Teorema del coseno

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El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:

El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

Fórmula del teorema del coseno


El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.

De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a2 =  b2+c2. Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

Aplicaciones del teorema del coseno

  • Averiguar los ángulos del triángulo sabiendo todos sus lados.
  • Sabiendo dos lados y el ángulo que forman, calcular el otro lado.

Cálculo de los ángulos de un triángulo sabiendo los tres lados

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Mediante el teorema del coseno se pueden calcular los ángulos de un triángulo sabiendo todos sus lados.

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

Fórmula del teorema del coseno para calcular los ángulos a partir de los lados


Los ángulos son el arcocoseno de la razón entre la suma del cuadrado de los lados contiguos al ángulo menos el cuadrado del lado opuesto y el doble del producto de los lados contiguos.

Ejemplo

Dibujo de un ejemplo de triángulo para calcular su lado desconocido por el teorema del coseno.

Sea un triángulo con dos costados conocidos (a=4 cm y c=6 cm) y sabiendo el ángulo que forman (B=85º).

¿Cuánto mide el costado b? Utilizaremos el teorema del coseno para calcularlo.


Cálculo del costado desconocido a partir del teorema del coseno.

Y se obtiene que el lado b=6,92 cm.

Si fuese necesario, se podrían calcular los dos ángulos restantes mediante el teorema del seno.


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4 comentarios

  1. fran aceituno dice:

    hay un error, cuando dice calculo de los ángulos de un triangulo… más abajo pone esta oración: ¨Mediante el teorema del coseno se pueden calcular los lados de un triángulo sabiendo todos sus lados. ¨ Saludos

  2. Ignacio dice:

    la ultima parte del ejemplo es incorrecta, se le suma 4.176 cuando debe restarsele, resultando en vez de 7.5, 6.91

    • Universo Formulas dice:

      Hola Ignacio,
      Tienes razón, el cálculo era erróneo, ya que había que restar 4.176 y ni sumarlo.
      Ya lo hemos corregido, muchas gracias por avisarnos del error.
      Un cordial saludo.

  3. Ramón Martínez S. dice:

    Página muy buena , la recomiendo a quién desee aprender , repasar o recordar , estas funciones de Trigonometría , que sirve en todos los campos del quehacer , campo, ciudad y en donde se requiera cálculos . MUY BUENA

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