Resolución de triángulos

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Dibujo de un triángulo con tres de sus elementos conocidos

Cualquier triángulo puede resolverse si se conocen, al menos, tres de sus elementos, donde necesariamente uno de ellos debe de ser un costado.

Es decir, se pueden calcular los tres lados y los tres ángulos del triángulo a partir de tres de ellos, siendo al menos uno de ellos un lado.

Resolución de triángulos conociendo un lado y dos ángulos

Dibujo de un triángulo con un lado (a) y dos ángulos (B y C) conocidos

Sea un triángulo con un lado y dos ángulos conocidos, por ejemplo a, B y C.

  • El ángulo A se puede calcular a partir de los ángulos B y C. Sabemos que los ángulos de un triángulo suman 180º, por lo que A es:


    Cálculo del ángulo A en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.

  • Los costados b y c se pueden calcular gracias al teorema del seno. Sabemos por el teorema del seno que:


    Fórmula del teorema del seno.

    Por lo tanto, los lados b y c serán:


    Cálculo de los lados b y c en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.

  • El área del triángulo a partir de los tres elementos conocidos (a, B y C):


    Cálculo del área en la resolución de un triángulo conociendo un lado y dos ángulos.

Resolución de triángulos conociendo dos costados y un ángulo

Se pueden presentar dos casos:

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1. Se conocen dos costados y el ángulo que forman éstos

Dibujo de un triángulo con dos lados (a y b) y un ángulo (C) conocidos

Sea un triángulo del que tenemos dos lados y el ángulo que forman, siendo éstos por ejemplo a, b y C.

  • El lado desconocido c se puede calcular a partir del teorema del coseno. Éste se obtiene a partir de los lados a y b y el ángulo que forman C:


    Cálculo del lado c en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman.

  • El ángulo A se obtiene a partir del teorema del seno:


    Cálculo del ángulo A en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman.

  • El ángulo B se halla sabiendo los otros dos ángulos. Como los ángulos de un triángulo suman 180º, el ángulo B es:


    Cálculo del ángulo B en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman.

  • El área del triángulo se calculará a partir de los costados conocidos a y b y el ángulo que forman C.:


    Cálculo del área en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo que forman.

2. Se conocen dos costados y un ángulo diferente al que forman éstos

Dibujo de un triángulo con dos costados (b y c) y un ángulo (C) conocidos

Sea un triángulo con dos costados y un ángulo conocidos, por ejemplo b, c y C.

  • El ángulo B se calcula a partir del teorema del seno. Se sabe por el teorema del seno que:


    Fórmula del teorema del seno.

    Por lo tanto, el ángulo B es:


    Cálculo del ángulo B en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y un ángulo.

  • El ángulo A se calcula a partir de los ángulos B y C. La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, por lo que A es:


    Cálculo del ángulo A en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y un ángulo.

  • Por el teorema del seno, una vez se conocen los ángulos A y B, se puede calcular el costado a:


    Cálculo del lado a en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y un ángulo.

  • Sabiendo todos los lados y ángulos, se calcula el área del triángulo a partir de dos costados y el ángulo que forman:


    Cálculo del área en la resolución de un triángulo conociendo dos lados y un ángulo.

Resolución de triángulos conociendo los tres lados

Dibujo de un triángulo con los lados (a, b y c) conocidos

Sea un triángulo con los lados a, b y c conocidos.

  • Por el teorema del coseno sabemos que:


    Fórmula del teorema del coseno para el lado a

    Por lo tanto, el ángulo A se calcula como:


    Cálculo del ángulo A en la resolución de un triángulo conociendo los tres lados.

  • De la misma manera y por el teorema del coseno, tenemos que:


    Fórmula del teorema del coseno para el lado b

    Y por el mismo procedimiento, el ángulo B es:


    Cálculo del ángulo B en la resolución de un triángulo conociendo los tres lados.

  • El ángulo C se obtiene a partir de A y B. La suma de los ángulos del triángulo es de 180º, por lo que C es:


    Cálculo del ángulo C en la resolución de un triángulo conociendo los tres lados.

  • El área del triángulo se calcula de la misma forma que el caso anterior:


    Cálculo del área en la resolución de un triángulo conociendo los tres lados.

    O bien, también puede calcularse mediante la fórmula de Herón, ya que los tres costados son conocidos:


    Fórmula de Herón para el cálculo del área sabiendo los lados del triángulo.

Ejemplo

Dibujo de un ejemplo de triángulo con dos costados (b y c) y un ángulo (C) conocidos

Sea un triángulo con dos costados y un ángulo conocidos, siendo éstos b=8 cm, c=7 cm y C=60º.

  • Primero se calcula el ángulo B a partir del teorema del seno, mediante la fórmula:


    Cálculo del ángulo B en el ejemplo de resolución de triángulos.

    Y el ángulo B=81,79º.

  • El ángulo A se calcula a partir de los ángulos B y C. La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º, por lo que A es:


    Cálculo del ángulo A en el ejemplo de resolución de triángulos.

    El ángulo A=38,21º.

  • Por el teorema del seno, una vez se conocen los ángulos A y B, se calcula el costado a:


    Cálculo del lado a en el ejemplo de resolución de triángulos.

    Se obtiene que el lado a=5 cm.

  • Sabiendo todos los lados y ángulos, se calcula el área del triángulo a partir de dos costados y el ángulo que forman:


    Cálculo del área en el ejemplo de resolución de triángulos.

    Y el área es de 17,32 cm2.


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27 Respuestas

  1. como saber cuanto miden los lados si solo tengo el valor de el área total sin conocer la medida de los ángulos

    • Respuestas dice:

      Alondra, con el único dato del área de un triángulo no puedes obtener ningún dato más, salvo que sea equilátero
      Te aconsejo que consultes la tabla de fórmulas que está al final del *área de un triángulo* de esta web.

  2. Jonathan dice:

    Lleva el 2 al cuadrado

  3. siomara dice:

    Si solo tengo el dato de medio cateto y (tg30-tita )(ctg30+3tita)como lo resuelvo??

    • Respuestas dice:

      No entiedo el dato de medio cateto (eso no es propiamente un dato, pues tienes el cateto).
      Lo siento, pero tampoco entiendo el resto. ¿Puede que sea tg(30° – θ) = ctg (30° + 3θ)?

    • Respuestas dice:

      Si fuera así tendrías que resolver ecuaciones de segundo y tercer grado.
      θ = 15°
      Con el teorema del seno, la hipotenusa sería cateto / sen15°
      El otro cateto, por Pitágoras (o también por el teorema del seno).

  4. ana quintero dice:

    si tienes un triangulo escaleno y conoces sus angulos internos, como le hago para sacar sus lados?

  5. Noé dice:

    Como sacar los ángulos de un triangulo equilátero conociendo su base y su altura, urgente por favor y excelente pagina, saludos 🙂

    • ana quintero dice:

      si tienes los 3 angulos internos de un triangulo acutangulo escaleno, como le hago para sacar sus lados

    • Respuestas dice:

      Con tres ángulos solamente, te faltan datos. Hay infinitos ángulos semejantes con los tres lados iguales.

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      La geometría es más fácil de lo que parece. Es muy visual e intuitiva. Con la altura y media base tienes los catetos de un triángulo rectángulo (que locompleta uno de los lados iguales, que serásu hipotenusa). Si divides la media base por la altura tienes la tangente de la mitad del ángulo superior
      Arcotangente de ese angulo y obtienes el valor del medio ángulo superior.
      Cuando lo tienes, lo multiplicas por dos y ya está el ángulo superior.
      Como sabes que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°, restas de 180 el ángulo superior y tienes la suma de los dos iguales (isósceles) que te faltan. Divides resultado por dos y ya estä.
      Si tienes alguna duda, dínoslo.

    • Noé dice:

      Perdón me equivoque es un triángulo isósceles.

  6. Ana laura dice:

    Se pueden calcular los angulos de un triangulo escalano sin tenerbninguna medida

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      No, de ninguna manera. Imagínate un triángulo escaleno de ángulos A, B y C. Pues tendrías infinitos triángulos semejantes. Con los mismos ángulos y de diferentes tamaños.

  7. carlos dice:

    Si solo tengo un lado del triangulo como lo resuelvo

  8. Iván dice:

    ¿Se pueden conocer los ángulos teniendo sólo un ángulo interno?

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Si conoces un sólo ángulo interno, sabes que los dos restantes suman lo que falta hasta 180º. Solamente podrias conocer los tres ángulos a partir de uno si se tratase de un triángulo rectángulo y conocieses uno de los dos ángulos agudos (A). El segundo (90º – A) y el tercero, 90º.

  9. florencia dice:

    Si tenes solamente el dato de perímetro como averiguo sus lados?

    • Universo Formulas Respuestas dice:

      Teniendo solamente el perímetro no se pueden averiguar los lados. Una longitud de un perímetro puede corresponder a infinitas sumas de tres lados diferentes.

  10. Sr. J. dice:

    Si partes el triángulo por la mitad tienes dos triángulos rectángulos. Ya puedes sacar los ángulos y luego los aplicas con el triángulo entero.

  11. René dice:

    Si tienes dos lados de un triángulo, aplicas el Teorema de Pitágoras y sacas el lado que te falta

    • Pedro dice:

      Eso sólo funciona si se trata de un triángulo rectángulo (osea que posee un lado recto, o bien, de 90°)

  12. airam gg dice:

    No se puede8(

  13. ari gg dice:

    si se puede)8

  14. Luis dice:

    Se puede hallar un lado de in triángulo con sólo saber 2 lados nada más

    • vladelf dice:

      No man, según indica tienes que conocer 3 datos y uno de ellos debe ser necesariamente un lado. Salvo en el caso de que sea un triangulo rectangulo. ahi puedes aplicar pitagoras conociendo dos lados. r^2=a^2+b^2

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