Seno

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Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo del seno

El seno de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

Fórmula del seno

Es una de las razones trigonométricas. Se llaman razones porque se expresan como el cociente de dos de los lados del triángulo rectángulo.

Su abreviatura son sen o sin (del latín sinus).

Seno de ángulos característicos

El seno de los ángulos más característicos es:

Tabla del seno de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º).
Dibujo en la circunferencia goniométrica del seno de los ángulos más característicos y el signo del seno en cada cuadrante.

Características del seno

  • Dominio: Dominio del seno.
  • Recorrido: Codominio del seno.
  • Simetría: dado que sin (-x) = -sin (x) entonces sin (x) es una función impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen (0, 0).
  • Crecimiento y decrecimiento: tomando el período de 0 a 2π, sin (x) crece en los intervalos (0, π/2) y (3π/2, 2π), y decrece en el intervalo (π/2, 3π/2).
  • Límites: Los límites cuando x se acerca a ±∞ no existen ya que los valores de la función oscilan entre +1 y −1. Esta es una función periódica con período 2π.
  • Derivada: Derivada del seno.
  • Integral: Integral del seno.

Representación gráfica de la función seno

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Gráfica de la función del seno.

La función seno es periódica de período 360º (2π radianes), por lo que esta sección de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.

Representación geométrica del seno

Dibujo de la representación geométrica del seno.

Relaciones del seno con las restantes razones trigonométricas

Hay algunas identidades trigonométricas básicas que involucran al seno:

(1) Nota: el signo que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Dibujo de los signos de las relaciones trigonométricas en la circunferencia goniométrica

Seno del ángulo complementario, suplementario, conjugado y opuesto

Seno del ángulo suma, resta, doble y mitad

Transformaciones de razones trigonométricas

Teorema del seno

El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo cualquiera. Éste enuncia que:

Cada lado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

Fórmula del teorema del seno

Dibujo del triángulo circunscrito en una circunferencia

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.

Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto (A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.

Fórmula del teorema del seno siendo las razones proporcionales al diámetro de la circunferencia en la que se circunscribe el triángulo.

Relación entre razones trigonométricas

Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.

Tabla de la relación entre razones trigonométricas.

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Otras razones trigonométricas

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de las razones trigonométricas

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Razones trigonométricas de ángulos característicos

El seno, coseno y tangente de los ángulos más característicos (tales como 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:

Tabla de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º).

Razones trigonométricas recíprocas

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de las razones trigonométricas recíprocas

Las razones trigonométricas recíprocas de un ángulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triángulo rectángulo, siendo α uno de sus ángulos agudos.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas se llaman también funciones circulares. El motivo es que el punto B del triángulo que se ha dibujado sobre el eje de coordenadas, con el vértice del ángulo α en el centro de una circunferencia (O), puede recorrer todos los puntos de esta última.

Dibujo de las funciones trigonoméricas de un triángulo sobre una circunferencia de radio 1

Se pueden representar gráficamente las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas en el triángulo sobre una circunferencia de radio r=1.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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2 comentarios en “Seno”

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