El seno de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).
Es una de las razones trigonométricas. Se llaman razones porque se expresan como el cociente de dos de los lados del triángulo rectángulo.
Su abreviatura son sen o sin (del latín sinus).
Seno de ángulos característicos
El seno de los ángulos más característicos es:
Características del seno
- Dominio:
- Recorrido:
- Simetría: dado que sin (-x) = -sin (x) entonces sin (x) es una función impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen (0, 0).
- Crecimiento y decrecimiento: tomando el período de 0 a 2π, sin (x) crece en los intervalos (0, π/2) y (3π/2, 2π), y decrece en el intervalo (π/2, 3π/2).
- Límites: Los límites cuando x se acerca a ±∞ no existen ya que los valores de la función oscilan entre +1 y −1. Esta es una función periódica con período 2π.
- Derivada:
- Integral:
Representación gráfica de la función seno
La función seno es periódica de período 360º (2π radianes), por lo que esta sección de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.
Representación geométrica del seno
Relaciones del seno con las restantes razones trigonométricas
Hay algunas identidades trigonométricas básicas que involucran al seno:
- Relación con el coseno:
- Relación con la tangente:
- Relación con la tangente del ángulo mitad:
- Relación con la cosecante:
- Relación con la secante:
- Relación con la cotangente:
(1) Nota: el signo que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.
Seno del ángulo complementario, suplementario, conjugado y opuesto
- Seno del ángulo complementario:
- Seno del ángulo suplementario:
- Seno del ángulo conjugado:
- Seno del ángulo opuesto:
- Seno de ángulos que difieren 90º:
- Seno de ángulos que difieren 180º:
Seno del ángulo suma, resta, doble y mitad
- Seno del ángulo suma:
- Seno del ángulo resta:
- Seno del ángulo doble:
- Seno del ángulo mitad:
- Seno del ángulo triple:
Transformaciones de razones trigonométricas
- Transformación de razones trigonométricas de suma en producto
- Transformación de razones trigonométricas de producto en suma
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo cualquiera. Éste enuncia que:
Cada lado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).
La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.
Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto (A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.
Relación entre razones trigonométricas
Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.
Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.
Otras razones trigonométricas
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.
- El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).
- La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).
Razones trigonométricas de ángulos característicos
El seno, coseno y tangente de los ángulos más característicos (tales como 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:
Razones trigonométricas recíprocas
Las razones trigonométricas recíprocas de un ángulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triángulo rectángulo, siendo α uno de sus ángulos agudos.
- Cosecante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a):
- Secante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b):
- Cotangente de α. Se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a):
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas se llaman también funciones circulares. El motivo es que el punto B del triángulo que se ha dibujado sobre el eje de coordenadas, con el vértice del ángulo α en el centro de una circunferencia (O), puede recorrer todos los puntos de esta última.
Se pueden representar gráficamente las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas en el triángulo sobre una circunferencia de radio r=1.
ta bonito
las razones trigonometricas se asemejan a la operacion algebraica de los limites diferenciales e integrales