Teorema de la tangente

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El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

La razón entre la suma de dos lados (a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.


Fórmula del teorema de la tangente

Aplicaciones del teorema de la tangente

  • Sabiendo un costado y dos ángulos, calcular los otros dos costados y el otro ángulo.
  • Sabiendo dos costados y un ángulo, calcular el otro costado y los otros dos ángulos.

Ejemplo

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Dibujo de un ejemplo de triángulo para calcular un lado por el teorema de la tangente.

Sea un triángulo con dos costados conocidos (a=4,2 cm y b=3,8 cm) y un ángulo conocido (C=60º). Se desea hallar A, B y c.

Sabiendo que la suma de los ángulos de un triángulo son 180º:


Cálculo de la suma de los ángulos A más B

Por el teorema de la tangente tenemos que:


Cálculo de la resta de los ángulos A menos B

Por lo tanto, obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (A y B).


Cálculo del sistema de dos ecuaciones para obtener A y B.

Se obtiene que A=64,95º y B=55,05º.

El lado c se podría hallar igualmente por el teorema de la tangente, pero, para simplificar, lo haremos por el teorema del seno.


Cálculo del lado c por el teorema del seno

El lado c=4,02 cm.


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