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Resolución de triángulos

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Dibujo de un triángulo con tres de sus elementos conocidos

La resolución de triángulos es una aplicación de las más importantes de la trigonometría.

Cualquier triángulo puede resolverse si se conocen, al menos, tres de sus elementos, siendo al menos uno de ellos un lado.

Es decir, se pueden calcular los tres lados y los tres ángulos del triángulo a partir de tres de ellos, siendo al menos uno de ellos un lado.

Resolución de triángulos conociendo un lado y dos ángulos

El procedimiento es idéntico en los dos casos siguientes: en el primero, los dos ángulos son adyacentes al lado conocido, en el segundo, se conoce un ángulo adyacente y otro ángulo opuesto al lado conocido.

1. Se conoce un lado y sus dos ángulos adyacentes

Dibujo de un triángulo con un lado (a) y dos ángulos (B y C) conocidos

Sea un triángulo con un lado y dos ángulos adyacentes conocidos, por ejemplo a, B y C.

  • El ángulo A se puede calcular a partir de los ángulos B y C. Sabemos que los ángulos de un triángulo suman 180º, por lo que A es:


    Cálculo del ángulo A en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.

  • Los lados b y c se pueden calcular gracias al teorema del seno. Sabemos por el teorema del seno que:


    Fórmula del teorema del seno.

    Por lo tanto, los lados b y c serán:


    Cálculo de los lados b y c en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.

  • El área del triángulo a partir de los tres elementos conocidos (a, B y C):


    Fórmula del área en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.

O, lo que es lo mismo:


Fórmula 2 del área en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.

2. Se conoce un lado, uno de los dos ángulos adyacentes y otro ángulo, el opuesto

Dibujo de un triángulo con un lado (a) y dos ángulos (A y C) conocidos

Conocemos a, C y A.

  • El ángulo B se puede calcular a partir de los ángulos A y C. Como los ángulos de un triángulo suman 180°, A será:


    Cálculo del ángulo B en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.

  • El lado c se puede calcular gracias al teorema del seno.


    Cálculo del lado c en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.

  • lado b igualmente se puede calcular gracias al teorema del seno.


    Cálculo del lado b en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.

El área del triángulo a partir de los tres elementos conocidos (un lado y dos ángulos, por ejemplo a, B y C):


Cálculo del área del triángulo en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.

Resolución de triángulos conociendo dos lados y un ángulo

ANUNCIOS


Se pueden presentar dos casos:

1. Se conocen dos lados y el ángulo que forman éstos

Dibujo de un triángulo con dos lados (a y b) y un ángulo (C) conocidos

Sea un triángulo del que tenemos dos lados y el ángulo que forman, siendo éstos por ejemplo a, b y C.

  • El lado desconocido c se puede calcular a partir del teorema del coseno. Éste se obtiene a partir de los lados a y b y el ángulo que forman C:


    Cálculo del lado c en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman.

  • El ángulo A se obtiene a partir del teorema del seno:


    Cálculo del ángulo A en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman.

  • El ángulo B se halla sabiendo los otros dos ángulos. Como los ángulos de un triángulo suman 180º, el ángulo B es:


    Cálculo del ángulo B en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman.

  • El área del triángulo se calculará a partir de los lados conocidos a y b y el ángulo que forman C.:


    Cálculo del área en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman.

2. Se conocen dos lados y un ángulo diferente al que forman éstos

Dibujo de un triángulo con dos lados (b y c) y un ángulo (C) conocidos

Sea un triángulo con dos lados y un ángulo conocidos, por ejemplo b, c y C.

  • El ángulo B se calcula a partir del teorema del seno. Se sabe por el teorema del seno que:


    Fórmula del teorema del seno.

    Por lo tanto, el ángulo B es:


    Cálculo del ángulo B en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y un ángulo.

  • El ángulo A se calcula a partir de los ángulos B y C. La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, por lo que A es:


    Cálculo del ángulo A en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y un ángulo.

  • Por el teorema del seno, una vez se conocen los ángulos A y B, se puede calcular el lado a:


    Cálculo del lado a en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y un ángulo.

  • Sabiendo todos los lados y ángulos, se calcula el área del triángulo a partir de dos lados y el ángulo que forman:


    Cálculo del área en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y un ángulo.

Resolución de triángulos conociendo los tres lados

Dibujo de un triángulo con los lados (a, b y c) conocidos

Sea un triángulo con los lados a, b y c conocidos.

  • Por el teorema del coseno sabemos que:


    Fórmula del teorema del coseno para el lado a

    Por lo tanto, el ángulo A se calcula como:


    Cálculo del ángulo A en la resolución de un triángulo conociendo los tres lados.

  • De la misma manera y por el teorema del coseno, tenemos que:


    Fórmula del teorema del coseno para el lado b

    Y por el mismo procedimiento, el ángulo B es:


    Cálculo del ángulo B en la resolución de un triángulo conociendo los tres lados.

  • El ángulo C se obtiene a partir de A y B. La suma de los ángulos del triángulo es de 180º, por lo que C es:


    Cálculo del ángulo C en la resolución de un triángulo conociendo los tres lados.

  • El área del triángulo se calcula de la misma forma que el caso anterior:


    Cálculo del área en la resolución de un triángulo conociendo los tres lados.

    O bien, también puede calcularse mediante la fórmula de Herón, ya que los tres lados son conocidos:


    Fórmula de Herón para el cálculo del área sabiendo los lados del triángulo.

Resolución geométrica de triángulos, conociendo la base, la altura y el ángulo superior

Se resuelve geométricamente trazando el arco capaz correspondiente a partir del segmento de la base y del ángulo superior. Veámoslo con un ejercicio.

Ejercicio

Hallar los elementos restantes de un triángulo del que se sabe que la base AB mide 5 cm, su ángulo opuesto C = 30° y la altura sobre esta base 7 cm.

Solución:

Por procedimiento geométrico, se traza el arco capaz correspondiente a ese segmento AB de la base de 5 cm y a un ángulo de 30°.

Para ello, se siguen los pasos descritos en el enlace: arco capaz.

Se traza una línea paralela a la base separada de ella los 7 cm de la altura del triángulo.

Los dos puntos (C y C’) en que intersecta la paralela al arco capaz serán los dos vértices de los dos triángulos simétricos ΔABC y ΔABC’ que cumplen las condiciones del ejercicio. Veámoslo en el dibujo.

Dibujo del ejemplo 1 de un arco capaz

Con instrumentos geométricos, como transportador de ángulos y regla graduada, obtenemos que el ángulo obtuso mide 103,7° y el agudo, 46,3°, mientras que el lado mayor mide 9,7 cm y el menor, 7,2 cm.

Finalmente, el área la obtenemos por la fórmula básica del área del triángulo:


Cálculo de la solución en el ejemplo 1 de arco capaz

Se obtiene que el área es de 12,5 cm2.

Resolución de los triángulos isósceles

Dibujo de un triángulo isósceles para su resolución

Los triángulos isósceles son un caso particular de los triángulos, en los que hay dos lados iguales (por ejemplo a y c) y dos ángulos iguales (por ejemplo A y C).

Se resuelven conociendo sólo dos datos, siempre que estos no sean ni dos ángulos ni dos lados iguales. Es decir, sabiendo un lado y un ángulo. El planteamiento es simple, ya que, sabiendo que es isósceles, partimos de dos lados iguales y dos ángulos también iguales.

La operativa general es: la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es de 180° y el teorema del seno.

1. Se conoce la base b y el ángulo opuesto B

Dibujo de un triángulo isósceles conociendo b y B para su resolución

Si conocemos la base b y el ángulo opuesto, el ángulo desigual B, la resolución es la siguiente:


Fórmula para la resolución de triángulos isósceles conociendo b y B

2. Se conoce un lado oblicuo c y el ángulo adyacente A

Dibujo de un triángulo isósceles conociendo c y A para su resolución

Conociendo un lado oblicuo, el lado c y el ángulo adyacente que se forma con la base, el ángulo A, se resuelve de la siguiente forma:


Fórmula para la resolución de triángulos isósceles conociendo c y A

3. Se conoce un lado oblicuo c y el ángulo desigual B

Dibujo de un triángulo isósceles conociendo c y B para su resolución

Si son conocidos el lado oblicuo c y el ángulo diferente B, el procedimiento es:


Fórmula para la resolución de triángulos isósceles conociendo c y B

Esta solución es idéntica a cuando los datos son c y C.

4. Se conoce la base b y el ángulo adyacente igual A

Dibujo de un triángulo isósceles conociendo b y A para su resolución

Si son conocidos la base b y el ángulo adyacente igual A, se resuelve el triángulo isósceles de la siguiente forma:


Fórmula para la resolución de triángulos isósceles conociendo b y A

5. Se conoce el lado oblicuo c y el ángulo opuesto C

Dibujo de un triángulo isósceles conociendo c y C para su resolución

Conociendo un lado oblicuo, por ejemplo el c, y el ángulo opuesto C, es la misma solución que en el punto 3.

Resolución de los triángulos rectángulos

Dibujo de un triángulo rectángulo para su resolución

Los triángulos rectángulos son un caso particular de los casos generales, en los que hay un ángulo recto (90°).

Se resuelven conociendo sólo dos datos, siempre que estos no sean los dos ángulos agudos.

La operativa general es porque la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es de 180° (por lo que la suma de los dos ángulos agudos es de 90°) y por el teorema del seno.

1. Se conoce un cateto b y su ángulo agudo adyacente A

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo b y A para su resolución

Si conocemos un cateto (por ejemplo el b)y su ángulo agudo adyacente (en este caso, el ángulo A), se resuelve así:


Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo b y A

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo b y B para su resolución

La misma solución para el cateto b y su ángulo agudo opuesto B, sólo que A = 90° – B.

2. Se conoce la hipotenusa c y el ángulo agudo A

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo c y A para su resolución

Por otro lado, si se conoce la hipotenusa c y un ángulo agudo (en este caso, el ángulo A), se resuelve de la siguiente manera:


Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos conociendo c y A

Aplicamos que sen 2A = 2sen A · cos A, por las razones trigonométricas del ángulo doble.

3. Se conocen los dos catetos a y b

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo a y b para su resolución

Conociendo los dos catetos a y b, tenemos:


Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos conociendo a y b

4. Se conoce el cateto b y la hipotenusa c

Dibujo de un triángulo rectángulo conociendo b y c para su resolución

Si son conocidos el cateto b y la hipotenusa c, la resolución es:


Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos conociendo b y c

5. Cuando el triángulo rectángulo es también isósceles

Dibujo de un triángulo rectángulo y isósceles para su resolución

En este caso, los dos catetos a y b son iguales. También son iguales y de 45° los dos ángulos agudos A y B y además, el ángulo C es recto.

Veamos tres casos:

5.1. Se conoce un cateto y un ángulo agudo

Dibujo de un triángulo rectángulo y isósceles conociendo b y A para su resolución

Si se conoce un cateto y un ángulo agudo, que al tener 45° se comprueba que el triángulo también es isósceles.


Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo b y A

5.2. Se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo

Dibujo de un triángulo rectángulo y isósceles conociendo c y A para su resolución

Conociendo la hipotenusa c y un ángulo agudo (por ejemplo el A), que al tener 45° se comprueba que el triángulo también es isósceles.


Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo c y A

5.3. Se conocen los dos catetos

Dibujo de un triángulo rectángulo y isósceles conociendo a y b para su resolución

Si son conocidos los dos catetos que, al ser iguales se comprueba que el triángulo también es isósceles, la resolución es:


Fórmula para la resolución de triángulos rectángulos y isósceles conociendo a y b

Resolución de triángulos equiláteros

Dibujo de un triángulo equilátero para su resolución

Para resolver un triángulo equilátero, basta con conocer solamente uno de sus lados.

Un triángulo equilátero es a la vez, triángulo acutángulo, triángulo isósceles, triángulo oblicuángulo y el polígono regular más simple.

Conociendo el lado a tenemos todos los datos.

Dibujo de un triángulo equilátero conociendo a para su resolución

Con este dato lo resolvemos:


Fórmula para la resolución de triángulos equiláteros conociendo a

Dibujo de un triángulo equilátero conociendo la apotema para su resolución

Y con el lado a resolvemos también la altura del triángulo equilátero, el área de un triángulo equilátero, el perímetro de un triángulo equilátero e, incluso, su apotema.


Fórmula para la resolución de triángulos equiláteros conociendo la apotema

Ejercicio

Dibujo de un ejemplo de triángulo con dos lados (b y c) y un ángulo (C) conocidos

Sea un triángulo con dos lados y un ángulo conocidos, siendo éstos b=8 cm, c=7 cm y C=60º.

  • Primero se calcula el ángulo B a partir del teorema del seno, mediante la fórmula:


    Cálculo del ángulo B en el ejemplo de resolución de triángulos.

    Y el ángulo B=81,79º.

  • El ángulo A se calcula a partir de los ángulos B y C. La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, por lo que A es:


    Cálculo del ángulo A en el ejemplo de resolución de triángulos.

    El ángulo A=38,21º.

  • Por el teorema del seno, una vez se conocen los ángulos A y B, se calcula el lado a:


    Cálculo del lado a en el ejemplo de resolución de triángulos.

    Se obtiene que el lado a=5 cm.

  • Sabiendo todos los lados y ángulos, se calcula el área del triángulo a partir de dos lados y el ángulo que forman:


    Cálculo del área en el ejemplo de resolución de triángulos.

    Y el área es de 17,32 cm2.

42 Respuestas

  1. Jaime dice:

    Muchas gracias por su respuesta. Es mas o menos lo mismo que lo de las propiedades del circulo circunscrito (me confundi poniendo inscrito): siguiendo la propiedad de que el angulo desde el centro de la circunferencia circunscrita a la base es el doble del angulo que se forma desde cualquier punto de la circunferencia. De ahi tambien se puede deducir lo que ud. comenta a la hora de formar el arco capaz.
    El profesor ha dicho que hay cuatro formas (y por supuesto no nos ha dicho ) y hay una que se me escapa.. un saludo

    • Respuestas dice:

      Siento que no sea lo que buscabas.
      Sinceramente, ahora no caigo en el procedimiento alternativo. Si lo averiguas, te agradeceria que lo compartieras. Un saludo.

  2. Jaime dice:

    Sabiendo el angulo superior, el lado contrario (la base) y la altura del triangulo, aparte de poder resolverse con las propiedades del producto vectorial, trigonometricamente y con las propiedades del circulo inscrito , cual es la cuarta forma con la que se podria resolver?

    • Respuestas dice:

      Mediante el arco capaz
      Traza la base. Sobre ella, con un compás, su mediatriz.
      En uno de los extremos de la base, con un transportador de ángulos, dibuja hacia abajo un ángulo igual al superior.
      Desde el extremo de la base que has usado, dibuja la recta que forme 90° con la recta del ángulo antes dibujada y que debe de cortar a la mediatriz de la base por su parte superior. Esa recta corta a la mediatriz en un punto que será el centro del arco capaz. Con un compás, dibuja el arco capaz, que va por la parte superior de la base, de un extremo al otro de la misma.
      Ahora, traza una paralela a la base, también por la parte de arriba, a una distancia igual a la altura del triángulo.
      Elije uno de las dos intersecciones del arco capaz con la paralela y ya tienes el vértice superior y los elementos del triángulo que te faltan.

  3. Jorge Garcia dice:

    si solo tengo los lados de un triangulo rectángulo como hallo sus ángulos con razones trigonométricas?? URGENTE

    • Respuestas dice:

      Jorge, lo tienes en detalle en el apartado triángulo rectángulo de esta página. Con tres lados hasta te sobra un dato.
      P.ej. ángulo B = arc sen b / c.

  4. Pedro Barajas dice:

    Muy buena página. Pregunta: en un triángulo rectángulo, si tengo la medida de un cateto y la suma de el otro cateto con la hipotenusa, cómo saber la medida de cada uno?

  5. Alirio Ochoa dice:

    Como se pueden determinar los lados de un triangulo si solo tengo como dato la hipotenusa y el perímetro del triangulo.

    • Respuestas dice:

      Catetos, a y b
      Hipotenusa c
      Perímetro p = a + b + c
      Pitágoras:
      a² + (p – c – a)² = c²
      Hacer m = pc
      Sustituir, desarrollar y queda una ecuación de segundo grado con una incógnita, que es a.
      La raiz positiva será el cateto a.
      Luego obtienes por diferencia el otro cateto b.

  6. Armand dice:

    si solo tengo los angulos i el area total como calculo los angulos? URGENTE

  7. isaac dice:

    si tengo sus angulos, como hago para hallar sus lados.

    • Respuestas dice:

      Si solamente tienes los tres ángulos de un triángulo, no puedes hallar los lados. Con tres ángulos tienes infinitos triángulos semejantes.
      Mira semejanza de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS.

  8. MakoTako dice:

    Como sacar los lados de un triangulo isoceles conociendo su Perimetro 30 y tambien con un area de 30, urgente por favor y excelente pagina, saludos…

    • Respuestas dice:

      Perímetro = 30 = 2a + b (b es la base, el lado desigual)
      Área = 30 = (aquí pones la fórmula del área del isósceles que tienes en la web (en función de a y b, con una raiz cuadrada)
      De la primera, despejas b = 30 – 2a
      Sustituyes esta expresión de b en la segunda ecuación, la del área.
      Obtendrás una ecuación de tercer grado con una incógnita (la a)
      La resuelves, p.ej.por determinantes.
      a = 12,56
      b = 4,88
      (La resolución de este tipo de ecuaciones no está implementada todavía en la web y rebasa su explicación en comentarios).
      Espero que te sirva

  9. alondra vianey ramirez santiago dice:

    como saber cuanto miden los lados si solo tengo el valor de el área total sin conocer la medida de los ángulos

    • Respuestas dice:

      Alondra, con el único dato del área de un triángulo no puedes obtener ningún dato más, salvo que sea equilátero
      Te aconsejo que consultes la tabla de fórmulas que está al final del *área de un triángulo* de esta web.

  10. Jonathan dice:

    Lleva el 2 al cuadrado

  11. siomara dice:

    Si solo tengo el dato de medio cateto y (tg30-tita )(ctg30+3tita)como lo resuelvo??

    • Respuestas dice:

      No entiedo el dato de medio cateto (eso no es propiamente un dato, pues tienes el cateto).
      Lo siento, pero tampoco entiendo el resto. ¿Puede que sea tg(30° – θ) = ctg (30° + 3θ)?

    • Respuestas dice:

      Si fuera así tendrías que resolver ecuaciones de segundo y tercer grado.
      θ = 15°
      Con el teorema del seno, la hipotenusa sería cateto / sen15°
      El otro cateto, por Pitágoras (o también por el teorema del seno).

  12. ana quintero dice:

    si tienes un triangulo escaleno y conoces sus angulos internos, como le hago para sacar sus lados?

  13. Noé dice:

    Como sacar los ángulos de un triangulo equilátero conociendo su base y su altura, urgente por favor y excelente pagina, saludos 🙂

    • ana quintero dice:

      si tienes los 3 angulos internos de un triangulo acutangulo escaleno, como le hago para sacar sus lados

    • Respuestas dice:

      Con tres ángulos solamente, te faltan datos. Hay infinitos ángulos semejantes con los tres lados iguales.

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      La geometría es más fácil de lo que parece. Es muy visual e intuitiva. Con la altura y media base tienes los catetos de un triángulo rectángulo (que locompleta uno de los lados iguales, que serásu hipotenusa). Si divides la media base por la altura tienes la tangente de la mitad del ángulo superior
      Arcotangente de ese angulo y obtienes el valor del medio ángulo superior.
      Cuando lo tienes, lo multiplicas por dos y ya está el ángulo superior.
      Como sabes que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°, restas de 180 el ángulo superior y tienes la suma de los dos iguales (isósceles) que te faltan. Divides resultado por dos y ya estä.
      Si tienes alguna duda, dínoslo.

    • Noé dice:

      Perdón me equivoque es un triángulo isósceles.

  14. Ana laura dice:

    Se pueden calcular los angulos de un triangulo escalano sin tenerbninguna medida

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      No, de ninguna manera. Imagínate un triángulo escaleno de ángulos A, B y C. Pues tendrías infinitos triángulos semejantes. Con los mismos ángulos y de diferentes tamaños.

  15. carlos dice:

    Si solo tengo un lado del triangulo como lo resuelvo

  16. Iván dice:

    ¿Se pueden conocer los ángulos teniendo sólo un ángulo interno?

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Si conoces un sólo ángulo interno, sabes que los dos restantes suman lo que falta hasta 180º. Solamente podrias conocer los tres ángulos a partir de uno si se tratase de un triángulo rectángulo y conocieses uno de los dos ángulos agudos (A). El segundo (90º – A) y el tercero, 90º.

  17. florencia dice:

    Si tenes solamente el dato de perímetro como averiguo sus lados?

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Teniendo solamente el perímetro no se pueden averiguar los lados. Una longitud de un perímetro puede corresponder a infinitas sumas de tres lados diferentes.

  18. Sr. J. dice:

    Si partes el triángulo por la mitad tienes dos triángulos rectángulos. Ya puedes sacar los ángulos y luego los aplicas con el triángulo entero.

  19. René dice:

    Si tienes dos lados de un triángulo, aplicas el Teorema de Pitágoras y sacas el lado que te falta

    • Pedro dice:

      Eso sólo funciona si se trata de un triángulo rectángulo (osea que posee un lado recto, o bien, de 90°)

  20. airam gg dice:

    No se puede8(

  21. ari gg dice:

    si se puede)8

  22. Luis dice:

    Se puede hallar un lado de in triángulo con sólo saber 2 lados nada más

    • vladelf dice:

      No man, según indica tienes que conocer 3 datos y uno de ellos debe ser necesariamente un lado. Salvo en el caso de que sea un triangulo rectangulo. ahi puedes aplicar pitagoras conociendo dos lados. r^2=a^2+b^2

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