Razones trigonométricas del ángulo triple

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Sea α un ángulo. Las razones trigonométricas del ángulo triple (3α) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas del ángulo α.

Ejemplo

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Sea un ángulo α=45º. Las razones trigonométricas de su ángulo triple son:

  • Seno del ángulo triple (3⋅45º):


    Cálculo del seno del ángulo triple (3 por 45º)

  • Coseno del ángulo triple (3⋅45º):


    Cálculo del coseno del ángulo triple (3 por 45º)

  • Tangente del ángulo triple (3⋅45º):


    Cálculo de la tangente del ángulo triple (3 por 45º)

Estos resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 135º.

¿Cómo se obtienen?

Seno del ángulo triple

Por la fórmula del seno del ángulo suma tenemos que:


Cálculo de la fórmula del seno del ángulo triple como alfa+2alfa.

Sustituyendo las fórmulas del seno y coseno del ángulo doble tenemos que:


Cálculo de la fórmula del seno del ángulo triple sustituyendo por el seno y coseno del ángulo doble.

Por la identidad fundamental de la trigonometría, sabemos que cos2α = 1-sen2α:


Cálculo de la fórmula del seno del ángulo triple aplicando la identidad fundamental de la trigonometría..

Y tendremos el seno del ángulo triple.


Fórmula del seno del ángulo triple

Coseno del ángulo triple

Aplicando la fórmula del coseno del ángulo suma tenemos que:


Cálculo de la fórmula del coseno del ángulo triple como alfa+2alfa.

Se sustituyen las fórmulas del seno y coseno del ángulo doble, obteniendo:


Cálculo de la fórmula del coseno del ángulo triple sustituyendo por el seno y coseno del ángulo doble.

Por la identidad fundamental de la trigonometría, sabemos que cos2α = 1-sen2α:


Cálculo de la fórmula del coseno del ángulo triple aplicando la identidad fundamental de la trigonometría..

Llegando a la fórmula del coseno del ángulo triple.


Fórmula del coseno del ángulo triple

Tangente del ángulo triple

Por la fórmula de la tangente del ángulo suma tenemos que:


Cálculo de la fórmula de la tangente del ángulo triple como alfa+2alfa.

Sustituyendo por la fórmula de la tangente del ángulo doble se obtiene:


Cálculo de la fórmula de la tangente del ángulo triple sustituyendo por el seno y coseno del ángulo doble.

Y la fórmula de la tangente del ángulo triple.


Fórmula de la tangente del ángulo triple


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1 comentario

  1. geronimo dice:

    Gracias por su aporte me a ayudado bastante espero que puedan seguir hacia adelante gracias

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