Resolución de triángulos
La resolución de triángulos es una aplicación de las más importantes de la trigonometría.
Cualquier triángulo puede resolverse si se conocen, al menos, tres de sus elementos, siendo al menos uno de ellos un lado.
Es decir, se pueden calcular los tres lados y los tres ángulos del triángulo a partir de tres de ellos, siendo al menos uno de ellos un lado.
Resolución de triángulos conociendo un lado y dos ángulos
El procedimiento es idéntico en los dos casos siguientes: en el primero, los dos ángulos son adyacentes al lado conocido, en el segundo, se conoce un ángulo adyacente y otro ángulo opuesto al lado conocido.
1. Se conoce un lado y sus dos ángulos adyacentes
Sea un triángulo con un lado y dos ángulos adyacentes conocidos, por ejemplo a, B y C.
- El ángulo A se puede calcular a partir de los ángulos B y C. Sabemos que los ángulos de un triángulo suman 180º, por lo que A es:
- Los lados b y c se pueden calcular gracias al teorema del seno. Sabemos por el teorema del seno que:
Por lo tanto, los lados b y c serán:
- El área del triángulo a partir de los tres elementos conocidos (a, B y C):
O, lo que es lo mismo:
2. Se conoce un lado, uno de los dos ángulos adyacentes y otro ángulo, el opuesto
Conocemos a, C y A.
- El ángulo B se puede calcular a partir de los ángulos A y C. Como los ángulos de un triángulo suman 180°, A será:
- El lado c se puede calcular gracias al teorema del seno.
- lado b igualmente se puede calcular gracias al teorema del seno.
El área del triángulo a partir de los tres elementos conocidos (un lado y dos ángulos, por ejemplo a, B y C):
Resolución de triángulos conociendo dos lados y un ángulo
Se pueden presentar dos casos:
1. Se conocen dos lados y el ángulo que forman éstos
Sea un triángulo del que tenemos dos lados y el ángulo que forman, siendo éstos por ejemplo a, b y C.
- El lado desconocido c se puede calcular a partir del teorema del coseno. Éste se obtiene a partir de los lados a y b y el ángulo que forman C:
- El ángulo A se obtiene a partir del teorema del seno:
- El ángulo B se halla sabiendo los otros dos ángulos. Como los ángulos de un triángulo suman 180º, el ángulo B es:
- El área del triángulo se calculará a partir de los lados conocidos a y b y el ángulo que forman C.:
2. Se conocen dos lados y un ángulo diferente al que forman éstos
Sea un triángulo con dos lados y un ángulo conocidos, por ejemplo b, c y C.
- El ángulo B se calcula a partir del teorema del seno. Se sabe por el teorema del seno que:
Por lo tanto, el ángulo B es:
- El ángulo A se calcula a partir de los ángulos B y C. La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, por lo que A es:
- Por el teorema del seno, una vez se conocen los ángulos A y B, se puede calcular el lado a:
- Sabiendo todos los lados y ángulos, se calcula el área del triángulo a partir de dos lados y el ángulo que forman:
Resolución de triángulos conociendo los tres lados
Sea un triángulo con los lados a, b y c conocidos.
- Por el teorema del coseno sabemos que:
Por lo tanto, el ángulo A se calcula como:
- De la misma manera y por el teorema del coseno, tenemos que:
Y por el mismo procedimiento, el ángulo B es:
- El ángulo C se obtiene a partir de A y B. La suma de los ángulos del triángulo es de 180º, por lo que C es:
- El área del triángulo se calcula de la misma forma que el caso anterior:
O bien, también puede calcularse mediante la fórmula de Herón, ya que los tres lados son conocidos:
Resolución geométrica de triángulos, conociendo la base, la altura y el ángulo superior
Se resuelve geométricamente trazando el arco capaz correspondiente a partir del segmento de la base y del ángulo superior. Veámoslo con un ejercicio.
Ejercicio
Hallar los elementos restantes de un triángulo del que se sabe que la base AB mide 5 cm, su ángulo opuesto C = 30° y la altura sobre esta base 7 cm.
Solución:
Por procedimiento geométrico, se traza el arco capaz correspondiente a ese segmento AB de la base de 5 cm y a un ángulo de 30°.
Para ello, se siguen los pasos descritos en el enlace: arco capaz.
Se traza una línea paralela a la base separada de ella los 7 cm de la altura del triángulo.
Los dos puntos (C y C’) en que intersecta la paralela al arco capaz serán los dos vértices de los dos triángulos simétricos ΔABC y ΔABC’ que cumplen las condiciones del ejercicio. Veámoslo en el dibujo.
Con instrumentos geométricos, como transportador de ángulos y regla graduada, obtenemos que el ángulo obtuso mide 103,7° y el agudo, 46,3°, mientras que el lado mayor mide 9,7 cm y el menor, 7,2 cm.
Finalmente, el área la obtenemos por la fórmula básica del área del triángulo:
Se obtiene que el área es de 12,5 cm2.
Resolución de los triángulos isósceles
Los triángulos isósceles son un caso particular de los triángulos, en los que hay dos lados iguales (por ejemplo a y c) y dos ángulos iguales (por ejemplo A y C).
Se resuelven conociendo sólo dos datos, siempre que estos no sean ni dos ángulos ni dos lados iguales. Es decir, sabiendo un lado y un ángulo. El planteamiento es simple, ya que, sabiendo que es isósceles, partimos de dos lados iguales y dos ángulos también iguales.
La operativa general es: la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es de 180° y el teorema del seno.
1. Se conoce la base b y el ángulo opuesto B
Si conocemos la base b y el ángulo opuesto, el ángulo desigual B, la resolución es la siguiente:
2. Se conoce un lado oblicuo c y el ángulo adyacente A
Conociendo un lado oblicuo, el lado c y el ángulo adyacente que se forma con la base, el ángulo A, se resuelve de la siguiente forma:
3. Se conoce un lado oblicuo c y el ángulo desigual B
Si son conocidos el lado oblicuo c y el ángulo diferente B, el procedimiento es:
Esta solución es idéntica a cuando los datos son c y C.
4. Se conoce la base b y el ángulo adyacente igual A
Si son conocidos la base b y el ángulo adyacente igual A, se resuelve el triángulo isósceles de la siguiente forma:
5. Se conoce el lado oblicuo c y el ángulo opuesto C
Conociendo un lado oblicuo, por ejemplo el c, y el ángulo opuesto C, es la misma solución que en el punto 3.
Resolución de los triángulos rectángulos
Los triángulos rectángulos son un caso particular de los casos generales, en los que hay un ángulo recto (90°).
Se resuelven conociendo sólo dos datos, siempre que estos no sean los dos ángulos agudos.
La operativa general es porque la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es de 180° (por lo que la suma de los dos ángulos agudos es de 90°) y por el teorema del seno.
1. Se conoce un cateto b y su ángulo agudo adyacente A
Si conocemos un cateto (por ejemplo el b)y su ángulo agudo adyacente (en este caso, el ángulo A), se resuelve así:
La misma solución para el cateto b y su ángulo agudo opuesto B, sólo que A = 90° – B.
2. Se conoce la hipotenusa c y el ángulo agudo A
Por otro lado, si se conoce la hipotenusa c y un ángulo agudo (en este caso, el ángulo A), se resuelve de la siguiente manera:
Aplicamos que sen 2A = 2sen A · cos A, por las razones trigonométricas del ángulo doble.
3. Se conocen los dos catetos a y b
Conociendo los dos catetos a y b, tenemos:
4. Se conoce el cateto b y la hipotenusa c
Si son conocidos el cateto b y la hipotenusa c, la resolución es:
5. Cuando el triángulo rectángulo es también isósceles
En este caso, los dos catetos a y b son iguales. También son iguales y de 45° los dos ángulos agudos A y B y además, el ángulo C es recto.
Veamos tres casos:
5.1. Se conoce un cateto y un ángulo agudo
Si se conoce un cateto y un ángulo agudo, que al tener 45° se comprueba que el triángulo también es isósceles.
5.2. Se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo
Conociendo la hipotenusa c y un ángulo agudo (por ejemplo el A), que al tener 45° se comprueba que el triángulo también es isósceles.
5.3. Se conocen los dos catetos
Si son conocidos los dos catetos que, al ser iguales se comprueba que el triángulo también es isósceles, la resolución es:
Resolución de triángulos equiláteros
Para resolver un triángulo equilátero, basta con conocer solamente uno de sus lados.
Un triángulo equilátero es a la vez, triángulo acutángulo, triángulo isósceles, triángulo oblicuángulo y el polígono regular más simple.
Conociendo el lado a tenemos todos los datos.
Con este dato lo resolvemos:
Y con el lado a resolvemos también la altura del triángulo equilátero, el área de un triángulo equilátero, el perímetro de un triángulo equilátero e, incluso, su apotema.
Ejercicio
Sea un triángulo con dos lados y un ángulo conocidos, siendo éstos b=8 cm, c=7 cm y C=60º.
- Primero se calcula el ángulo B a partir del teorema del seno, mediante la fórmula:
Y el ángulo B=81,79º.
- El ángulo A se calcula a partir de los ángulos B y C. La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, por lo que A es:
El ángulo A=38,21º.
- Por el teorema del seno, una vez se conocen los ángulos A y B, se calcula el lado a:
Se obtiene que el lado a=5 cm.
- Sabiendo todos los lados y ángulos, se calcula el área del triángulo a partir de dos lados y el ángulo que forman:
Y el área es de 17,32 cm2.
Muchas gracias por su respuesta. Es mas o menos lo mismo que lo de las propiedades del circulo circunscrito (me confundi poniendo inscrito): siguiendo la propiedad de que el angulo desde el centro de la circunferencia circunscrita a la base es el doble del angulo que se forma desde cualquier punto de la circunferencia. De ahi tambien se puede deducir lo que ud. comenta a la hora de formar el arco capaz.
El profesor ha dicho que hay cuatro formas (y por supuesto no nos ha dicho ) y hay una que se me escapa.. un saludo
Siento que no sea lo que buscabas.
Sinceramente, ahora no caigo en el procedimiento alternativo. Si lo averiguas, te agradeceria que lo compartieras. Un saludo.
Sabiendo el angulo superior, el lado contrario (la base) y la altura del triangulo, aparte de poder resolverse con las propiedades del producto vectorial, trigonometricamente y con las propiedades del circulo inscrito , cual es la cuarta forma con la que se podria resolver?
Mediante el arco capaz
Traza la base. Sobre ella, con un compás, su mediatriz.
En uno de los extremos de la base, con un transportador de ángulos, dibuja hacia abajo un ángulo igual al superior.
Desde el extremo de la base que has usado, dibuja la recta que forme 90° con la recta del ángulo antes dibujada y que debe de cortar a la mediatriz de la base por su parte superior. Esa recta corta a la mediatriz en un punto que será el centro del arco capaz. Con un compás, dibuja el arco capaz, que va por la parte superior de la base, de un extremo al otro de la misma.
Ahora, traza una paralela a la base, también por la parte de arriba, a una distancia igual a la altura del triángulo.
Elije uno de las dos intersecciones del arco capaz con la paralela y ya tienes el vértice superior y los elementos del triángulo que te faltan.
si solo tengo los lados de un triangulo rectángulo como hallo sus ángulos con razones trigonométricas?? URGENTE
Jorge, lo tienes en detalle en el apartado triángulo rectángulo de esta página. Con tres lados hasta te sobra un dato.
P.ej. ángulo B = arc sen b / c.
Muy buena página. Pregunta: en un triángulo rectángulo, si tengo la medida de un cateto y la suma de el otro cateto con la hipotenusa, cómo saber la medida de cada uno?
Solución similar a la pregunta de Alirio Ochoa.
Como se pueden determinar los lados de un triangulo si solo tengo como dato la hipotenusa y el perímetro del triangulo.
Catetos, a y b
Hipotenusa c
Perímetro p = a + b + c
Pitágoras:
a² + (p – c – a)² = c²
Hacer m = p – c
Sustituir, desarrollar y queda una ecuación de segundo grado con una incógnita, que es a.
La raiz positiva será el cateto a.
Luego obtienes por diferencia el otro cateto b.
si solo tengo los angulos i el area total como calculo los angulos? URGENTE
Perdona, pero, no dices que tienes los ángulos?
si tengo sus angulos, como hago para hallar sus lados.
Si solamente tienes los tres ángulos de un triángulo, no puedes hallar los lados. Con tres ángulos tienes infinitos triángulos semejantes.
Mira semejanza de triángulos en UNIVERSO FÓRMULAS.
Como sacar los lados de un triangulo isoceles conociendo su Perimetro 30 y tambien con un area de 30, urgente por favor y excelente pagina, saludos…
Perímetro = 30 = 2a + b (b es la base, el lado desigual)
Área = 30 = (aquí pones la fórmula del área del isósceles que tienes en la web (en función de a y b, con una raiz cuadrada)
De la primera, despejas b = 30 – 2a
Sustituyes esta expresión de b en la segunda ecuación, la del área.
Obtendrás una ecuación de tercer grado con una incógnita (la a)
La resuelves, p.ej.por determinantes.
a = 12,56
b = 4,88
(La resolución de este tipo de ecuaciones no está implementada todavía en la web y rebasa su explicación en comentarios).
Espero que te sirva
como saber cuanto miden los lados si solo tengo el valor de el área total sin conocer la medida de los ángulos
Alondra, con el único dato del área de un triángulo no puedes obtener ningún dato más, salvo que sea equilátero
Te aconsejo que consultes la tabla de fórmulas que está al final del *área de un triángulo* de esta web.
Lleva el 2 al cuadrado
Si solo tengo el dato de medio cateto y (tg30-tita )(ctg30+3tita)como lo resuelvo??
No entiedo el dato de medio cateto (eso no es propiamente un dato, pues tienes el cateto).
Lo siento, pero tampoco entiendo el resto. ¿Puede que sea tg(30° – θ) = ctg (30° + 3θ)?
Si fuera así tendrías que resolver ecuaciones de segundo y tercer grado.
θ = 15°
Con el teorema del seno, la hipotenusa sería cateto / sen15°
El otro cateto, por Pitágoras (o también por el teorema del seno).
si tienes un triangulo escaleno y conoces sus angulos internos, como le hago para sacar sus lados?
Como sacar los ángulos de un triangulo equilátero conociendo su base y su altura, urgente por favor y excelente pagina, saludos 🙂
si tienes los 3 angulos internos de un triangulo acutangulo escaleno, como le hago para sacar sus lados
Con tres ángulos solamente, te faltan datos. Hay infinitos ángulos semejantes con los tres lados iguales.
La geometría es más fácil de lo que parece. Es muy visual e intuitiva. Con la altura y media base tienes los catetos de un triángulo rectángulo (que locompleta uno de los lados iguales, que serásu hipotenusa). Si divides la media base por la altura tienes la tangente de la mitad del ángulo superior
Arcotangente de ese angulo y obtienes el valor del medio ángulo superior.
Cuando lo tienes, lo multiplicas por dos y ya está el ángulo superior.
Como sabes que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°, restas de 180 el ángulo superior y tienes la suma de los dos iguales (isósceles) que te faltan. Divides resultado por dos y ya estä.
Si tienes alguna duda, dínoslo.
Perdón me equivoque es un triángulo isósceles.
Se pueden calcular los angulos de un triangulo escalano sin tenerbninguna medida
No, de ninguna manera. Imagínate un triángulo escaleno de ángulos A, B y C. Pues tendrías infinitos triángulos semejantes. Con los mismos ángulos y de diferentes tamaños.
Si solo tengo un lado del triangulo como lo resuelvo
¿Se pueden conocer los ángulos teniendo sólo un ángulo interno?
Si conoces un sólo ángulo interno, sabes que los dos restantes suman lo que falta hasta 180º. Solamente podrias conocer los tres ángulos a partir de uno si se tratase de un triángulo rectángulo y conocieses uno de los dos ángulos agudos (A). El segundo (90º – A) y el tercero, 90º.
Si tenes solamente el dato de perímetro como averiguo sus lados?
Teniendo solamente el perímetro no se pueden averiguar los lados. Una longitud de un perímetro puede corresponder a infinitas sumas de tres lados diferentes.
Si partes el triángulo por la mitad tienes dos triángulos rectángulos. Ya puedes sacar los ángulos y luego los aplicas con el triángulo entero.
Si tienes dos lados de un triángulo, aplicas el Teorema de Pitágoras y sacas el lado que te falta
Eso sólo funciona si se trata de un triángulo rectángulo (osea que posee un lado recto, o bien, de 90°)
No se puede8(
si se puede)8
Se puede hallar un lado de in triángulo con sólo saber 2 lados nada más
No.
No man, según indica tienes que conocer 3 datos y uno de ellos debe ser necesariamente un lado. Salvo en el caso de que sea un triangulo rectangulo. ahi puedes aplicar pitagoras conociendo dos lados. r^2=a^2+b^2