


Expresión de la suma del seno del ángulo suma y del ángulo resta

Si transformamos:


Transformación de los ángulos en a y b

Entonces, sumando y restando ambas igualdades:


Transformación de los ángulos en a y b para sus sustitución en la fórmula

Y sustituyendo obtenemos la fórmula:


Fórmula de la transformación de la suma de senos en producto de razones trigonométricas

Las otras tres fórmulas se obtienen de manera análoga.

Transformación de razones trigonométricas de producto en suma

  • Transformación del producto del seno de α y β en suma (o resta):


    Fórmula de la transformación del producto de senos en suma de razones trigonométricas

  • Transformación del producto del seno de α y coseno de β en suma (o resta):


    Fórmula de la transformación del producto del seno de alfa y coseno de beta en suma de razones trigonométricas

  • Transformación del producto del coseno de α y seno de β en suma (o resta):


    Fórmula de la transformación del producto del coseno de alfa y seno de beta en suma de razones trigonométricas

  • Transformación del producto de cosenos de α y β en suma (o resta):


    Fórmula de la transformación del producto de cosenos en suma de razones trigonométricas

Ejemplo

Sea α=90º y β=45º. Veamos que se verifican las igualdades de las transformaciones de suma a producto.

  • Transformación del producto del seno de α y β en suma (o resta):


    Ejemplo de la transformación del producto de senos en suma de razones trigonométricas

  • Transformación del producto del seno de α y coseno de β en suma (o resta):


    Ejemplo de la transformación del producto del seno de alfa y coseno de beta en suma de razones trigonométricas

  • Transformación del producto del coseno de α y seno de β en suma (o resta):


    Ejemplo de la transformación del producto del coseno de alfa y seno de beta en suma de razones trigonométricas

  • Transformación del producto de cosenos de α y β en suma (o resta):


    Ejemplo de la transformación del producto de cosenos en suma de razones trigonométricas

¿Cómo se obtienen?

Veamos como se obtiene la fórmula:


Fórmula de la transformación del producto de senos en suma de razones trigonométricas

De las fórmulas del coseno del ángulo suma y ángulo resta tenemos:


Fórmula del coseno del ángulo suma


Fórmula del coseno del ángulo resta

Restando las igualdades obtenemos:


Expresión del producto del coseno del ángulo suma y del ángulo resta

Y pasando el -2 dividiendo obtenemos la fórmula:


Fórmula de la transformación del producto de senos en suma de razones trigonométricas

Las otras tres fórmulas se obtienen de manera análoga.


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