Resolución de triángulos

Resolución de triángulos

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Dibujo de un triángulo con tres de sus elementos conocidos

La resolución de triángulos es una aplicación de las más importantes de la trigonometría.

Cualquier triángulo puede resolverse si se conocen, al menos, tres de sus elementos, siendo al menos uno de ellos un lado.

Es decir, se pueden calcular los tres lados y los tres ángulos del triángulo a partir de tres de ellos, siendo al menos uno de ellos un lado.

Descárgate esta calculadora para obtener los resultados de las fórmulas de esta página. Elige los datos iniciales e introdúcelos en el recuadro superior izquierdo. Para resultados, pulsa INTRO.

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Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).

Resolución de triángulos conociendo un lado y dos ángulos

El procedimiento es idéntico en los dos casos siguientes: en el primero, los dos ángulos son adyacentes al lado conocido, en el segundo, se conoce un ángulo adyacente y otro ángulo opuesto al lado conocido.

1. Se conoce un lado y sus dos ángulos adyacentes

Dibujo de un triángulo con un lado (a) y dos ángulos (B y C) conocidos

Sea un triángulo con un lado y dos ángulos adyacentes conocidos, por ejemplo a, B y C.

  • El ángulo A se puede calcular a partir de los ángulos B y C. Sabemos que los ángulos de un triángulo suman 180º, por lo que A es:
    Cálculo del ángulo A en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.
  • Los lados b y c se pueden calcular gracias al teorema del seno. Sabemos por el teorema del seno que:
    Fórmula del teorema del seno

    Por lo tanto, los lados b y c serán:

    Cálculo de los lados b y c en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos
  • El área del triángulo a partir de los tres elementos conocidos (a, B y C):
    Fórmula del área en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos

O, lo que es lo mismo:

Fórmula 2 del área en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos

2. Se conoce un lado, uno de los dos ángulos adyacentes y otro ángulo, el opuesto

Dibujo de un triángulo con un lado (a) y dos ángulos (A y C) conocidos

Conocemos a, C y A.

  • El ángulo B se puede calcular a partir de los ángulos A y C. Como los ángulos de un triángulo suman 180°, A será:
    Cálculo del ángulo B en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.
  • El lado c se puede calcular gracias al teorema del seno.
    Cálculo del lado c en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.
  • El lado b igualmente se puede calcular gracias al teorema del seno.
    Cálculo del lado b en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.

El área del triángulo a partir de los tres elementos conocidos (un lado y dos ángulos, por ejemplo a, B y C):

Cálculo del área del triángulo en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.

Resolución de triángulos conociendo dos lados y un ángulo

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Se pueden presentar dos casos:

1. Se conocen dos lados y el ángulo que forman éstos

Dibujo de un triángulo con dos lados (a y b) y un ángulo (C) conocidos

Sea un triángulo del que tenemos dos lados y el ángulo que forman, siendo éstos por ejemplo a, b y C.

  • El lado desconocido c se puede calcular a partir del teorema del coseno. Éste se obtiene a partir de los lados a y b y el ángulo que forman C:
    Cálculo del lado c en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman.
  • El ángulo A se obtiene a partir del teorema del seno:
    Cálculo del ángulo A en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman.
  • El ángulo B se halla sabiendo los otros dos ángulos. Como los ángulos de un triángulo suman 180º, el ángulo B es:
    Cálculo del ángulo B en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman.
  • El área del triángulo se calculará a partir de los lados conocidos a y b y el ángulo que forman C.:
    Cálculo del área en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman.

2. Se conocen dos lados y un ángulo diferente al que forman éstos

Dibujo de un triángulo con dos lados (b y c) y un ángulo (C) conocidos

Sea un triángulo con dos lados y un ángulo conocidos, por ejemplo b, c y C.

  • El ángulo B se calcula a partir del teorema del seno. Se sabe por el teorema del seno que:
    Fórmula del teorema del seno.

    Por lo tanto, el ángulo B es:

    Cálculo del ángulo B en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y un ángulo.
  • El ángulo A se calcula a partir de los ángulos B y C. La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, por lo que A es:
    Cálculo del ángulo A en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y un ángulo.
  • Por el teorema del seno, una vez se conocen los ángulos A y B, se puede calcular el lado a:
    Cálculo del lado a en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y un ángulo.
  • Sabiendo todos los lados y ángulos, se calcula el área del triángulo a partir de dos lados y el ángulo que forman:
    Cálculo del área en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y un ángulo.

Resolución de triángulos conociendo los tres lados

Dibujo de un triángulo con los lados (a, b y c) conocidos

Sea un triángulo con los lados a, b y c conocidos.

  • Por el teorema del coseno sabemos que:
    Fórmula del teorema del coseno para el lado a

    Por lo tanto, el ángulo A se calcula como:

    Cálculo del ángulo A en la resolución de un triángulo conociendo los tres lados.
  • De la misma manera y por el teorema del coseno, tenemos que:
    Fórmula del teorema del coseno para el lado b

    Y por el mismo procedimiento, el ángulo B es:

    Cálculo del ángulo B en la resolución de un triángulo conociendo los tres lados.
  • El ángulo C se obtiene a partir de A y B. La suma de los ángulos del triángulo es de 180º, por lo que C es:
    Cálculo del ángulo C en la resolución de un triángulo conociendo los tres lados.
  • El área del triángulo se calcula de la misma forma que el caso anterior:
    Cálculo del área en la resolución de un triángulo conociendo los tres lados.

    O bien, también puede calcularse mediante la fórmula de Herón, ya que los tres lados son conocidos:

    Fórmula de Herón para el cálculo del área sabiendo los lados del triángulo.

Resolución geométrica de triángulos, conociendo la base, la altura y el ángulo superior

Se resuelve geométricamente trazando el arco capaz correspondiente a partir del segmento de la base y del ángulo superior. Veámoslo con un ejercicio.

Ejercicio

Hallar los elementos restantes de un triángulo del que se sabe que la base AB mide 5 cm, su ángulo opuesto C = 30° y la altura sobre esta base 7 cm.

Solución:

Por procedimiento geométrico, se traza el arco capaz correspondiente a ese segmento AB de la base de 5 cm y a un ángulo de 30°.

Para ello, se siguen los pasos descritos en el enlace: arco capaz.

Se traza una línea paralela a la base separada de ella los 7 cm de la altura del triángulo.

Los dos puntos (C y C’) en que intersecta la paralela al arco capaz serán los dos vértices de los dos triángulos simétricos ΔABC y ΔABC’ que cumplen las condiciones del ejercicio. Veámoslo en el dibujo.

Dibujo del ejemplo 1 de un arco capaz

Con instrumentos geométricos, como transportador de ángulos y regla graduada, obtenemos que el ángulo obtuso mide 103,7° y el agudo, 46,3°, mientras que el lado mayor mide 9,7 cm y el menor, 7,2 cm.

Finalmente, el área la obtenemos por la fórmula básica del área del triángulo:

Cálculo de la solución en el ejemplo 1 de arco capaz

Se obtiene que el área es de 17,5 cm2.

Resolución geométrica de un triángulo conociendo dos ángulos y el radio de la circunferencia inscrita

Se resuelve geométricamente a partir de un triángulo semejante mayor auxiliar, del que encontraremos su incentro. Veámoslo con un ejercicio.

Ejercicio

Hallar los lados de un triángulo del sabemos dos ángulos, A = 30° y C = 60° y también el radio de la circunferencia inscrita r = 2.

Solución:

Con instrumentos de dibujo, construimos un triángulo cualquiera, aunque de dimensiones sensiblemente mayores al que esperamos, que cumpla tener dos ángulos, A = 30° y C = 60°. Escojeremos por ejemplo un lado, AC, de 15 de longitud. Construimos el triángulo ΔABC y trazamos geométricamente las bisectrices BA y BC que se cortarán en el incentro I.

Dibujo 1 del ejemplo 1 de la circunferencia inscrita en un triángulo

Desde el incentro trazamos una perpendicular al lado AC. Sobre esta recta tomamos un segmento, a partir del incentro y en dirección a AC, de longitud igual al radio dado de la circunferencia inscrita, r = 2. Con centro en I, trazamos la circunferencia inscrita del triángulo buscado:

Dibujo 2 del ejemplo 1 de la circunferencia inscrita en un triángulo

Con tres rectas tangentes a la nueva circunferencia inscrita trazada y paralelas a los tres lados AB, BC y CD, construimos un nuevo triángulo ΔA’B’C’. Este nuevo cumple las condiciones de semejanza de triángulos al tener sus ángulos congruentes (iguales), por ser sus lados paralelos (primer teorema de Tales).

Medimos los tres lados del triángulo hallado. El resultado se ve en la imagen:

Dibujo 3 del ejemplo 1 de la circunferencia inscrita en un triángulo

El área la podemos obtener mediante la fórmula de Herón a partir de los tres lados:

Cálculo por la fórmula de Herón del ejemplo 1 de la circunferencia inscrita en un triángulo

El área es de 25,72. Falta determinar el tercer ángulo, que completa los 180°, suma de los ángulos internos de todo triángulo:

Cálculo del ángulo del ejemplo 1 de la circunferencia inscrita en un triángulo

Resolución de un triángulo conociendo dos lados y una altura

Veamos la resolución del triángulo geométricamente. Hay dos casos:

1. Se conocen dos lados y la altura sobre uno de ellos

Supongamos que conocemos b y c y la altura hb:

Dibujo del enunciado del ejemplo 1 conociendo dos lados y la altura

Traza el segmento b.

Dibuja una paralela a b separada una distancia hb:

Con centro en un extremo de b y radio c haz un arco de circunferencia que corte a la paralela superior. Es el ángulo que faltaba. Completa el triángulo con el lado a que faltaba.

Dibujo del arco de circunferencia del ejemplo 1 conociendo dos lados y la altura

2. Se conocen dos lados y la altura sobre el tercer lado

Supongamos que conocemos a y c y la altura hb:

Traza dos paralelas separadas una distancia hb.

Desde un punto cualquiera de la recta superior haz el centro y traza dos arcos de circunferencia de radios a y c.

Dibujo del centro de circunferencia del ejemplo 1 conociendo dos lados y la altura

Donde corten estos arcos a la recta inferior serán los dos vértices que faltan. El lado inferior b es el segmento entre estos dos vértices. El triángulo está construido.

Dibujo de la solución del ejemplo 1 conociendo dos lados y la altura

Resolución de un triángulo conociendo dos ángulos y su área

Dibujo de un triángulo conociendo dos ángulos y su área

El tercer ángulo se obtiene sabiendo que los tres suman 180°.

Cálculo del tercer ángulo

De la última fórmula del área del punto 1 de este capítulo, obtenemos el lado a:

Cálculo del lado a

Los dos lados restantes se obtienen de esta fórmula del área:

Cálculo del lado b

Y el tercer lado:

Cálculo del lado c

Resolución de los triángulos isósceles

Dibujo de un triángulo isósceles para su resolución

Los triángulos isósceles son un caso particular de los triángulos, en los que hay dos lados iguales (por ejemplo a y c) y dos ángulos iguales (por ejemplo A y C).

Se resuelven conociendo sólo dos datos, siempre que estos no sean ni dos ángulos ni dos lados iguales. Es decir, sabiendo un lado y un ángulo. El planteamiento es simple, ya que, sabiendo que es isósceles, partimos de dos lados iguales y dos ángulos también iguales.

La operativa general es: la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es de 180° y el teorema del seno.

1. Se conoce la base b y el ángulo opuesto B

Dibujo de un triángulo isósceles conociendo b y B para su resolución

Si conocemos la base b y el ángulo opuesto, el ángulo desigual B, la resolución es la siguiente:

Fórmula para la resolución de triángulos isósceles conociendo b y B

2. Se conoce un lado oblicuo c y el ángulo adyacente A

Dibujo de un triángulo isósceles conociendo c y A para su resolución

Conociendo un lado oblicuo, el lado c y el ángulo adyacente que se forma con la base, el ángulo A, se resuelve de la siguiente forma:

Fórmula para la resolución de triángulos isósceles conociendo c y A

3. Se conoce un lado oblicuo c y el ángulo desigual B

Dibujo de un triángulo isósceles conociendo c y B para su resolución

Si son conocidos el lado oblicuo c y el ángulo diferente B, el procedimiento es:

Fórmula para la resolución de triángulos isósceles conociendo c y B

Esta solución es idéntica a cuando los datos son c y C.

4. Se conoce la base b y el ángulo adyacente igual A

Dibujo de un triángulo isósceles conociendo b y A para su resolución

Si son conocidos la base b y el ángulo adyacente igual A, se resuelve el triángulo isósceles de la siguiente forma:

Fórmula para la resolución de triángulos isósceles conociendo b y A

5. Se conoce el lado oblicuo c y el ángulo opuesto C

Dibujo de un triángulo isósceles conociendo c y C para su resolución

Conociendo un lado oblicuo, por ejemplo el c, y el ángulo opuesto C, es la misma solución que en el punto 3.

6. Se conoce el perímetro y la altura

Dibujo de un triángulo isósceles conociendo su perímetro y altura

De las fórmulas de la altura y del perímetro del triángulo isósceles:

Fórmula para la resolución de triángulos isósceles conociendo su altura y perímetro

P es el perímetro, h es la altura, b es la base y a son los dos lados iguales.

Obtenemos la base y los lados iguales en función del perímetro y la altura:

Fórmula 2 para la resolución de triángulos isósceles conociendo su altura y perímetro

Ahora se averiguan los ángulos:

Dibujo de un triángulo isósceles conociendo su perímetro y altura para averiguar sus ángulos

Con una sola aplicación del teorema del coseno, ya que sabemos los tres lados y dos lados son iguales:

Teorema del coseno para la resolución de triángulos isósceles conociendo su altura y perímetro

Y el área, partiendo dos lados y el ángulo que forman:

Área para la resolución de triángulos isósceles conociendo su altura y perímetro

7. Se conocen el área y los dos ángulos iguales

Dibujo de un triángulo isósceles conociendo su área y lados iguales

El ángulo A se puede calcular a partir de los ángulos B y C. Sabemos que los ángulos de un triángulo suman 180°, por lo que A es:

Cálculo del ángulo A

La base b se calcula con esta fórmula. Se deduce la fórmula del teorema del seno y de la fórmula del área de un triángulo sabiendo un lado y sus dos ángulos adyacentes. Aquí sabemos esos dos ángulos (A = C) y el área.

Cálculo del lado b

Y los dos lados oblicuos iguales, también con el teorema del seno:

Cálculo de los lados oblicuos

Resolución de los triángulos rectángulos

Dibujo de un triángulo rectángulo para su resolución

Los triángulos rectángulos son un caso particular de los casos generales, en los que hay un ángulo recto (90°).

Se resuelven conociendo sólo dos datos, siempre que estos no sean los dos ángulos agudos.

La operativa general es porque la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es de 180° (por lo que la suma de los dos ángulos agudos es de 90°) y por el teorema del seno.

También es útil en la resolución, aunque no se ha empleado aquí, el teorema de la tangente.

1. Se conoce un cateto b y su ángulo agudo adyacente A

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo b y A para su resolución

Si conocemos un cateto (por ejemplo el b)y su ángulo agudo adyacente (en este caso, el ángulo A), se resuelve así:

Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo b y A

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo b y B para su resolución

La misma solución para el cateto b y su ángulo agudo opuesto B, sólo que A = 90° – B.

2. Se conoce la hipotenusa c y el ángulo agudo A

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo c y A para su resolución

Por otro lado, si se conoce la hipotenusa c y un ángulo agudo (en este caso, el ángulo A), se resuelve de la siguiente manera:

Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos conociendo c y A

Aplicamos que sen 2A = 2sen A · cos A, por las razones trigonométricas del ángulo doble.

3. Se conocen los dos catetos a y b

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo a y b para su resolución

Conociendo los dos catetos a y b, tenemos:

Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos conociendo a y b

4a. Se conoce el cateto b y la hipotenusa c

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo b y c para su resolución

Si son conocidos el cateto b y la hipotenusa c, la resolución es:

Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos conociendo b y c

4b. Se conoce la hipotenusa y el perímetro

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo hipotenusa y perímetro

El área, con esos dos datos de partida se puede calcular con la fórmula:

Fórmula del área para la resolución de triángulos rectángulos conociendo hipotenusa y perímetro

Para deducir esta fórmula basta con la fórmula del perímetro, la del área y el teorema de Pitágoras. Aquí se muestra el proceso:

Fórmula del área 2 para la resolución de triángulos rectángulos conociendo hipotenusa y perímetro

Sabiendo el área y la hipotenusa, podemos hallar la altura sobre ella hc:

Fórmula de la altura para la resolución de triángulos rectángulos conociendo hipotenusa y perímetro

Por el teorema del seno, hallamos un ángulo agudo sobre el triángulo formado por el cateto b como hipotenusa y la altura hc y la proyección sobre c. Tambien hallamos el ángulo restante:

Fórmula del ángulo para la resolución de triángulos rectángulos conociendo hipotenusa y perímetro

Y nos quedan los dos catetos, que los obtenemos por el seno de sus ángulos respectivos:

Fórmula de los catetos para la resolución de triángulos rectángulos conociendo hipotenusa y perímetro

4c. Se conoce un ángulo agudo y el área

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo el ángulo agudo y el área

El otro ángulo agudo se calcula así:

Cálculo del otro ángulo agudo

La base, el cateto b se calcula con esta fórmula. Se deduce la fórmula del teorema del seno y de la fórmula del área de un triángulo sabiendo un lado y sus dos ángulos adyacentes. Aquí sabemos esos dos ángulos (A = C) y el área.

Con las razones trigonométricas de ángulos que difieren 90° el valor de las razones trigonométricas de 90° y simplificando, se halla el lado b así:

Cálculo del lado b

Finalmente, el tercer lado, c, la hipotenusa, se halla por el teorema de Pitágoras:

Cálculo del lado c

5. Cuando el triángulo rectángulo es también isósceles

Dibujo de un triángulo rectángulo y isósceles para su resolución

En este caso, los dos catetos a y b son iguales. También son iguales y de 45° los dos ángulos agudos A y B y además, el ángulo C es recto.

Veamos tres casos:

5.1. Se conoce un cateto y un ángulo agudo

Dibujo de un triángulo rectángulo y isósceles conociendo b y A para su resolución

Si se conoce un cateto y un ángulo agudo, que al tener 45° se comprueba que el triángulo también es isósceles.

Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo b y A

5.2. Se conoce la hipotenusa

Dibujo de un triángulo rectángulo y isósceles conociendo c y A para su resolución

Aplicamos el teorema de Pitágoras, siendo los catetos a y b y la hipotenusa c.

Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo c y A

Tenemos los lados y ángulos iguales (45°) y el área.

5.3. Se conocen los dos catetos

Dibujo de un triángulo rectángulo y isósceles conociendo a y b para su resolución

Si son conocidos los dos catetos que, al ser iguales se comprueba que el triángulo también es isósceles, la resolución es:

Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo a y b

5.4 Conociendo el área, hallar los lados

Uniendo por sus hipotenusas dos triángulos rectángulos isósceles iguales, obtenemos un cuadrado cuya área es el doble del área de triángulo rectángulo isósceles dado:

Dibujo de la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo el área

El área de un cuadrado es:

Cálculo del área del cuadrado para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo el área

Como el área dada del triángulo rectángulo isósceles es la mitad de la del cuadrado:

Cálculo de la mitad del área para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo el área

Se despeja el cateto a:

Cálculo del cateto para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo el área

Y, por Pitágoras se obtiene la hipotenusa b:

Cálculo de la hipotenusa para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo el área

Se ha resuelto determinando los tres lados (y los tres ángulos previamente conocidos de un triángulo rectángulo isósceles) a partir del área.

Resolución de triángulos equiláteros

Dibujo de un triángulo equilátero para su resolución

Para resolver un triángulo equilátero, basta con conocer solamente uno de sus lados.

Un triángulo equilátero es a la vez, triángulo acutángulo, triángulo isósceles, triángulo oblicuángulo y el polígono regular más simple.

Conociendo el lado a tenemos todos los datos.

Dibujo de un triángulo equilátero conociendo a para su resolución

Con este dato lo resolvemos:

Fórmula para la resolución de triángulos equiláteros conociendo a

Dibujo de un triángulo equilátero conociendo la apotema para su resolución

Y con el lado a resolvemos también la altura del triángulo equilátero, el área de un triángulo equilátero, el perímetro de un triángulo equilátero e, incluso, su apotema.

Fórmula para la resolución de triángulos equiláteros conociendo la apotema

Ejercicios

Ejercicio 1

Dibujo de un ejemplo de triángulo con dos lados (b y c) y un ángulo (C) conocidos

Sea un triángulo con dos lados y un ángulo conocidos, siendo éstos b=8 cm, c=7 cm y C=60º.

  • Primero se calcula el ángulo B a partir del teorema del seno, mediante la fórmula:
    Cálculo del ángulo B en el ejemplo de resolución de triángulos.

    Y el ángulo B=81,79º.

  • El ángulo A se calcula a partir de los ángulos B y C. La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, por lo que A es:
    Cálculo del ángulo A en el ejemplo de resolución de triángulos.

    El ángulo A=38,21º.

  • Por el teorema del seno, una vez se conocen los ángulos A y B, se calcula el lado a:
    Cálculo del lado a en el ejemplo de resolución de triángulos.

    Se obtiene que el lado a=5 cm.

  • Sabiendo todos los lados y ángulos, se calcula el área del triángulo a partir de dos lados y el ángulo que forman:
    Cálculo del área en el ejemplo de resolución de triángulos.

    Y el área es de 17,32 cm2.

Ejercicio 2

Hallar los tres lados de un triángulo, del que se conoce su área, que es de 19,45 cm² y los tres ángulos: A = 30°, B = 100° y C = 50°.

Usaremos la fórmula del área de un triángulo cualquiera en función de un lado y los dos ángulos adyacentes, fórmula que tenemos en esta misma página:

Enunciado en el ejemplo 2 de resolución de triángulos.

Despejamos el lado a y sustituimos valores en el resto:

Cálculo del lado a en el ejemplo 2 de resolución de triángulos.

Tenemos el lado a. Los otros dos lados los obtenemos por el teorema del seno:

Cálculo del lado a en el ejemplo 2 de resolución de triángulos.

El resultado se ve en la figura:

Dibujo del ejemplo 2 de resolución de triángulos.

AUTOR: Bernat Requena Serra


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95 comentarios en “Resolución de triángulos”

  1. Un triángulo de 60cm de perímetro, con la altura trazada desde la hipotenusa (no especifica si es mediatriz u otro) al Vertice es igual a 12 cm. Hallar todos los lados del Triángulo

  2. Hola, se puede calcular ya sea o algún ángulo, o el lado faltante de un triangulo, si sólo cuento con las distancias de 2 lados y ningún ángulo?

    El Problema, tengo la imagen de mala calidad de un polígono de 11 lados, cuento con todas las distancias pero ningún ángulo, no se nota ningún dato del cuadro de construcción (rumbos, distancias y coordenadas), pero las distancias sí se pueden ver en el polígono, se me ocurre resolverlo dividiéndolo en triángulos, y de ahí ir sacando todo, pero en los mejores casos, sólo cuento con 2 lados y ningún ángulo es posible resolverlo?

    1. En un triángulo cualquiera necesitas tres datos, siempre que no sean los tres ángulos.
      Podrías en situaciones concretas de rectángulos o isósceles.
      Si buscas el área de ese polígono irregular del que sabes los lados, ni no está muy borroso, consulta la página Área de un polígono irregular de UNIVERSO FÓRMULAS.

    1. Como se dice en esta página:
      Cualquier triángulo puede resolverse si se conocen, al menos, tres de sus elementos, siendo al menos uno de ellos un lado.

    1. Lo tienes en esta misma página.
      Como es rectángulo, te basta con dos lados (el otro por Pitágoras)
      Un ángulo ya lo sabes (90°)
      Ves a los apartados de esta página:
      3. Se conocen los dos catetos a y b
      o
      4a. Se conoce el cateto b y la hipotenusa c

  3. Como hago si tengo un triangulo con 0,18m en «a» 0,24m en «b» y 0,18m en «c» y me piden que calcule el angulo de A y no tengo ningun angulo

    1. Ves a la pàgina Resolución de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Verás que con dos datos, en tu caso un cateto y el ángulo recto no lo puedes resolver.

  4. si un polígono regular de 7 lados está inscrito en una circunferencia de radio igual a 22.8 cm, determínese la longitud de un lado del polígono.

    1. Ves a la página Resolución de un polígono regular trigonométricamente de UNIVERSO FÓRMULAS.
      En el apartado Radio de la circunferencia circunscrita de esa página verás la fórmula que relaciona ese radio con el lado.
      Te dará:
      L = 19,786 cm

  5. Cristopher Matias Leiva Gonzalez

    como calcular el cateto de un triangulo rectangulo de 330 metros de perimetro si la tangente de uno de sus angulos es de 2,4 ? urgente

    1. tan A = a / b
      2,4 = a / b
      a = 2,4 * b
      (2,4 * b) + b + c = 330
      3,4 * b + c = 330
      (2,4 * b)² + b² = c²
      6,76 *b² = c²
      Resolver este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (b y c)

  6. Los lados de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm. Se construye otro semejante a él cuyo lado menor mide 15 cm. Halla los otros dos lados del segundo triángulo

    1. Mira la página Semejanza de triángulos de UNIVERSO FÓRMULAS.
      Mira que los lados menores son 3 y 15

  7. gabriel morales

    1. ¿Se tienen tres ciudades A, B y C; y se conoce la distancia entre A y B, y la distancia entre A y C. ¿cómo se
    puede determinar trigonométricamente hablando, la distancia entre las ciudades B y C? Explique
    claramente su respuesta.

  8. gabriel morales

    buenas tengo una duda tengo un ejercicio pero tengo la duda si hacerlo por pitágoras como ustedes lo explican acá pero deseo colaboración para mayor y eficaz realización de mi ejercicio

  9. Hola muy buenas,como se resolveria este ejercicio? Calcule el perimetro del triangulo ABC que se muestra en la figura, sabiendo que AC= 5Km (Base)y la distancia de B al albergue es de 2,4 km (h), el triangulo inicial es un triangulo rectangulo con angulo de 90 grados e n el angulo B y su hipotenusa es el lado AC.

    1. Parece que 2,4 es la altura sobre la hipotenusa, por lo que el área no debería ser ninguna dificultad.
      Área = 5*2,4 / 2

  10. German Magerakis

    SI SOLO ME DAN COMO DATO DOS LADOS DE UN TRIANGULO…..DICE LOS DOS LADOS DE UN TRIANGULO MIDEN 6,8 Y 12 CM CALCULA LA MEDIDA DEL LADO OPUESTO AL LADO DE 12 CM…………………….
    YO LO PUEDO RESOLVER TRATÁNDOLO COMO ANGULO RECTÁNGULO PERO EL ENUNCIADO NO ME LO ACLARA. ??????

    1. Para resolver un triángulo hacen falta tres datos que no sean los tres ángulos.
      Solamente cabría que fuese isósceles, en el caso 4 o que fuese rectángulo, casos 3 y 4.
      En estos casos hay como truco, porque si es rectángulo, aunque no te lo den, tienes un ángulo de 90°. Y si fuese isósceles, hay un lado igual a otro, o bien dos ángulos iguales.

  11. Hola. Por favor, ¿cómo calcular los lados de un escaleno si se conocen sus ángulos y el radio de una circunferencia inscrita en él? Gracias!!

    1. Tendrás que resolverlo gráficamente.
      Dibuja un triángulo cualquiera, de dimensiones que estimes mayores que el que le corresponde a ese radio del incentro.
      Traza dos bisectrices y tienes el incentro.
      Perpendicular del incentro a un lado, p.e. la base.
      De esa perpendicular, mide el radio r de la circunferencia inscrita que te dan.
      Desde el incentro, traza la circunferencia inscrita con el radio r dado.
      Traza paralelas a los tres lados que sean tangentes al primer triángulo.
      El triángulo nuevo, menor que el anterior y semejante a él es el que buscas.

    1. Busca en esta misma página la fórmula que expresa el área del triángulo a partir de los tres elementos conocidos (a, B y C)
      Como conoces los ángulos y el área, despeja el lado a.
      Luego, por el teorema del seno hallas fácilmente los lados b y c

    1. Fíjate en lo que se indica al principio de la página:
      «Cualquier triángulo puede resolverse si se conocen, al menos, tres de sus elementos, siendo al menos uno de ellos un lado.

      Es decir, se pueden calcular los tres lados y los tres ángulos del triángulo a partir de tres de ellos, siendo al menos uno de ellos un lado«.
      Bruce, no se puede resolver un triángulo conociendo solo los tres ángulos. Mucho menos, parte de ellos.

  12. me gustaría que me ayudaran a conocer el valor de un lado y dos ángulos, el lado b=20, el lado c=12 y el angulo que forman es de 20, muchísimas gracias si se dan el tiempo de ayudarme

    1. Ves a la página de esta web teorema del coseno y hallas el lado a.
      Luego ves también a la página teorema del seno y hallas cualquiera de los dos ángulos que te faltan, por ejemplo el B.
      El ángulo restante C lo obtienes restando los dos que ahora conoces de 180°.

  13. como funciona lo del arc sen, cuando en el ejercicio colocas que el arc sen : 0,9897 : 81,79 ○???? URGENTEE, osea como sacas esa cuenta en la calculadora para llevarlo a los grados no entiendo, PLEASEE ES URGENTEEE

    1. El seno de 81,97° es 0,9897.
      Puedes hacerlo fácilmente con excel.
      Función RADIANES para pasar de grados a radianes.
      Función SENO.

    1. Necesitas datos iniciales. Para un triángulo cualquiera, pongamos escaleno, te hacen falta tres datos, siempre que no sean los tres ángulos. Tienes las soluciones en UNIVERSO FÓRMULAS

    1. Construye el isósceles circunscrito.
      Base b, altura h =2b y radio R de la circunferencia.
      Une el centro de la circunferencia O con los dos vértices de la base b.
      El nuevo triángulo es otro isósceles de base b, lados iguales R y altura h1 = h – R = 2bR.
      Resuelve la mitad de ese triángulo, que es un rectángulo de catetos b / 2 y 2b -R. Ecuación con incógnita b.
      Por Pitágoras.
      Resultado: b = 16/17 R
      h = 32/17 R
      Y por Pitágoras, los dos lados iguales a.
      Espero que te sirva.

  14. Muchas gracias por su respuesta. Es mas o menos lo mismo que lo de las propiedades del circulo circunscrito (me confundi poniendo inscrito): siguiendo la propiedad de que el angulo desde el centro de la circunferencia circunscrita a la base es el doble del angulo que se forma desde cualquier punto de la circunferencia. De ahi tambien se puede deducir lo que ud. comenta a la hora de formar el arco capaz.
    El profesor ha dicho que hay cuatro formas (y por supuesto no nos ha dicho ) y hay una que se me escapa.. un saludo

    1. Siento que no sea lo que buscabas.
      Sinceramente, ahora no caigo en el procedimiento alternativo. Si lo averiguas, te agradeceria que lo compartieras. Un saludo.

  15. Sabiendo el angulo superior, el lado contrario (la base) y la altura del triangulo, aparte de poder resolverse con las propiedades del producto vectorial, trigonometricamente y con las propiedades del circulo inscrito , cual es la cuarta forma con la que se podria resolver?

    1. Mediante el arco capaz
      Traza la base. Sobre ella, con un compás, su mediatriz.
      En uno de los extremos de la base, con un transportador de ángulos, dibuja hacia abajo un ángulo igual al superior.
      Desde el extremo de la base que has usado, dibuja la recta que forme 90° con la recta del ángulo antes dibujada y que debe de cortar a la mediatriz de la base por su parte superior. Esa recta corta a la mediatriz en un punto que será el centro del arco capaz. Con un compás, dibuja el arco capaz, que va por la parte superior de la base, de un extremo al otro de la misma.
      Ahora, traza una paralela a la base, también por la parte de arriba, a una distancia igual a la altura del triángulo.
      Elije uno de las dos intersecciones del arco capaz con la paralela y ya tienes el vértice superior y los elementos del triángulo que te faltan.

    1. Jorge, lo tienes en detalle en el apartado triángulo rectángulo de esta página. Con tres lados hasta te sobra un dato.
      P.ej. ángulo B = arc sen b / c.

  16. Muy buena página. Pregunta: en un triángulo rectángulo, si tengo la medida de un cateto y la suma de el otro cateto con la hipotenusa, cómo saber la medida de cada uno?

    1. Catetos, a y b
      Hipotenusa c
      Perímetro p = a + b + c
      Pitágoras:
      a² + (p – c – a)² = c²
      Hacer m = pc
      Sustituir, desarrollar y queda una ecuación de segundo grado con una incógnita, que es a.
      La raiz positiva será el cateto a.
      Luego obtienes por diferencia el otro cateto b.

    1. Si solamente tienes los tres ángulos de un triángulo, no puedes hallar los lados. Con tres ángulos tienes infinitos triángulos semejantes.
      Mira semejanza de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS.

  17. Como sacar los lados de un triangulo isoceles conociendo su Perimetro 30 y tambien con un area de 30, urgente por favor y excelente pagina, saludos…

    1. Perímetro = 30 = 2a + b (b es la base, el lado desigual)
      Área = 30 = (aquí pones la fórmula del área del isósceles que tienes en la web (en función de a y b, con una raiz cuadrada)
      De la primera, despejas b = 30 – 2a
      Sustituyes esta expresión de b en la segunda ecuación, la del área.
      Obtendrás una ecuación de tercer grado con una incógnita (la a)
      La resuelves, p.ej.por determinantes.
      a = 12,56
      b = 4,88
      (La resolución de este tipo de ecuaciones no está implementada todavía en la web y rebasa su explicación en comentarios).
      Espero que te sirva

  18. alondra vianey ramirez santiago

    como saber cuanto miden los lados si solo tengo el valor de el área total sin conocer la medida de los ángulos

    1. Alondra, con el único dato del área de un triángulo no puedes obtener ningún dato más, salvo que sea equilátero
      Te aconsejo que consultes la tabla de fórmulas que está al final del *área de un triángulo* de esta web.

    1. No entiedo el dato de medio cateto (eso no es propiamente un dato, pues tienes el cateto).
      Lo siento, pero tampoco entiendo el resto. ¿Puede que sea tg(30° – θ) = ctg (30° + 3θ)?

    2. Si fuera así tendrías que resolver ecuaciones de segundo y tercer grado.
      θ = 15°
      Con el teorema del seno, la hipotenusa sería cateto / sen15°
      El otro cateto, por Pitágoras (o también por el teorema del seno).

  19. Como sacar los ángulos de un triangulo equilátero conociendo su base y su altura, urgente por favor y excelente pagina, saludos 🙂

    1. Universo Formulas Respuestas

      La geometría es más fácil de lo que parece. Es muy visual e intuitiva. Con la altura y media base tienes los catetos de un triángulo rectángulo (que locompleta uno de los lados iguales, que serásu hipotenusa). Si divides la media base por la altura tienes la tangente de la mitad del ángulo superior
      Arcotangente de ese angulo y obtienes el valor del medio ángulo superior.
      Cuando lo tienes, lo multiplicas por dos y ya está el ángulo superior.
      Como sabes que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°, restas de 180 el ángulo superior y tienes la suma de los dos iguales (isósceles) que te faltan. Divides resultado por dos y ya estä.
      Si tienes alguna duda, dínoslo.

    2. si tienes los 3 angulos internos de un triangulo acutangulo escaleno, como le hago para sacar sus lados

    3. Con tres ángulos solamente, te faltan datos. Hay infinitos ángulos semejantes con los tres lados iguales.

    1. Universo Formulas Respuestas

      No, de ninguna manera. Imagínate un triángulo escaleno de ángulos A, B y C. Pues tendrías infinitos triángulos semejantes. Con los mismos ángulos y de diferentes tamaños.

    1. Universo Formulas Respuestas

      Si conoces un sólo ángulo interno, sabes que los dos restantes suman lo que falta hasta 180º. Solamente podrias conocer los tres ángulos a partir de uno si se tratase de un triángulo rectángulo y conocieses uno de los dos ángulos agudos (A). El segundo (90º – A) y el tercero, 90º.

    1. Teniendo solamente el perímetro no se pueden averiguar los lados. Una longitud de un perímetro puede corresponder a infinitas sumas de tres lados diferentes.

  20. Si partes el triángulo por la mitad tienes dos triángulos rectángulos. Ya puedes sacar los ángulos y luego los aplicas con el triángulo entero.

    1. Eso sólo funciona si se trata de un triángulo rectángulo (osea que posee un lado recto, o bien, de 90°)

    1. No man, según indica tienes que conocer 3 datos y uno de ellos debe ser necesariamente un lado. Salvo en el caso de que sea un triangulo rectangulo. ahi puedes aplicar pitagoras conociendo dos lados. r^2=a^2+b^2

    2. Si se puede, utilizas el teorema de pitagoras que son:
      A es igual a B al cuadrado mas C al cuadrado
      B es igual a C al cuadrado menos A al cuadrado
      C es igual a A al cuadrado menos B al cuadrado
      entonces si yo quiero sacar la hipotenusa en un trianguangulo rectangulo(C) y tienes en el A:2 y de B :3 entonces vas a elevar 2 al cuadrado que es 4, y 3 al cuadado que es 9, lo sumas y su respuesta es 13 y todo esto cabe dentro de una raiz cuadrada entencoes te quedas en raiz cuadrada de 13 es C.

    3. Andrea, Luís habla de un triángulo en general.
      Cuando se trata de un triángulo rectángulo es cuando, conociendo dos lados, se utiliza el teorema de Pitágoras (UNIVERSO FÓRMULAS).
      c² = a² + b²

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