Teorema del seno

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El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo cualquiera. Éste enuncia que:

Cada costado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

Fórmula del teorema del seno


Dibujo del triángulo circunscrito en una circunferencia

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.

Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto (A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.


Fórmula del teorema del seno siendo las razones proporcionales al diámetro de la circunferencia en la que se circunscribe el triángulo.

Aplicaciones del teorema del seno

  • Sabiendo un lado y dos ángulos, calcular los otros dos lados y el otro ángulo.
  • Sabiendo dos lados y un ángulo opuesto a uno de los dos lados, calcular el otro lado y los otros dos ángulos.
  • Calcular el área del triángulo.

Ejemplo

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Dibujo de un ejemplo de triángulo para calcular sus lados y ángulos desconocidos por el teorema del seno.

Sea un triángulo con un costado conocido (b=8 cm) y dos ángulos conocidos (B=85º y C=60º).

Calcularemos los lados (a y c) y ángulos (A) desconocidos gracias al teorema del seno.

  1. Los ángulos suman 180º, por lo que A+B+C=180º. Sabiendo B y C obtenemos A.


    Cálculo del ángulo del triángulo A

    Se obtiene que A=35º.

  2. Por la fórmula del teorema del seno tenemos que:


    Fórmula del teorema del seno en el ejemplo

    Simplificando podemos obtener los dos lados restantes (a y c).


    Cálculo del lado a del triángulo mediante el teorema del seno


    Cálculo del lado c del triángulo mediante el teorema del seno

    Por lo que el lado a=4,6 cm y c=7 cm.

  3. Se conoce el lado b y el ángulo opuesto B. Se calcula el radio (R) de la circunferencia en la que está circunscrita el triángulo.


    Cálculo del radio de la circunferencia en la que está circunscrita el triángulo

    El radio de la circunferencia es R=4,015 cm. Todas las razones entre los lados y el seno del ángulo opuesto serán proporcionales a 2R=8,03 cm.

Conociendo dos ángulos y un costado del triángulo hemos calculado los demás lados y ángulos, a parte del radio y diámetro de la circunferencia en la que está circunscrito el triángulo. Lo representamos todo en el siguiente dibujo:


Dibujo del ejemplo de triángulo circunscrito en una circunferencia


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